Klassieke Mechanica: verschil tussen versies

Ga naar: navigatie, zoeken
(xpDtLyCeh)
(ontspamd)
Regel 1: Regel 1:
  http://www.word-web-design.com/auto_insurance_quotes.html cheapest auto insurance :]]] http://www.neognostikos.net/ car insurance quotes :] http://www.oldstylelist.com/car-insurance car insurance >:-P
+
== Inleiding==
 +
Dit vak heette tot 2005 Mechanica II. Het vak werd gegeven door professor Janssen, tot 2008-2009. Sindsdien wordt het gegeven door professor Stesmans.
 +
 
 +
Je mag je verwachten aan twee theorievragen die je (met schriftelijke voorbereiding) mondeling moet verdedigen. Je zult ook enkele bijvragen mogen verwachten over de rest van de cursus. Je krijgt ook twee oefeningen die je schriftelijk moet oplossen.
 +
 
 +
==Examenvragen 2006==
 +
 
 +
 
 +
===Januari 2006, eerste reeks===
 +
 
 +
#Leid de bewegingsvergelijkingen voor een probleem met centrale krachten af, meer bepaald de hereleiding tot een ééndimensionaal probleem
 +
#Leid de bewegingsvergelijkingen van Euler af.
 +
 
 +
Dan kwamen er nog twee oefeningen, één over een of andere eigenaardige slinger en één over rotatie rond een vaste as:
 +
 
 +
1) Een punt X beweegt onder een gedwongen harmonische beweging over een horizontale as met gekende amplitude A en gekende omega. Deze beweging is gedwongen en het punt beweegt dus in het horizontale vlak. Aan het punt hangt een staaf met lengte L, homogeen. Het punt X is een scharnierpunt en op de staaf werkt de zwaartekracht. Kies veralgemeende coordinaten en stel Lagrangiaan op, wat gebeurt er als de staaf maar kleine uitwijkingen maakt?
 +
 
 +
2) Een cilinder ligt op een staaf, de staaf maakt horizontaal een harmonische beweging. Bereken de versnelling van het massacentrum van de cilinder.
 +
 
 +
[[Categorie:2bf]]
 +
[[Categorie:3bw]]
 +
 
 +
===Januari 2006, tweede reeks===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Bespreek vrije precessie (enkel tem hoeksnelheid van de presessie)
 +
#Pas variatierekening toe op de brachistochrone kromme (formule van variatierekenen moet niet afgeleid worden, maar is niet gegeven) en geef het principe van hamilton
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
 
 +
#trein (m=10^5kg) rijdt met 100km/h naar zuiden, bereken zijdelingse kracht die trein op rails uitoefent als gevolg van draaiing aarde
 +
#Staaf (lengte l, massa m) aan twee veren (één bovenaan, één onderaan; de veren hangen vast aan een muur), met massacentrum C dat op en rechte blijft, die loodrecht op de muur staat.  Het systeem kan wel draaien en schuiven: bespreek mbv lagrange als de uitwijkingen klein zijn (zie afbeelding)
 +
[[Afbeelding:klasmech1.jpg|200px]]
 +
 
 +
===Januari 2006, derde reeks===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Bespreek het verband tussen symmetrie en behoudswetten
 +
#Voer het begrip 'traagheidstensor' in. Hoe kan daarmee een uitdrukking opgeschreven worden voor het impulsmoment en de kin. energie van een star lichaam met een vast punt
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een cilinder met massa m rolt zonder slippen recht naar beneden over een blok met dezelfde massa. Het blok heeft een hellingshoek alfa en het kan zelf zonder wrijving over het horizontale vlak glijden. Bereken, dmv Lagrange, de versnelling van het blok
 +
#Een kanon vuurt een projectiel af met een beginsnelheid van 500m/s onder een hoek van 45° met de horizontale. Het kanon vuurt in noordelijke richting en van op de grond, op een plaats met breedte graad 45°.  Schat de zijwaartse versnelling van een dergelijk projectiel  als het op de top van zijn baan is. Verwaarloos de luchtwrijving.
 +
 
 +
===Januari 2006, vierde reeks===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Voer het begrip botsingsdoorsnede in, en leid de formule van Rutherford af.
 +
#Leg aan de hand van een voorbeeld "normale trillingswijze" uit.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een dunne staaf met massa m is verbonden aan een vast punt. De staaf beweegt vrij in de ruimte onder invloed van de zwaartekracht (dus niet noodzakelijk in een vlak). Bespreek de beweging door middel van Lagrange.
 +
#Een mathematische halter (twee puntmassa's verbonden door een massaloze staaf van lengte 2l) is in zijn zwaartepunt verbonden aan een vast punt. De halter draait rond de z-as (met constante hoeksnelheid omega) waarbij de halter een constante hoek alpha maakt met die z-as. (Zie tekening) Definieer een gepast relatief assenstelsel met de hoeken van Euler. Is er een krachtmoment nodig om de beweging te behouden?
 +
[[Afbeelding:KlassMech_oef2.PNG]]
 +
 
 +
===Augustus 2006, eerste reeks===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Leid de canonieke vergelijkingen van Hamilton af en geef de fysische betekenis van de Hamiltoniaan.
 +
#Gegeven zijn de beginposities en -snelheden van twee punten die verbonden zijn met een 1/r-potentiaal. Leidt de uitdrukking af voor de excentriciteit van de banen.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een mathematische slinger is verbonden aan het dak van een auto die met constante versnelling a beweegt. Stel de bewegingsvergelijking op met behulp van Lagrange door theta (de hoek tussen de vertikale en de slinger) als enige veralgemeende coördinaat (of als één van de veralgemeende coördinaten) te kiezen. Voor welke hoek is de slinger in evenwicht? Analyseer de beweging als de afwijking t.o.v. evenwicht klein is.
 +
#Prof G. Ekkemans wil in Leuven (54°N) zo snel bewegen dat de vertikale component van de Corioliskracht de zwaartekracht opheft. In welke richting moet hij dan bewegen om de snelheid zo laag mogelijk te houden? En hoe groot is dan die snelheid? Hoe groot is de horizontale component van de Coriolisversnelling dan?
 +
 
