Brontekst bekijken van Mathematical Introduction to Fluid Dynamics

=Informatie over het examen=

- Vanaf academiejaar '''2023-2024''' wordt dit vak gegeven door Fabio Bacchini.

- Vanaf academiejaar '''2022-2023''' wordt dit vak gegeven door prof. Van Doorsselaere en Fabio Bacchini.

- In academiejaar '''2015-2016''' waren er twee mondelinge theorietesten voor de examenperiode (in november en na de kerstvakantie), die elk voor 5/20 punten meetelden. Je krijgt slechts 10 minuten voorbereidingstijd, dus zorg ervoor dat je alles uitgewerkt bij hebt. Tijdens die 10 minuten kan je dan de juiste berekeningen zoeken en nog eens nalezen. Het examen tijdens de examenperiode bevat enkel nog oefeningen en telt op 10/20 mee.

- Vanaf '''2012-2013''' wordt dit vak gegeven door professor Tom Van Doorsselaere (hoofdstuk 1-6) en professor Giovanni Lapenta (hoofdstuk 7-8). Het examen heeft een schriftelijk oefeningengedeelte en een mondeling theoriegedeelte. De theorie staat op 2/3 van de punten en gaat letterlijk over de cursus. De bedoeling is dat je bepaalde concepten verder uitlegt, waarbij je de cursus ook op het mondeling mag gebruiken. Je overloopt daarbij de theorie in de cursus en maakt duidelijk dat je alles goed begrijpt. Zorg zeker dat je alle uitwerkingen en 'homework' gemaakt hebt. Ook de fysische betekenis van bepaalde concepten is van belang. De theorie bestaat uit een viertal vragen.
Het oefeningengedeelte staat op 1/3 van de punten. Er zijn twee oefeningen, en de score wordt berekend als het maximum van de behaalde score op deze oefeningen. Eigenlijk telt dus slechts één van beide oefeningen mee: deze die het beste gemaakt was.

=Samenvattingen=
[[Wiskundige inleiding tot de vloeistofdynamica/Samenvattingen| Klik hier om de samenvattingen te bekijken]]

=Examens=
==2022-2023==
===Theorie: deel 1===
What are particle paths? Discuss how these are related with the change from Eulerian to Lagrangian perspective. Apply this to an example (e.g. rain)  
Bijvraag: how does the formula change when we consider shocks in the fluid?

Derive the speed distribution of a viscous fluid in a cylinder. Compute the flux.
Bijvraag: you made the assumption that the cylinder is thin. What happens when this restriction is lifted and we consider a tube with a large cross-section?

Derive Reyno ld’s transport theorem.
Bijvraag: Apply this in words to the concentration of sugar in tea.

Derive the equations of hydrostatic equilibrium, isothermal atmosphere and Archimedes 
Bijvraag: What other equilibrium do we know?
(iets met steady flow)

Explain the concept of particle paths and streamlines and show that they do not have to coincide for time dependent flows.
Bijvraag: pas dit toe op vlammen

Derive the time dependent Bernoulli equation.
Bijvraag: bij het douchen heeft het douchegordijn de neiging om naar je toe te komen. vroeger dacht men dat dit kwam door de stelling van Crocco, maar later bleek dat dit kwam door Bernoulli. Welk experiment zou je kunnen uitvoeren om dit aan te tonen? (https://papercutscience.wordpress.com/2014/02/26/onder-de-douche-met-bernoulli/)

Derive the equation for the evolution of vorticity. Give a qualitative meaning of all terms in the equation.
Bijvraag: pas deze vergelijking toe op het voorbeeld van een leeglopend bad.

Proof Helmholtz theorem: The strength of a vortex tube is the same for all cross-sections of the vortex tube and independent of time.
Bijvraag: Beschrijf hoe de vortex tubes eruit zien in het voorbeeld van een leeglopend bad.

Derive the Reynold’s number and explain how we can use it to calculate the size of the boundary layer.
Bijvraag: how is the reynolds number relevant to toothpaste?
https://daydaynews.cc/en/science/981795.html

Proof that the surface forces are a linear function of the normal.
Bijvraag: Draw the surface forces on a fluid element at rest in water.

Explain compressibility and irrotationality. Explain why and how you can write them with the stream function and a potential. Calculate that the level lines of the stream function and the potential are perpendicular.
Bijvraag: what would be the potential of the rankin vortex

Derive the equation of conservation of energy
Bijvraag: what would change in the equation if you had an endothermal (flow?)
(iets met dat Q daalt)

Derive the continuity equation and explain chapter 3.2.3.
Bijvraag: Apply this principle on a bottle of ketchup.

We saw that speed can be written as a sum of a symmetric and anti-symmetric matrix. Explain how you get this and explain the symmetric matrix.
Bijvraag: How does this symmetric matrix look like for a rankine vortex and line vortex.
Bijvraag: what’s the divergence and vorticity in poiseuille flow.

