Commutative Algebra

Ga naar: navigatie, zoeken

Examen 13 januari 2008

Theorie

  • Bewijs van stelling 5 op pagina 29-32 van deel 1, met veel bijvragen. De eerste bijvraag was op voorhand gegeven: leg kort het basisidee van het bewijs uit.
  • Bewijs dat een product van twee objecten in een willekeurige categorie 'uniek' is (en leg uit wat deze uniciteit betekent).
  • Bewijs van stelling 5.5.2 ter plekke maken (zonder uniciteit, alleen het ketenmorfisme construeren). Je mag alleen het diagramma meebrengen. Uiteraard met een hele hoop bijvragen.
  • Een extra (onvoorbereide) vraag over tensorproducten: met welke bekende ring is isomorf? En hoe zou je beginnen met dit te bewijzen

Oefeningen

Opgave 1

Waar of niet waar? Licht je antwoord toe:

  • Zij k een veld. Een eindig voortgebrachte module over k[X] die een eindige dimensie heeft als vectorruimte over k is een torsiemodule. (Zoiets?)
  • Laat R een ring zijn en een kort exact rijtje. Als N en N' eindig voortgebracht worden, dan wordt ook M eindig voortgebracht.
Opgave 2

Zij A een abelse groep met voortbrengers en B een deelgroep voortgebracht door , en . Schrijf in cyclische deelmodulen (primaire ontbinding) en geef de voortbrengers.

Opgave 3

Zij een willekeurige categorie en zij twee morfismen in die categorie. De gelijkmaker van f en g is een morfisme zodat en voor elke andere gelijkmaker bestaat er een uniek morfisme zodat .

  • Toon aan dat de gelijkmaker een monomorfisme is.
  • Wat is de gelijkmaker van f en g in de categorie van de Abelse groepen?
  • Definieer de duale notie 'cogelijkmaker' in een willekeurige categorie.
  • Wat is de cogelijkmaker van f en g in de categorie van de Abelse groepen?
Opgave 4

Zij R een ring. Beschouw het volgende diagramma, waarin de rijen exact zijn en projectief. ExamenvraagModulen.png

  • Toon aan dat er een homomorfisme bestaat zodat
  • Toon aan dat er een homomorfisme bestaat zodat
  • Zij . Toon aan dat
  • Toon aan dat

Examen 4 september 2008

Theorie

  • Bewijs van stelling 2 op pagina 40 van deel 1, met een hoop bijvragen.
  • Vanalles met nulmorfismen.
  • Bewijs dat een functor met een linksadjuncte pullbacks bewaart.
  • Een diagram chase ("the five lemma"), ter plaatse uit te voeren.

Oefeningen

  • Waar of fout? Argumenteer.
    • Een projectieve, eindig voortgebrachte module over is vrij.
    • De kern en het beeld van een R-module homomorfisme (met R een commutatieve ring) van een Noetherse R-module naar een willekeurige R-module zijn beide opnieuw Noetherse R-modulen.
  • Zij een priemgetal. Elk rationaal getal kan uniek worden geschreven als , met geheel, onderling ondeelbaar en niet deelbaar door . We schrijven . Stel .
    • Bewijs dat een deelring is van .
    • Bewijs dat een Euclidisch domein is t.o.v. .
    • Zij een eindig voortgebrachte -module. Bewijs dat er een bestaat zodat een vrije -module is.
  • Invariante factoren van , met een gegeven 3 x 3 - matrix, en Jordan normaalvorm van .
  • Een vreselijk lange en nogal moeilijke opgave over de link tussen nuldelers in een commutatieve ring en lange exacte cohomologierijen... Ik ben niet helemaal zeker dat ik alles juist formuleer maar ik doe mijn best. Zij een commutatieve ring en zij . In deze opgave zullen we bekijken als nuldeler (tegen alle conventies in).
    • Bekijk het complex gegeven door met niet-triviale afbeelding . Bewijs dat als en slechts als geen nuldeler is in .
    • Bekijk het complex gegeven door met niet-triviale afbeeldingen en . Toon aan dat dit inderdaad een complex is en bewijs dat, als geen nuldeler is, geen nuldeler is in als en slechts als .
    • Zij het complex dat je bekomt door één plaats naar rechts te verschuiven. Bewijs dat er een exacte rij bestaat van complexen, bepaal de geassocieerde lange cohomologierij van je exacte rij en bereken expliciet de connecterende homomorfismen.
    • Stel nu dat een lokale ring is met maximaal ideaal . Stel dat en dat . Bewijs dan dat geen nuldeler is in . Je kan hiervoor het lemma van Nakayama gebruiken.