 +
==Examenvragen 2007==
 +
===Januari 2007, eerste reeks===
 +
'''Theorie'''
 +
#Bespreek de evenwichtspositie van een schietlood, rekening houdende met de draaiing van de aarde rond haar eigen as.
 +
#Bespreek de eendimensionale beweging van een punt op een as, voor posities rond het extremum van de potentiële energie. Hoe kan, bij een meerdimensionale beweging, de kinetische energie beschreven worden met behulp van de traagheidsmatrix.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een vouwladder bestaat uit twee benen die op een ideale gladde vloed staan. De benen hebben massa m en lengte l. De middens van de benen zijn verbonden door een ideale veer (natuurlijke lengte 0) met veerconstante k. Onderzoek de meest algemene beweging van het systeem. Kies hiervoor goede veralgemeende coördinaten en stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op. Wat zijn de evenwichtsposities van het systeem? (Tips van de prof: De bewegingsvergelijkingen moeten niet opgelost worden. De ladder blijft wel met de voeten op de grond, en gaat dus niet vliegen.)
 +
#De hefkracht H, geleverd door de vleugels van een vliegtuig, staat altijd loodrecht op het vlak van het vliegtuig (dit is het vlak bepaald door de vleugels e de lengte-as). Stel dat een vliegtuig een horizontale snelheid van 880 hm/u heeft op een plaats op 55° breedtegraad. Bereken de hoek t.o.v. de lengte-as waarover de vleugels gedraaid moeten worden om de horizontale componente van de corioliskracht te compenseren.
 +
 
 +
===Januari 2007, tweede reeks===
 +
'''Theorie'''
 +
#Leg het verband uit tussen symmetrie van een systeem en de behoudswetten van impuls, impulsmoment en energie.
 +
#Stel de bewegingsvergelijkingen van Euler op voor de beweging van een star lichaam met een vast punt. + geef voorbeeld waar deze gebruikt worden.
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Je hebt een staaf AB, met gegeven traagheidsmoment I, draait rond een punt op een verticale holle pikkel, beginsnelheid <math>\omega_0</math>. Er is een massa M die vrij en wrijvingsloos kan bewegen over de staaf. Deze is vastgemaakt aan een massaloos touwtje dat door de holle pikkel gaat en op het einde van dit draadje is een tweede massa m vastgemaakt. Deze tweede massa kan enkel verticaal bewegen. Stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op. Kan het zijn dat de massa M ten opzichte van de staaf in rust blijft.
 +
#Een horizontale schijf draait rond een vertikale as door zijn middelpunt met constante hoeksnelheid. In het laboratorium laat men een massa m op een afstand R van het middelpunt los, waarbij men er zeer goed op let dat m in rust is ten opzichte van het laboratorium.
 +
##Veronderstel dat er geen wrijving is tussen het punt en de schijf. Toon aan dat de massa m een cirkel beschrijft ten opzichte van de schijf. Leg het uit volledig bekeken vanuit het relatieve assenstelsel( Dus met schijnkrachten).
 +
##Indien er wel wrijving is, zal de massa wegspiraliseren. Waarom?
 +
##Hoe groot moet <math>\mu</math> minimaal zijn opdat de massa nu in rust is tov de schijf en een cirkelbeweging maakt ten opzichte van het laboratorium.
 +
 
 +
 
 +
===Januari 2007, derde reeks===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Beschouw twee deeltjes die bewegen onder invloed van een onderlinge kracht, die steeds volgens de verbindingslijn gericht is. We hebben in de cursus een baanvergelijking voor afgeleid voor het equivalente eendeeltjesprobleem (zie formularium). Hoe kan je de excentriciteit e die voorkomt in deze vergelijking bepalen uit de beginvoorwaarden?
 +
#Precessie en nutatie...
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Lagrange-vergelijkingen, tekening nodig, zet ik er later wel eens op... ''[Aaaany time now...]''
 +
#Op een vrachtwagen met een perfect glad "oppervlak" (laadruimte) ligt een perfecte cilinder, op afstand d van de rand van het oppervlak. De vrachtwagen en de cilinder zijn initieel in rust, en de vrachtwagen begint dan te rijden met een constante versnelling. Welke afstand heeft de vrachtwagen afgelegd op het moment dat de cilinder van de vrachtwagen valt?
 +
 
 +
===Augustus 2007, eerste reeks===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Bespreek het vallen van een deeltje naar de aarde (dus coriolis en dergelijke).
 +
#Bespreek het draaien van een tol vanaf nutatie.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#In horizontale vlak in oorsprong bevindt zich punt A van een staaf AB. Deze staaf draait met constante hoeksnelheid omega in het vlak. Dan aan scharnierpunt B een massaloze staaf BC waarbij C massa m heeft. Bespreek met behulp van Lagrange de beweging. Is het mogelijk dat het geheel zich als één starre staaf kan gedragen? Wat gebeurt er als het hier een beetje van afwijkt?
 +
#Een deeltje met massa m beweegt met snelheid v_0 in positive x-richting. Een ander deeltje met massa 2m beweegt in negatieve x-Richting met snelheid v_0. We hebben een afstotende potentiaal (met kracht k/r²). De deeltjes bevinden zich oorspronkelijk ver van mekaar. De afstand tussen de beide rechten waarover de deeltjes zich bewegen, bedraagt d. Zoek de excentriciteit van de banen.
 +
 
 +
===Augustus 2007, tweede reeks===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Bespreek het verband tussen symmetrie en behoudswetten: impuls, impulsmoment en energie.
 +
#Trillingen met kleine amplitude: 1D beweging niet ver van evenwicht. Voer de traagheidsmatrix in voor systemen met meerdere vrijheidsgraden.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Stel de bewegingsvergelijkingen van Laplace op voor de beweging van een deeltje in een 'dakgoot'.
 +
[[Afbeelding:dakgoot.png]]
 +
#Een cilinder ligt op een plank die oscilleert met hoeksnelheid <math>\omega</math> en amplitude A. Wat is de maximale amplitude (in functie van de wrijvingsconstante <math>\mu</math> en de hoeksnelheid) zodanig dat de cilinder niet doorslipt?
 +
[[Afbeelding:cilinder_op_plank.png]]
 +
 
 +
==Examenvragen 2008==
 +
 
 +
===Januari 2008, eerste reeks===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Stel de vergelijking van Euler voor variatierekening op. Bespreek het integraalprincipe van Hamilton.
 +
#Leg het begrip botsingsdoorsnede uit en leid de formule van Rutherford af.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
# Een staaf OA met lengte <math>L_{0}</math> kan uitsluitend in een horizontaal vrij draaien rond een vast punt O. In A is een massaloze veer bevestigd die in haar ander uiteinde een puntmassa m draagt. De veer heeft stijfheidsconstante k en onbelaste lengte <math>l_{0}</math>
 +
##Kies een gepast aantal veralgemeende coordinaten en stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op.
 +
##Leg dan de bijkomende eis op dat de veer steeds loodrecht op de staaf staat, (bijvoorbeeld door een extra staaf te fixeren in A zodat  m enkel over de staaf kan bewegen). Ga na wat de bewegingsvergelijkingen nu worden.
 +
#Een homogene ronde schijf met een massa van 2 kg en een straal van 10 cm ligt op een horizontale ijspiste zodat er geen wrijving is. Op de schijf is een massaloos touwtje gewikkeld waaraan horizontaal wordt getrokken met een constante kracht (dus constant in grootte en zin).In het begin ligt de schijf stil en 20 seconden nadat het trekken begonnen is, is centrum van de schijf verplaatst over 50cm. Wat is de hoeksnelheid op dat moment?
 +
 
