Analytical Mechanics

Ga naar: navigatie, zoeken

Algemeen

Dit vak wordt door prof. Maes en prof. Van Proeyen gegeven aan de master fysica en sterrenkunde. Het deel van prof. Maes bestaat vooral uit een herhaling en uitdieping van de resultaten uit klassieke mechanica. Je woordenschat" fysica-Frans" gaat er ook enorm op vooruit gaan: de cursus van het deel van prof. Maes komt uit Louvain la Neuve en is dus in het Frans. Het deel van Van Proeyen behandelt de mechanica op een veel meetkundigere manier.

Ook het examen bestaat uit 2 delen die beide op evenveel punten staan. Het examen is zeker niet ondoenbaar, al moet je in het deel van prof. Van Proeyen wel genoeg tijd stoppen om de theorie degelijk te begrijpen. Prof. Maes geeft gedurende het jaar wel eens een paar mogelijke vragen tijdens zijn les, dit jaar werd er daar een van gevraagd. Deze vragen al eens uitwerken kan dus wel helpen.

Examens

Examen januari 2008

Deel prof. Maes

  • 2 functies in 3d waren gegeven en je moest onderzoeken of ze afleidbaar waren van een potentiaal
  • Noteer met S de oppervlakte gevormd door een gesloten kromme in de faseruimte. Zoek een verband tussen en de periode van de beweging. Doe dit eerst voor de harmonische oscillator.
  • Is de Lagrangiaan uniek? Bekijk een transformatie L naar L + f(t). Wanneer laat deze de fysica invariant? Wat bedoel je hier juist mee? En tot wat leiden coordinatietransformaties?
  • Een punt met massa m2 hangt via een star touw van lengte L vast aan een punt met masse m1. Het punt kan op een horizontale as bewegen en hangt met een veer met veerconstante K vast. Bereken de Lagrangiaan. Welk zijn de behouden grootheden?

Deel prof. Van Proeyen

Time dependent constraints in D'Alembert

  • Bekijk een coordinatentransformatie x = x(q,t). Toon aan dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn voor een dergelijke transformatie, vanuit het principe van D'Alembert.
  • Bekijk nu constraints f(x(q,t),t) = 0. We kunnen deze implementeren door aan de Lagrangiaan een term toe te voegen: . Toon aan dat de Euler Lagrange vergelijking voor de constraint impliceert.
  • De bewegingsvergelijking voor x gaat wijzigen. Toon aan dat deze verandering niet bijdraagt aan de termen in het bewijs uit puntje 1.

Lagrange brackets

Bekijk een coördinatentransformatie, zodat de coordinaten {x} gegeven zijn in functie van {u}. We definiëren de Lagrange brackets als volgt .

  • Toon aan dat de Lagrange brackets de getransponeerde van de inverse van de Poisson brackets zijn. Doe dit door aan te tonen dat PL = 1 (eenheidsmatrix) met en (de gebruikelijke Poisson haken dus).
  • Bereken de canonische Lagrange gebrackets ( en dergelijke) en toon aan dat ze gelijk zijn aan de canonische Poisson brackets.
  • Bekijk in de faseruimte van minimale dimensie f = 5q+p en g = 2p. Bereken de Lagrange en Poisson brackets van deze twee grootheden.
  • Toon aan dat een inverteerbare transformatie canonisch is als en slechts als ze de canonische Lagrange brackets behoudt.