Explain the evolution of the vorticity. What’s the meaning of Crocco’s term? Explain the example of the sea breaze.
bijvraag: pas crocco’s wet toe op een bosbrand

==2020-2021==
===Oefeningen===
[[Media:ExamFluidDynamicsSept2020.pdf|Examen 3 september 2020]]

==2019-2020==
===Oefeningen===
1. A pitot tube is a device used to determine the velocity of a fluid. Here we use a basic pitot probe to measure the fluid velocity in a larger industrial tube. as shown in the figure. The cilindrical tube is filled with a fluid of density ? and temperature T. the fluid velocity is constant along the y-direction. The radius of the pitot probe is constant and small compared to R. the fluid is resting at heights <math>h_1</math> and <math>h_2</math>. Gravity is along the z-axis. The 'empty' part of the pitot tube is filled with an incompressible fluid.

a) Calculate the velocity v as a function of <math>h_1-h_2</math>, assuming the desity is constant.

b) Consider non-zero shear viscocity in te bigger tube, calculate <math>h_1-h_2</math> as a function of the height of the probe.

c) Consider now that the fluid can be described using the ideal gas law. Repeat for a non-viscous, gravitationally stratified fluid in the larger tube. compare with b)

[[Bestand:Pitot_tube.PNG]]

2. We hebben in de les de voortplanting van geluid in een uniforme vloeistof besproken en de resulterende niet-dispersieve golven. In deze vraag berekenen we het effect van compressieve viscositeit op geluidsgolven.

a) Lineariseer de Navier-Stokes vergelijkingen waarbij je ook compressieve viscositeit meeneemt maar schuif-viscositeit negeert.

b) Leid een vergelijking voor de snelheidspotentiaal.

c) Vind de oplossing in de vorm van vlakke golven.

d) Leid de dispersierelatie af.

e) Welk complex golfgetal <math>k = k_R + ik_L</math> en de dempingslengte <math>\frac{1}{k_L} </math> vinden we voor een aandrijffrequentie <math>\omega</math> ?

3. Hier bestuderen we de invloed van een verkeerslichtcyclus op de verkeersstroom errond. We nemen aan dat de duur van het rood licht <math>\tau_r</math> is en van het groene licht <math>\tau_r</math>. Wiskundig nemen we aan dat er geen oranje licht is.

a) Bereken het aantal auto's die het verkeerslicht voorbij rijden als functie van de tijd <math>t_0 < t < t_0 + \tau_g</math> tijdens het groene licht, en te starten na een fase rood licht.

b) Wat gebeurt er met de verkeersstroom voor en achter het verkeerslicht nadat het terug op rood springt ? Hier kan je op een kwalitatieve manier antwoorden waarbij je ook een schets geeft.

c) Na welke tijd zal de invloed van het nieuwe rode licht de verkeersstroom van het voorgaande licht elimineren ? Kijk hiervoor naar de stroming voor het verkeerslicht. (Hint : Gebruik de tijdsafhankelijke schokpositie <math>x_s</math> van beide fases rood licht.)

== 2018-2019 ==
=== Theorie (deel 1) ===

1. Leid de vergelijking voor de evolutie van de vorticiteit af en verklaar elke term
(Bijvraag: pas vortex stretching toe op een tornado)

2. Leid de vergelijking voor hydrostatisch evenwicht af, pas dit toe om de druk in een isotherme atmosfeer te berekenen en leid de wet van Archimedes af.
(Bijvraag: geef een andere vorm van evenwicht die je bij vloeistofdynamica tegenkomt | antwoord: steady flow)

== 2017-2018 ==
=== Theorie (deel 1) ===

1. Toon de continuÃ¯teitsverglijking aan en bewijs dat de sterkte van stroombuizen constant is. (Bijvraag : pas toe op een pingpongballetje in een trechter waar we op blazen)

2. Leid de advectie-diffusievergelijking voor de vorticiteit af en leid het Reynoldsgetal af. (Bijvraag : vertel iets over de tijdsschalen in dit probleem en schat het Reynoldsgetal in een rietje)

=== Theorie (deel 2) ===
1. Gebruik de Kuttaconditie en het Kutta-Joukowski lift theorema om uit te leggen hoe een vis zich voortbeweegt in water. (Bijvraag : teken de startup vortices )

2. Leid met een wiskundig model de voordelen van ritsen aan. (Bijvraag : teken de karakteristieken.

=== Oefeningen ===

[[Media:ExamenVloeistof2601.pdf|Examen 26 januari]]

== 2015-2016 ==

=== Theorie deel 1 (chapter 1-4) ===

==== 05/11/2015 PM ====

# Bespreek de Cauchy-Stokes decompositie, en bespreek in detail de betekenis van de R matrix.
# Leg uit wat het Reynolds getal is, en gebruik het om uit te rekenen wat de dikte van de randlaag in deze ruimte is.

Bijvragen:
* (bij 1) Leg je berekeningen uit waar je op het linkerlid van de Cauchy-Stokes vergelijking (de lijnintegraal) de middelwaardestelling toepast.
* (bij 1) Wat is het nut van de Cauchy-Stokes decompositie?
* (bij 2) Waarom zorgt vorticity ervoor dat er turbelentie ontstaat achter bijvoorbeeld een tafel nadat er lucht horizontaal over is geblazen.