 +
===Augustus 2008===
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Het zogenaamde tweedeeltjesprobleem (met een centrale interactie) kan herleid worden tot een equivalent ééndeeltjesprobleem. Hoe kun je, hiervan vertrekkend, komen tot de vergelijking <math>\mu\ddot{r} - \frac{l^2}{\mu r^3} = f(r)</math> die de tijdsafhankelijkheid van de afstand tot de oorsprong beschrijft?
 +
#Mag algemeen verondersteld worden dat het krachtmoment op een systeem van deeltjes gelijk is aan de afgeleide van het impulsmoment, ook als men in een niet-inertiaalsysteem werkt? Leg zorgvuldig uit.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een homogeen blok kan, steeds evenwijdig met zichzelf blijvend, zonder wrijving glijden over een hellend vlak (hellingshoek <math>\alpha</math>). Men mag aannemen dat het hellend vlak zelf steeds in rust is en blijft. Boven op het blok ligt een cilinder met straal R, die over het blok kan rollen zonder slippen (tov het blok). De symmetrieas van de cilinder blijft steeds evenwijdig met zichzelf en loodrecht op de figuur. Het massacentrum van zowel het blok als de cilinder blijft steeds in het tekenvlak liggen. Beschrijf met behulp van de bewegingsvergelijkingen van Lagrange hoe de beweging verloopt. Bij de aanvang is alles in rust en liggen het massacentrum van de cilinder en van het blok op dezelfde loodlijn op de helling.
 +
#Beschouw de aarde als een perfecte, homogene bol waarvan het centrum vaststaat in een inertiaalstelsel. Houd wel rekening met de rotatie om eigen as. Op een plaats met breedtegraad 50° wordt een (verder als een punt te beschouwen) steen op de (horizontale) grong gelegd en die blijft daar (tov de aarde) gewoon liggen. Hoe groot is de wrijvingscoëfficient van de steen tov de aarde? gegevens aarde: hoeksnelheid 7,27e-5 rad/s en straal 6,4e6 m.
 +
 
 +
==Examenvragen 2009==
 +
===Januari 2009===
 +
 
 +
''12 januari voormiddag''
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Geef de afleiding van een twee-deeltjesprobleem naar een equivalent een-deeltjesprobleem in geval van een centrale kracht. Geef dan de lagrangiaan in bolcoördinaten van het systeem.
 +
#Voer de traagheidstensor in om het impulsmoment en de kinetische energie van een star lichaam rond een vast punt te beschrijven.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een homogene staaf met massa m en lengte l hangt aan een wrijvingsloos scharnier. Het scharnier voert een gedwongen harmonische (horizontale) beweging uit met pulsatie w en amplitude A. Kies de gepaste veralgemeende coördinaten en stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op. Veronderstel vervolgens dat de staaf weinig afwijkt van de verticale. Wat kan je zeggen over de beweging van het systeem?
 +
#Een homogene cilinder (straal R, massa m) ligt op een plank die een harmonische beweging uitvoert (pulsatie w, amplitude A). Zoek de versnelling van het massacentrum van de cilinder tov de plank. Er is steeds rollen zonder slippen.
 +
 
 +
''12 januari namiddag''
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Stel de vergelijking van Euler voor de variatierekening op. Laat zien hoe de bewegingsvergelijkingen van Lagrange samenhangen met het principe van Hamilton over extremale actie.
 +
#Bespreek de beweging van een tol (precessie en nutatie).
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een cilinder van massa m heeft binnenin boven en onderaan twee gelijke massaloze veren die met elkaar verbonden zijn met een blok van massa 5m. In rust is de uitwijking van het blok h. Stel dat de cilinder plots in vrije val komt, stel dan de bewegingsvergelijkingen op en bereken de pulsatie van het blok ten opzichte van de cilinder.
 +
#Een blok schuift op een wrijvingsloze horizontale tafel. Als gevolg van de rotatie van de aarde wijkt het pad van het blokje af van een rechte lijn. Bepaal de afwijking van het blokje.
 +
 
 +
''19 januari voormiddag''
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Definieer de Hamiltoniaan van een systeem van deeltjes en leid de canonieke vergelijkingen van Hamilton. Geef de fysische betekenis van de Hamiltoniaan.
 +
#Mag men in het algemeen stellen dat het krachtmoment gelijk is aan de afgeleide van het impulsmoment. Bespreek zo nauwkeurig mogelijk.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een helix wordt in cartesische coördinaten gegeven door (x,y,z) = (Rcos(az),Rsin(az),z) met R en a vaste reële getallen. Een staaf AB met lengte R zit met het punt A gescharnierd aan de z-as en het punt B ligt op de helix. (Die gebeurt allemaal wrijvingsloos.) Bespreek aan de hand van de bewegingsvergelijkingen van Lagrange de beweging van de staaf. (Hint: denk eerst even na welke hoek de staaf maakt met de z-as.)
 +
#Een kevertje met massa m kruipt met een constante snelheid v0 over een draaitafel en doet dit in een cirkelvorm met straal R en concentrisch met de draaitafel. De wrijvingscoëfficiënt tussen kever en tafel is µ en de tafel draait met constante hoeksnelheid w. Bepaal de maximale snelheid die de kever mag hebben zodat hij blijft kruipen zonder te slippen. (Maak een onderscheid tussen het geval waarin hij met de tafel meekruipt, of tegen de rotatie in.)
 +
 
 +
===Augustus 2009===
 +
''28 augustus voormiddag''
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Definieer de Hamiltoniaan van een systeem van deeltjes en leid de canonieke vergelijkingen van Hamilton. Geef de fysische betekenis van de Hamiltoniaan.
 +
#Bespreek vrije precessie van een cilindrisch symmetrisch star lichaam.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een homogene staaf van lengte l en massa m hangt met een wrijvings- en massaloos scharnier aan een verticale rechte. De beweging kan alleen in een vlak. Geef de bewegingsvergelijkingen en zeg of er een of meerdere constante oplossingen voor de hoek zijn.
 +
#Een eenmotorig vliegtuig vliegt op een cirkel met straal 100 aan een snelheid 300km/h. De motor moet een moment leveren om de rotor te doen draaien als het vliegtuig rechtdoor vliegt. Wat is het bijkomende moment voor de beweging op de cirkel? Het traagheidsmoment ten opzichte van de rotatie-as van de schroef is 7.00 kg m² en de schroef draait aan 1000 toeren per minuut.
 +
 
