Algebraïsche Meetkunde: verschil tussen versies

Ga naar: navigatie, zoeken
(Theorie)
(Januari 2009)
Regel 6: Regel 6:
  
  
== Januari 2009 ==
+
== 16 januari 2009 ==
 
=== Theorie ===
 
=== Theorie ===
* De stelling over g^2=f(f-1)(f-lambda) en dan bewijzen dat ze constant zijn.
+
* Zij <math>f,g \in \mathbb{R}(t)</math> en <math>\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}</math> zodat <math>g^2 = f(f - 1)(f - \lambda)</math>. Bewijs dat <math>f</math> en <math>g</math> constant zijn.
* Bewijs dat er een bijectief verband is tussen {\phi: W*-->V* een k-algebra morfisme} en {f: V--> W | f is een polynomial map}
+
* Zij <math>V \subseteq \mathbb{A}_k^n,\,W \subseteq \mathbb{A}_k^m</math> variëteiten over een algebraïsch gesloten veld <math>k</math>. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen  
*
+
** de veeltermafbeeldingen <math>f: V \to W</math>
** Geef de definitie van de localisatie van een integriteitsdomein R
+
** de <math>k</math>-algebrahomomorfismes <math>\varphi: k[W] \to k[V]</math>.
** Wat is de meetkundige interpretatie van de stelling van Luroth?
+
* Formuleer
** Geef de definitie van een homogene coördinatenring
+
** de definitie van de lokalisatie van een ring t.o.v. een multiplicatief gesloten deel van die ring
 +
** de meetkunde interpretatie van de stelling van Lüroth (de stelling is gegeven)
 +
** de definitie van de homogene coördinatenring van een projectieve variëteit.
 +
 
  
 
=== Oefeningen ===  
 
=== Oefeningen ===  
*
 
 
** Oefening over pluckercoordinaten, staat ook in de cursus, aantonen dat de pluckercoordinaten van zo'n stelsel gelijk zijn aan ...
 
** Oefening over pluckercoordinaten, staat ook in de cursus, aantonen dat de pluckercoordinaten van zo'n stelsel gelijk zijn aan ...
 
** Iets over blowup bij de kromme y^2=x^3.  Geef de vergelijking van E en van de strict transform voor V_0 en V_1.  Snijden ze elkaar transversaal in de intersectiepunten?
 
** Iets over blowup bij de kromme y^2=x^3.  Geef de vergelijking van E en van de strict transform voor V_0 en V_1.  Snijden ze elkaar transversaal in de intersectiepunten?
* Zij V=V(XW-YZ).  
+
* Zij <math>k</math> een algebraïsch gesloten veld en zij <math>V = V(XW - YZ) \subseteq \mathbb{A}_k^4</math>.
** Toon aan dat V irreducibel is.
+
** Bewijs dat <math>V</math> een irreducibele affiene variëteit is.
** Geef het domein van de functie f=x/y.
+
** Definieer de rationale functie <math> f = x/y</math> op <math> V</math>. Bepaal het domein van <math> f</math>?
* [???]
+
* Zij <math>V = V(F) \subseteq \mathbb{A}_k^2</math> een affiene variëteit over een algebraïsch gesloten veld <math>k</math>, met <math>F \in k[X,Y]</math> een irreducibele veelterm en <math>\left|V(F)\right| = +\infty</math>. Zij <math>P</math> een niet-singulier punt van <math>V</math>. Bewijs dat elke rationale afbeelding <math>f: V - \to \mathbb{P}_k^2</math> regulier is in <math>P</math>.
* Beschouw 8 punten waarvan er 4 op een rechte liggen maar geen 5. Onder welke voorwaarden zijn de condities waarvoor deze 8 punten op een derdegraadskromme liggen onafhankelijk?
+
* Gegeven acht verschillende punten <math>P_1,P_2,\,\cdots,P_8</math> in het projectieve vlak waarvan er vier collineair zijn, maar geen vijf. Wanneer bepalen deze acht punten onafhankelijke voorwaarden op de coëfficiënten van derdegraadskrommen in het projectieve vlak?
  
 
[[Categorie:mw]]
 
[[Categorie:mw]]

Versie van 21 jan 2009 om 03:26

Examens

Juni 2006

Dit is het examen van 12 juni 2006: Algebraische meetkunde 20060612.pdf --Domi 16 jun 2006 15:43 (CEST) Het vak is misschien wel iet of wat in flux, dus het kan zijn dat ie volgend jaar andere dingen ziet en dus ook andere dingen zal vragen...


16 januari 2009

Theorie

  • Zij en zodat . Bewijs dat en constant zijn.
  • Zij variëteiten over een algebraïsch gesloten veld . Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen
    • de veeltermafbeeldingen
    • de -algebrahomomorfismes .
  • Formuleer
    • de definitie van de lokalisatie van een ring t.o.v. een multiplicatief gesloten deel van die ring
    • de meetkunde interpretatie van de stelling van Lüroth (de stelling is gegeven)
    • de definitie van de homogene coördinatenring van een projectieve variëteit.


Oefeningen

    • Oefening over pluckercoordinaten, staat ook in de cursus, aantonen dat de pluckercoordinaten van zo'n stelsel gelijk zijn aan ...
    • Iets over blowup bij de kromme y^2=x^3. Geef de vergelijking van E en van de strict transform voor V_0 en V_1. Snijden ze elkaar transversaal in de intersectiepunten?
  • Zij een algebraïsch gesloten veld en zij .
    • Bewijs dat een irreducibele affiene variëteit is.
    • Definieer de rationale functie op . Bepaal het domein van ?
  • Zij een affiene variëteit over een algebraïsch gesloten veld , met een irreducibele veelterm en . Zij een niet-singulier punt van . Bewijs dat elke rationale afbeelding regulier is in .
  • Gegeven acht verschillende punten in het projectieve vlak waarvan er vier collineair zijn, maar geen vijf. Wanneer bepalen deze acht punten onafhankelijke voorwaarden op de coëfficiënten van derdegraadskrommen in het projectieve vlak?