\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,amsthm}
\usepackage[dutch]{babel}

\title{Examen Analyse II}
\author{11 januari 2016}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item We bekijken voor elke $\alpha >0$ de functie 
$$\xi_\alpha:\mathbb{R}\rightarrow [0,+\infty):x\mapsto\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{1}{\sqrt{2\alpha}} & \text{als } x\in[-\alpha,\alpha]\\
0	&	\text{elders}
\end{array} \right.
$$
Bereken$||\xi_\alpha||_1$ en $||\xi_\alpha||_2$.\\
Geef en bewijs een formule voor $\lim_{\alpha\rightarrow +\infty} <\eta,\xi_\alpha>$ voor een willekeurige $\eta$ $\in$ L$^2$($\mathbb{R}$).
\item We defini\"eerden het convolutieproduct voor 2 functies uit $\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ als 
$$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}}{f(y)g(x-y)dx}$$ voor de $x$ waarvoor deze uitdrukking goed gedefini\"eerd was. Geef een voorbeeld dat toont dat deze uitdrukking niet pers\'e voor alle $x \in \mathbb{R}$ goed gedefini\"eerd moet zijn.

\item Waar is $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}:(x,y)\mapsto x|x-y|$ totaal afleidbaar? Bepaal de totale afgeleide. Bewijs nauwkeurig.
\item Voor welke waarde van $\alpha >0$ is de volgende functie integreerbaar?
$$f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto\frac{1}{\sqrt{x}(1+x^\alpha)}$$
Bepaal ook $$\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x^\alpha)}dx$$
\item  Zij $f$ een $2\pi$-periodische, integreerbare functie. Toon aan dat $$|f(x)|\leq\sum_{n\in\mathbb{Z}}|\hat{f(n)}|\qquad\text{voor bijna alle } x \in \mathbb{R}$$
Geldt dit ook voor alle $x\in\mathbb{R}$? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
\end{enumerate}
\end{document}