 +
 
 +
''31 augustus voormiddag''
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Bespreek de brachystochrone kromme en het principe van Hamilton.
 +
#Voer de traagheidstensor in en leidt een uitdrukking af voor het impulsmoment en de kinetische energie.
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een staaf met massa M draait in een horizontaal vlak. Op de staaf glijden zonder wrijving 2 puntmassa's, onderling verbonden met een veer. Je mag de onbelaste lengte van de veer verwaarlozen. Kies gepaste veralgemeende coordinaten en stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op.
 +
#Een staaf kan in een verticaal vlak draaien om haar middelpunt. Vindt hoe deze hoek verandert als je weet dat de hele constructie op een draaitafel staaf die met een constante hoeksnelheid draait in het horizontale vlak.
 +
 
 +
==Examenvragen 2010==
 +
===Januari 2010===
 +
''18 januari voormiddag''
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
#Bespreek symmetrie, in verband met impuls, impulsmoment en energie.
 +
#Leg de impulsmoment uit aan de hand van het traagheidsmoment en het traagheidsproduct. En leidt de vergelijkingen van Euler af.
 +
(Bijvragen: wat betekent de doorsnede in botsingsdoorsnede? leg kort uit wat precessie en nutatie is en in welke situatie dit voorkomt. Wat zijn, en waarvoor gebruikt men, orthogonale coördinaten?)
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
#Een puntmassa m hangt aan een massaloze staaf met lengte l op aan een vast punt. De beweging gebeurt niet noodzakelijk in een vlak. Geef gepaste veralgemeende coördinaten en los de verrgelijkingen van Lagrange op. Onder welke voorwaarden gebeurt de beweging in een vlak?
 +
#Twee deeltjes bewegen oorspronkelijk ver van elkaar in twee evenwijdige rechten (afstand tussen de twee rechten is d), 1 deeltje heeft massa m en snelheid <math>\overline{v_{0}}</math> en het tweede deeltje heeft massa 2m en snelheid <math>-\overline{v_{0}}</math>. Gevraagd is de excentriciteit van zowel de baan van het eerste deeltje als de baan van het tweede deeltje.
 +
 
 +
 
 +
''22 januari voormiddag''
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
# Definieer de Hamiltoniaan en leidt de canonische bewegingsvergelijkingen van Hamilton af. Bijvragen: Wat stelt de hamiltoniaan voor? Wat indien tijdsonafhankelijk (welk soort verbindingen?). Waartoe leiden de beweginsvergelijkingen van Hamilton, en waartoe leiden deze van Lagrange (aantal vergelijkingen, orde vd diffvgln, aantal beginvoorwaarden).
 +
# Bespreek het vallen van een deeltje, hou rekening met de rotatie van de aarde. Bijvragen: Je gaat van noord naar zuid in het noordelijk halfrond, naar waar is de coriolisversnelling gericht? Wat is het verschil tussen een synodische en een siderische dag? Welke is langer?
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
# Een puntmassa kan over de diagonaal van een horizontale schijf bewegen. De schijf draait rond aan een constante hoeksnelheid <math>\omega</math>. Het deeltje bevindt zich op t=0 op de rand van de schijf, en beweegt aan een snelheid v volgens de diagonaal. Bereken de krachten die inwerken op het deeltje, en teken deze op een schets van de situatie.
 +
# Een staaf AB hangt horizontaal aan een vast punt A. Het punt B voert een horizontale rotatie uit met pulsatie <math>\omega</math>. Aan B is een andere staaf, BC bevestigd, met in C een puntmassa, m. De staaf BC ligt in hetzelfde horizontale vlak als AB. Het geheel is wrijvingsloos. Bespreek de beweging van de puntmassa. Kan het geheel zich als 1 starre staaf gedragen? (geef de beginvoorwaarden). Beschrijf de beweging indien de staaf BC slechts weinig van deze positie afwijkt.
 +
 
 +
 
 +
===Augustus 2010===
 +
"23 Augustus"
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
# Wat zijn “de hoeken van Euler”. ? Leg uit hoe ze gebruikt kunnen worden om de rotatievector van een star lichaam uit te drukken in coördinaten van het meebewegende assenstelsel.
 +
# Bespreek de beweging van een deeltje in 1 dimensie rond evenwicht.
 +
Breidt vervolgens uit naar meerdere dimensies. Leg uit wat orthogonale coördinaten zijn; voer de traagheidstensor in en leid de vergelijking voor de kinetische energie in functie van de traagheidstensor af.
 +
 
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
 
 +
2 deeltjes met massa m zijn verbonden aan een veer met veerconstante k. Ze kunnen in een cirkel bewegen omheen een horizontaal gelegen as. De veer staat steeds loodrecht op deze as.
 +
 
 +
## Stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op.
 +
## Toon dat, als je de lagrangiaan in cilindercoördinaten schrijft, je een uitdrukking krijgt met gereduceerde massa mu en een potentiaal deel.
 +
## Zoek de evenwichtssituaties.
 +
 
 +
Een massaloze staaf met twee bollen met massa M en straal R, zodat de afstand tussen de centra van de bollen gelijk is aan 4R. Deze staaf met bollen roteert in de ruimte en op een bepaald moment ligt de staaf parallel met de z-as. En ligt de rotatievector omega in het y-z-vlak  onder een hoek alfa met de y-as.
 +
 
 +
## Toon aan dat de assen nu volgens de hoofdtraagheidsassen van het systeem liggen
 +
## Bepaal de hoek tussen het impulsmoment L en de rotatievector omega.
 +
 
 +
''2 september''
 +
 
 +
'''Theorie'''
 +
# Hoe kun je uit de beginvoorwaarden de excentriciteit berekenen van 2 punten die verbonden zijn met een 1/r-potentiaal. Leidt de uitdrukking af.
 +
# Bespreek de eendimensionale beweging van een punt op een as, voor posities rond het extremum van de potentiële energie. Hoe kan, bij een meerdimensionale beweging, de kinetische energie beschreven worden met behulp van de traagheidsmatrix. Wat zijn orthogonale co\"ordinaten?
 +
* Bijvragen: Wat is de botsingsdoorsnede? Als je van de noordpool naar de evenaar gaat, in welke richting staat dan de coriolisversnelling?
 +
 
 +
'''Oefeningen'''
 +
# Een auto rijdt over een horizontale weg met een constante versnelling a. In de auto, aan het dak, hangt een mathematische slinger (een massaloze stang van lengte l, met aan het uiteinde een puntmassa met massa m).
 +
## Stel de bewegingsvergelijking(en) van Lagrange op met de passende veralgemeende co\"ordinaten.
 +
## Wat is de evenwichtspositie?
 +
## Beschrijf de beweging als de slinger een kleine uitwijking maakt van de evenwichtspositie.
 +
# Bekijk een staaf AB met lengte l en massa M. De staaf staat vast in punt A tegen de onderkant van de muur. In B is er een puntmassa bevestigd aan de staaf met massa m. De staaf maakt een hoek <math>\theta_0</math> met de muur.
 +
## De staaf wordt losgelaten. Bereken de tijd <math>\tau</math> die de staaf ervoor nodig heeft om de grond (de horizontale) te bereiken.
 +
## Bereken de tijd <math>\tau</math> die de staaf ervoor nodig heeft om de grond te bereiken wanneer m=0.
 +
## In welke van deze twee situaties van de staaf het snelste?
 +
 
 +
==Examenvragen 2011==
 +
===Januari 2010===
 +
''24 januari voormiddag''
 +
Omdat pdf leuker is: [[Media:Hetexamenklassiekemechanicavanmaandag24januari2011vandevoormiddag.pdf|Klassieke Mechanica 24 januari]]

Versie van 23 mrt 2011 om 23:24

Inleiding

Dit vak heette tot 2005 Mechanica II. Het vak werd gegeven door professor Janssen, tot 2008-2009. Sindsdien wordt het gegeven door professor Stesmans.

Je mag je verwachten aan twee theorievragen die je (met schriftelijke voorbereiding) mondeling moet verdedigen. Je zult ook enkele bijvragen mogen verwachten over de rest van de cursus. Je krijgt ook twee oefeningen die je schriftelijk moet oplossen.

Examenvragen 2006

Januari 2006, eerste reeks

  1. Leid de bewegingsvergelijkingen voor een probleem met centrale krachten af, meer bepaald de hereleiding tot een ééndimensionaal probleem
  2. Leid de bewegingsvergelijkingen van Euler af.

Dan kwamen er nog twee oefeningen, één over een of andere eigenaardige slinger en één over rotatie rond een vaste as:

1) Een punt X beweegt onder een gedwongen harmonische beweging over een horizontale as met gekende amplitude A en gekende omega. Deze beweging is gedwongen en het punt beweegt dus in het horizontale vlak. Aan het punt hangt een staaf met lengte L, homogeen. Het punt X is een scharnierpunt en op de staaf werkt de zwaartekracht. Kies veralgemeende coordinaten en stel Lagrangiaan op, wat gebeurt er als de staaf maar kleine uitwijkingen maakt?

2) Een cilinder ligt op een staaf, de staaf maakt horizontaal een harmonische beweging. Bereken de versnelling van het massacentrum van de cilinder.

Januari 2006, tweede reeks

Theorie

  1. Bespreek vrije precessie (enkel tem hoeksnelheid van de presessie)
  2. Pas variatierekening toe op de brachistochrone kromme (formule van variatierekenen moet niet afgeleid worden, maar is niet gegeven) en geef het principe van hamilton

Oefeningen

  1. trein (m=10^5kg) rijdt met 100km/h naar zuiden, bereken zijdelingse kracht die trein op rails uitoefent als gevolg van draaiing aarde
  2. Staaf (lengte l, massa m) aan twee veren (één bovenaan, één onderaan; de veren hangen vast aan een muur), met massacentrum C dat op en rechte blijft, die loodrecht op de muur staat. Het systeem kan wel draaien en schuiven: bespreek mbv lagrange als de uitwijkingen klein zijn (zie afbeelding)

Klasmech1.jpg

Januari 2006, derde reeks

Theorie

  1. Bespreek het verband tussen symmetrie en behoudswetten
  2. Voer het begrip 'traagheidstensor' in. Hoe kan daarmee een uitdrukking opgeschreven worden voor het impulsmoment en de kin. energie van een star lichaam met een vast punt

Oefeningen

  1. Een cilinder met massa m rolt zonder slippen recht naar beneden over een blok met dezelfde massa. Het blok heeft een hellingshoek alfa en het kan zelf zonder wrijving over het horizontale vlak glijden. Bereken, dmv Lagrange, de versnelling van het blok
  2. Een kanon vuurt een projectiel af met een beginsnelheid van 500m/s onder een hoek van 45° met de horizontale. Het kanon vuurt in noordelijke richting en van op de grond, op een plaats met breedte graad 45°. Schat de zijwaartse versnelling van een dergelijk projectiel als het op de top van zijn baan is. Verwaarloos de luchtwrijving.

Januari 2006, vierde reeks

Theorie

  1. Voer het begrip botsingsdoorsnede in, en leid de formule van Rutherford af.
  2. Leg aan de hand van een voorbeeld "normale trillingswijze" uit.

Oefeningen

  1. Een dunne staaf met massa m is verbonden aan een vast punt. De staaf beweegt vrij in de ruimte onder invloed van de zwaartekracht (dus niet noodzakelijk in een vlak). Bespreek de beweging door middel van Lagrange.
  2. Een mathematische halter (twee puntmassa's verbonden door een massaloze staaf van lengte 2l) is in zijn zwaartepunt verbonden aan een vast punt. De halter draait rond de z-as (met constante hoeksnelheid omega) waarbij de halter een constante hoek alpha maakt met die z-as. (Zie tekening) Definieer een gepast relatief assenstelsel met de hoeken van Euler. Is er een krachtmoment nodig om de beweging te behouden?

KlassMech oef2.PNG

Augustus 2006, eerste reeks

Theorie

  1. Leid de canonieke vergelijkingen van Hamilton af en geef de fysische betekenis van de Hamiltoniaan.
  2. Gegeven zijn de beginposities en -snelheden van twee punten die verbonden zijn met een 1/r-potentiaal. Leidt de uitdrukking af voor de excentriciteit van de banen.

Oefeningen

  1. Een mathematische slinger is verbonden aan het dak van een auto die met constante versnelling a beweegt. Stel de bewegingsvergelijking op met behulp van Lagrange door theta (de hoek tussen de vertikale en de slinger) als enige veralgemeende coördinaat (of als één van de veralgemeende coördinaten) te kiezen. Voor welke hoek is de slinger in evenwicht? Analyseer de beweging als de afwijking t.o.v. evenwicht klein is.
  2. Prof G. Ekkemans wil in Leuven (54°N) zo snel bewegen dat de vertikale component van de Corioliskracht de zwaartekracht opheft. In welke richting moet hij dan bewegen om de snelheid zo laag mogelijk te houden? En hoe groot is dan die snelheid? Hoe groot is de horizontale component van de Coriolisversnelling dan?

Examenvragen 2007

Januari 2007, eerste reeks

Theorie

  1. Bespreek de evenwichtspositie van een schietlood, rekening houdende met de draaiing van de aarde rond haar eigen as.
  2. Bespreek de eendimensionale beweging van een punt op een as, voor posities rond het extremum van de potentiële energie. Hoe kan, bij een meerdimensionale beweging, de kinetische energie beschreven worden met behulp van de traagheidsmatrix.

Oefeningen

  1. Een vouwladder bestaat uit twee benen die op een ideale gladde vloed staan. De benen hebben massa m en lengte l. De middens van de benen zijn verbonden door een ideale veer (natuurlijke lengte 0) met veerconstante k. Onderzoek de meest algemene beweging van het systeem. Kies hiervoor goede veralgemeende coördinaten en stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op. Wat zijn de evenwichtsposities van het systeem? (Tips van de prof: De bewegingsvergelijkingen moeten niet opgelost worden. De ladder blijft wel met de voeten op de grond, en gaat dus niet vliegen.)
  2. De hefkracht H, geleverd door de vleugels van een vliegtuig, staat altijd loodrecht op het vlak van het vliegtuig (dit is het vlak bepaald door de vleugels e de lengte-as). Stel dat een vliegtuig een horizontale snelheid van 880 hm/u heeft op een plaats op 55° breedtegraad. Bereken de hoek t.o.v. de lengte-as waarover de vleugels gedraaid moeten worden om de horizontale componente van de corioliskracht te compenseren.

Januari 2007, tweede reeks

Theorie

  1. Leg het verband uit tussen symmetrie van een systeem en de behoudswetten van impuls, impulsmoment en energie.
  2. Stel de bewegingsvergelijkingen van Euler op voor de beweging van een star lichaam met een vast punt. + geef voorbeeld waar deze gebruikt worden.

Oefeningen

  1. Je hebt een staaf AB, met gegeven traagheidsmoment I, draait rond een punt op een verticale holle pikkel, beginsnelheid . Er is een massa M die vrij en wrijvingsloos kan bewegen over de staaf. Deze is vastgemaakt aan een massaloos touwtje dat door de holle pikkel gaat en op het einde van dit draadje is een tweede massa m vastgemaakt. Deze tweede massa kan enkel verticaal bewegen. Stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op. Kan het zijn dat de massa M ten opzichte van de staaf in rust blijft.
  2. Een horizontale schijf draait rond een vertikale as door zijn middelpunt met constante hoeksnelheid. In het laboratorium laat men een massa m op een afstand R van het middelpunt los, waarbij men er zeer goed op let dat m in rust is ten opzichte van het laboratorium.
    1. Veronderstel dat er geen wrijving is tussen het punt en de schijf. Toon aan dat de massa m een cirkel beschrijft ten opzichte van de schijf. Leg het uit volledig bekeken vanuit het relatieve assenstelsel( Dus met schijnkrachten).
    2. Indien er wel wrijving is, zal de massa wegspiraliseren. Waarom?
    3. Hoe groot moet minimaal zijn opdat de massa nu in rust is tov de schijf en een cirkelbeweging maakt ten opzichte van het laboratorium.


Januari 2007, derde reeks

Theorie

  1. Beschouw twee deeltjes die bewegen onder invloed van een onderlinge kracht, die steeds volgens de verbindingslijn gericht is. We hebben in de cursus een baanvergelijking voor afgeleid voor het equivalente eendeeltjesprobleem (zie formularium). Hoe kan je de excentriciteit e die voorkomt in deze vergelijking bepalen uit de beginvoorwaarden?
  2. Precessie en nutatie...

Oefeningen

  1. Lagrange-vergelijkingen, tekening nodig, zet ik er later wel eens op... [Aaaany time now...]
  2. Op een vrachtwagen met een perfect glad "oppervlak" (laadruimte) ligt een perfecte cilinder, op afstand d van de rand van het oppervlak. De vrachtwagen en de cilinder zijn initieel in rust, en de vrachtwagen begint dan te rijden met een constante versnelling. Welke afstand heeft de vrachtwagen afgelegd op het moment dat de cilinder van de vrachtwagen valt?

Augustus 2007, eerste reeks

Theorie

  1. Bespreek het vallen van een deeltje naar de aarde (dus coriolis en dergelijke).
  2. Bespreek het draaien van een tol vanaf nutatie.

Oefeningen

  1. In horizontale vlak in oorsprong bevindt zich punt A van een staaf AB. Deze staaf draait met constante hoeksnelheid omega in het vlak. Dan aan scharnierpunt B een massaloze staaf BC waarbij C massa m heeft. Bespreek met behulp van Lagrange de beweging. Is het mogelijk dat het geheel zich als één starre staaf kan gedragen? Wat gebeurt er als het hier een beetje van afwijkt?
  2. Een deeltje met massa m beweegt met snelheid v_0 in positive x-richting. Een ander deeltje met massa 2m beweegt in negatieve x-Richting met snelheid v_0. We hebben een afstotende potentiaal (met kracht k/r²). De deeltjes bevinden zich oorspronkelijk ver van mekaar. De afstand tussen de beide rechten waarover de deeltjes zich bewegen, bedraagt d. Zoek de excentriciteit van de banen.

Augustus 2007, tweede reeks

Theorie

  1. Bespreek het verband tussen symmetrie en behoudswetten: impuls, impulsmoment en energie.
  2. Trillingen met kleine amplitude: 1D beweging niet ver van evenwicht. Voer de traagheidsmatrix in voor systemen met meerdere vrijheidsgraden.

Oefeningen

  1. Stel de bewegingsvergelijkingen van Laplace op voor de beweging van een deeltje in een 'dakgoot'.

Dakgoot.png

  1. Een cilinder ligt op een plank die oscilleert met hoeksnelheid en amplitude A. Wat is de maximale amplitude (in functie van de wrijvingsconstante en de hoeksnelheid) zodanig dat de cilinder niet doorslipt?

Cilinder op plank.png

Examenvragen 2008

Januari 2008, eerste reeks

Theorie

  1. Stel de vergelijking van Euler voor variatierekening op. Bespreek het integraalprincipe van Hamilton.
  2. Leg het begrip botsingsdoorsnede uit en leid de formule van Rutherford af.

Oefeningen

  1. Een staaf OA met lengte kan uitsluitend in een horizontaal vrij draaien rond een vast punt O. In A is een massaloze veer bevestigd die in haar ander uiteinde een puntmassa m draagt. De veer heeft stijfheidsconstante k en onbelaste lengte
    1. Kies een gepast aantal veralgemeende coordinaten en stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op.
    2. Leg dan de bijkomende eis op dat de veer steeds loodrecht op de staaf staat, (bijvoorbeeld door een extra staaf te fixeren in A zodat m enkel over de staaf kan bewegen). Ga na wat de bewegingsvergelijkingen nu worden.
  2. Een homogene ronde schijf met een massa van 2 kg en een straal van 10 cm ligt op een horizontale ijspiste zodat er geen wrijving is. Op de schijf is een massaloos touwtje gewikkeld waaraan horizontaal wordt getrokken met een constante kracht (dus constant in grootte en zin).In het begin ligt de schijf stil en 20 seconden nadat het trekken begonnen is, is centrum van de schijf verplaatst over 50cm. Wat is de hoeksnelheid op dat moment?

Augustus 2008

Theorie

  1. Het zogenaamde tweedeeltjesprobleem (met een centrale interactie) kan herleid worden tot een equivalent ééndeeltjesprobleem. Hoe kun je, hiervan vertrekkend, komen tot de vergelijking die de tijdsafhankelijkheid van de afstand tot de oorsprong beschrijft?
  2. Mag algemeen verondersteld worden dat het krachtmoment op een systeem van deeltjes gelijk is aan de afgeleide van het impulsmoment, ook als men in een niet-inertiaalsysteem werkt? Leg zorgvuldig uit.

Oefeningen

  1. Een homogeen blok kan, steeds evenwijdig met zichzelf blijvend, zonder wrijving glijden over een hellend vlak (hellingshoek ). Men mag aannemen dat het hellend vlak zelf steeds in rust is en blijft. Boven op het blok ligt een cilinder met straal R, die over het blok kan rollen zonder slippen (tov het blok). De symmetrieas van de cilinder blijft steeds evenwijdig met zichzelf en loodrecht op de figuur. Het massacentrum van zowel het blok als de cilinder blijft steeds in het tekenvlak liggen. Beschrijf met behulp van de bewegingsvergelijkingen van Lagrange hoe de beweging verloopt. Bij de aanvang is alles in rust en liggen het massacentrum van de cilinder en van het blok op dezelfde loodlijn op de helling.
  2. Beschouw de aarde als een perfecte, homogene bol waarvan het centrum vaststaat in een inertiaalstelsel. Houd wel rekening met de rotatie om eigen as. Op een plaats met breedtegraad 50° wordt een (verder als een punt te beschouwen) steen op de (horizontale) grong gelegd en die blijft daar (tov de aarde) gewoon liggen. Hoe groot is de wrijvingscoëfficient van de steen tov de aarde? gegevens aarde: hoeksnelheid 7,27e-5 rad/s en straal 6,4e6 m.

Examenvragen 2009

Januari 2009

12 januari voormiddag

Theorie

  1. Geef de afleiding van een twee-deeltjesprobleem naar een equivalent een-deeltjesprobleem in geval van een centrale kracht. Geef dan de lagrangiaan in bolcoördinaten van het systeem.
  2. Voer de traagheidstensor in om het impulsmoment en de kinetische energie van een star lichaam rond een vast punt te beschrijven.

Oefeningen

  1. Een homogene staaf met massa m en lengte l hangt aan een wrijvingsloos scharnier. Het scharnier voert een gedwongen harmonische (horizontale) beweging uit met pulsatie w en amplitude A. Kies de gepaste veralgemeende coördinaten en stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op. Veronderstel vervolgens dat de staaf weinig afwijkt van de verticale. Wat kan je zeggen over de beweging van het systeem?
  2. Een homogene cilinder (straal R, massa m) ligt op een plank die een harmonische beweging uitvoert (pulsatie w, amplitude A). Zoek de versnelling van het massacentrum van de cilinder tov de plank. Er is steeds rollen zonder slippen.

12 januari namiddag

Theorie

  1. Stel de vergelijking van Euler voor de variatierekening op. Laat zien hoe de bewegingsvergelijkingen van Lagrange samenhangen met het principe van Hamilton over extremale actie.
  2. Bespreek de beweging van een tol (precessie en nutatie).

Oefeningen

  1. Een cilinder van massa m heeft binnenin boven en onderaan twee gelijke massaloze veren die met elkaar verbonden zijn met een blok van massa 5m. In rust is de uitwijking van het blok h. Stel dat de cilinder plots in vrije val komt, stel dan de bewegingsvergelijkingen op en bereken de pulsatie van het blok ten opzichte van de cilinder.
  2. Een blok schuift op een wrijvingsloze horizontale tafel. Als gevolg van de rotatie van de aarde wijkt het pad van het blokje af van een rechte lijn. Bepaal de afwijking van het blokje.

19 januari voormiddag

Theorie

  1. Definieer de Hamiltoniaan van een systeem van deeltjes en leid de canonieke vergelijkingen van Hamilton. Geef de fysische betekenis van de Hamiltoniaan.
  2. Mag men in het algemeen stellen dat het krachtmoment gelijk is aan de afgeleide van het impulsmoment. Bespreek zo nauwkeurig mogelijk.

Oefeningen

  1. Een helix wordt in cartesische coördinaten gegeven door (x,y,z) = (Rcos(az),Rsin(az),z) met R en a vaste reële getallen. Een staaf AB met lengte R zit met het punt A gescharnierd aan de z-as en het punt B ligt op de helix. (Die gebeurt allemaal wrijvingsloos.) Bespreek aan de hand van de bewegingsvergelijkingen van Lagrange de beweging van de staaf. (Hint: denk eerst even na welke hoek de staaf maakt met de z-as.)
  2. Een kevertje met massa m kruipt met een constante snelheid v0 over een draaitafel en doet dit in een cirkelvorm met straal R en concentrisch met de draaitafel. De wrijvingscoëfficiënt tussen kever en tafel is µ en de tafel draait met constante hoeksnelheid w. Bepaal de maximale snelheid die de kever mag hebben zodat hij blijft kruipen zonder te slippen. (Maak een onderscheid tussen het geval waarin hij met de tafel meekruipt, of tegen de rotatie in.)

Augustus 2009

28 augustus voormiddag

Theorie

  1. Definieer de Hamiltoniaan van een systeem van deeltjes en leid de canonieke vergelijkingen van Hamilton. Geef de fysische betekenis van de Hamiltoniaan.
  2. Bespreek vrije precessie van een cilindrisch symmetrisch star lichaam.

Oefeningen

  1. Een homogene staaf van lengte l en massa m hangt met een wrijvings- en massaloos scharnier aan een verticale rechte. De beweging kan alleen in een vlak. Geef de bewegingsvergelijkingen en zeg of er een of meerdere constante oplossingen voor de hoek zijn.
  2. Een eenmotorig vliegtuig vliegt op een cirkel met straal 100 aan een snelheid 300km/h. De motor moet een moment leveren om de rotor te doen draaien als het vliegtuig rechtdoor vliegt. Wat is het bijkomende moment voor de beweging op de cirkel? Het traagheidsmoment ten opzichte van de rotatie-as van de schroef is 7.00 kg m² en de schroef draait aan 1000 toeren per minuut.


31 augustus voormiddag

Theorie

  1. Bespreek de brachystochrone kromme en het principe van Hamilton.
  2. Voer de traagheidstensor in en leidt een uitdrukking af voor het impulsmoment en de kinetische energie.

Oefeningen

  1. Een staaf met massa M draait in een horizontaal vlak. Op de staaf glijden zonder wrijving 2 puntmassa's, onderling verbonden met een veer. Je mag de onbelaste lengte van de veer verwaarlozen. Kies gepaste veralgemeende coordinaten en stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op.
  2. Een staaf kan in een verticaal vlak draaien om haar middelpunt. Vindt hoe deze hoek verandert als je weet dat de hele constructie op een draaitafel staaf die met een constante hoeksnelheid draait in het horizontale vlak.

Examenvragen 2010

Januari 2010

18 januari voormiddag

Theorie

  1. Bespreek symmetrie, in verband met impuls, impulsmoment en energie.
  2. Leg de impulsmoment uit aan de hand van het traagheidsmoment en het traagheidsproduct. En leidt de vergelijkingen van Euler af.

(Bijvragen: wat betekent de doorsnede in botsingsdoorsnede? leg kort uit wat precessie en nutatie is en in welke situatie dit voorkomt. Wat zijn, en waarvoor gebruikt men, orthogonale coördinaten?)

Oefeningen

  1. Een puntmassa m hangt aan een massaloze staaf met lengte l op aan een vast punt. De beweging gebeurt niet noodzakelijk in een vlak. Geef gepaste veralgemeende coördinaten en los de verrgelijkingen van Lagrange op. Onder welke voorwaarden gebeurt de beweging in een vlak?
  2. Twee deeltjes bewegen oorspronkelijk ver van elkaar in twee evenwijdige rechten (afstand tussen de twee rechten is d), 1 deeltje heeft massa m en snelheid en het tweede deeltje heeft massa 2m en snelheid . Gevraagd is de excentriciteit van zowel de baan van het eerste deeltje als de baan van het tweede deeltje.


22 januari voormiddag

Theorie

  1. Definieer de Hamiltoniaan en leidt de canonische bewegingsvergelijkingen van Hamilton af. Bijvragen: Wat stelt de hamiltoniaan voor? Wat indien tijdsonafhankelijk (welk soort verbindingen?). Waartoe leiden de beweginsvergelijkingen van Hamilton, en waartoe leiden deze van Lagrange (aantal vergelijkingen, orde vd diffvgln, aantal beginvoorwaarden).
  2. Bespreek het vallen van een deeltje, hou rekening met de rotatie van de aarde. Bijvragen: Je gaat van noord naar zuid in het noordelijk halfrond, naar waar is de coriolisversnelling gericht? Wat is het verschil tussen een synodische en een siderische dag? Welke is langer?

Oefeningen

  1. Een puntmassa kan over de diagonaal van een horizontale schijf bewegen. De schijf draait rond aan een constante hoeksnelheid . Het deeltje bevindt zich op t=0 op de rand van de schijf, en beweegt aan een snelheid v volgens de diagonaal. Bereken de krachten die inwerken op het deeltje, en teken deze op een schets van de situatie.
  2. Een staaf AB hangt horizontaal aan een vast punt A. Het punt B voert een horizontale rotatie uit met pulsatie . Aan B is een andere staaf, BC bevestigd, met in C een puntmassa, m. De staaf BC ligt in hetzelfde horizontale vlak als AB. Het geheel is wrijvingsloos. Bespreek de beweging van de puntmassa. Kan het geheel zich als 1 starre staaf gedragen? (geef de beginvoorwaarden). Beschrijf de beweging indien de staaf BC slechts weinig van deze positie afwijkt.


Augustus 2010

"23 Augustus"

Theorie

  1. Wat zijn “de hoeken van Euler”. ? Leg uit hoe ze gebruikt kunnen worden om de rotatievector van een star lichaam uit te drukken in coördinaten van het meebewegende assenstelsel.
  2. Bespreek de beweging van een deeltje in 1 dimensie rond evenwicht.

Breidt vervolgens uit naar meerdere dimensies. Leg uit wat orthogonale coördinaten zijn; voer de traagheidstensor in en leid de vergelijking voor de kinetische energie in functie van de traagheidstensor af.


Oefeningen

2 deeltjes met massa m zijn verbonden aan een veer met veerconstante k. Ze kunnen in een cirkel bewegen omheen een horizontaal gelegen as. De veer staat steeds loodrecht op deze as.

    1. Stel de bewegingsvergelijkingen van Lagrange op.
    2. Toon dat, als je de lagrangiaan in cilindercoördinaten schrijft, je een uitdrukking krijgt met gereduceerde massa mu en een potentiaal deel.
    3. Zoek de evenwichtssituaties.

Een massaloze staaf met twee bollen met massa M en straal R, zodat de afstand tussen de centra van de bollen gelijk is aan 4R. Deze staaf met bollen roteert in de ruimte en op een bepaald moment ligt de staaf parallel met de z-as. En ligt de rotatievector omega in het y-z-vlak onder een hoek alfa met de y-as.

    1. Toon aan dat de assen nu volgens de hoofdtraagheidsassen van het systeem liggen
    2. Bepaal de hoek tussen het impulsmoment L en de rotatievector omega.

2 september

Theorie

  1. Hoe kun je uit de beginvoorwaarden de excentriciteit berekenen van 2 punten die verbonden zijn met een 1/r-potentiaal. Leidt de uitdrukking af.
  2. Bespreek de eendimensionale beweging van een punt op een as, voor posities rond het extremum van de potentiële energie. Hoe kan, bij een meerdimensionale beweging, de kinetische energie beschreven worden met behulp van de traagheidsmatrix. Wat zijn orthogonale co\"ordinaten?
  • Bijvragen: Wat is de botsingsdoorsnede? Als je van de noordpool naar de evenaar gaat, in welke richting staat dan de coriolisversnelling?

Oefeningen

  1. Een auto rijdt over een horizontale weg met een constante versnelling a. In de auto, aan het dak, hangt een mathematische slinger (een massaloze stang van lengte l, met aan het uiteinde een puntmassa met massa m).
    1. Stel de bewegingsvergelijking(en) van Lagrange op met de passende veralgemeende co\"ordinaten.
    2. Wat is de evenwichtspositie?
    3. Beschrijf de beweging als de slinger een kleine uitwijking maakt van de evenwichtspositie.
  2. Bekijk een staaf AB met lengte l en massa M. De staaf staat vast in punt A tegen de onderkant van de muur. In B is er een puntmassa bevestigd aan de staaf met massa m. De staaf maakt een hoek met de muur.
    1. De staaf wordt losgelaten. Bereken de tijd die de staaf ervoor nodig heeft om de grond (de horizontale) te bereiken.
    2. Bereken de tijd die de staaf ervoor nodig heeft om de grond te bereiken wanneer m=0.
    3. In welke van deze twee situaties van de staaf het snelste?

Examenvragen 2011

Januari 2010

24 januari voormiddag Omdat pdf leuker is: Klassieke Mechanica 24 januari