==== 06/11/2015 AM ====

# Bewijs dat de Lagrangiaanse en Euleriaanse vergelijking van behoud van massa equivalent zijn. Gebruik een van deze vergelijkingen om aan te tonen dat de sterkte van stroombuizen behouden blijft.
# Bewijs Kelvin's circulatietheorema.

Bijvragen:
* (bij 1) Stel dat je voor walibi een waterglijbaan moet bouwen. Hoe ga je dan gebruik maken van het feit dat de sterkte van een stroombuis constant blifjt?
* (bji 2) Je hebt een kopje gevult met een superfluid en je brengt er een vortex in (met een lepeltje), wat gebeurt er?

=== Theorie deel 2 (chapter 5-8) ===

===== 05/01/2016 PM =====

# (paragraaf 5.4.2) Uitleggen over "flow parallel to plate" naar "flow at an angle to a plate" tot en met het afleiden van de Kutta condition.
# Boundary conditions en afleiding dispersion relation voor "water of finite depth" uitleggen.

Bijvragen:
* (bij 1) Waarom platte vleugels en geen cilinders? (Antwoord: luchtweerstand)
* (bij 2) Wat gebeurt er met de dispersion relation in een bad, m.a.w. wanneer het water zich horizontaal niet oneindig uitstrekt? (Antwoord: Een golf moet op het einde van het bad ophouden. Daar komt een extra "conditie" van, die op u k slaat. Dus de dispersion relation discretiseert/kwantificeert, omdat niet alle golflengtes dan nog toegelaten zijn.

===== 05/01/2016 AM =====

# Bepaal de kinetische en potentiÃ«le energie voor oppervlaktegolven bij water op oneindige diepte. Bereken ook de arbeid en leidt hieruit de groepsnelheid af.
# Gebruik de methode van karakteristieken om het Riemannprobleem op te lossen. 

===== 06/01/2016 AM =====

# Leid de Brunt-VÃ¤isÃ¤lÃ¤ fresquentie af voor een samendrukbare stroming.
# Toon aan dathet Lax-Friedrichs schema numeriek stabiel is onder bepaalde voorwaarden. Gebruik een consistentieonderzoek om aan te tonen hoe die stabiliteit gegarandeerd wordt.

Bijvragen:
* (bij 1) Vergelijk stabiliteitseisen van Brunt-VÃ¤isÃ¤lÃ¤ met die van voordien (N^2 > 0 asa rho_2 > rho_1 enzo)
* (bij 2) Bij verkeersstromen met een shock, waar zal LF de grootste fout maken? (Bij de shock.)

=== Oefeningen ===
==== 11 januari 2016 ====

De vragen werden zowel in het Nederlands als in het Engels gegeven. Er waren drie vragen. De score van de twee beste oefeningen werden opgeteld om tot de eindscore te komen.

# In de les hebben we de betekenis van de Lagragiaanse en Euleriaanse beschrijving gezien, voor het voorspellen van regen op een vaste positie <math>\vec{x}</math>. Breid deze verbindende formule uit voor een fietser met constante snelheid <math>\vec{u}</math>. Neem aan dat de regen beschreven wordt met een afleidbare functie <math>f(x,y,t)</math> die gegeven wordt in Lagrangiaanse vorm. De lucht beweegt met een snelheid <math>\vec{v}(x,y)</math>.
# Langsheen de fietsroute naar mijn werk is er een smal steegje. Langs de rand van het steegje is er een lange doek met gewicht <math>D (\frac{kg}{m^2})</math> die hangt aan een draad. Wanneer ik er langs fiets, dan wordt de doek verstoord door het drukverschil dat ik genereer. Modeleer me als een verticale cylinder met straal <math>R</math>, die beweegt met een snelheid <math>U \vec{1}_x</math>. (Extra info op examen: Ik ben oneindig groot.) De stroming rond de bewegende fietser kan berekend worden in een meebewegend referentiestelstel. De doek hangt op een positie <math>y = CR</math> en legt geen nieuwe randvoorwaarde op (i.e. hij beweegt mee met de stroming).
## Bereken de druk in mijn omgevende vloeistof, onder de aanname dat er geen viscositeit is.
## Bereken op welke (meebewegende) positie vóór mij het drukverschil over de doek de zwaartekracht kan opheffen. Neem aan dat de druk aan de andere kant van de doek (tegenover de fietser) gewoon de atmosferische druk <math>p_0</math> is. (Hint: om de berekening na te kijken kan je de parameters <math>D = 0.1 \frac{kg}{m^2}, g = 10 \frac{m}{s^2}, U = \sqrt{2} \frac{m}{s}, \rho = 1 \frac{kg}{m^3}</math> gebruiken, zodanig dat <math>\frac{\rho U^2}{2 g D} = 1</math>.)
# Beschouw een kruispunt van twee straten met verkeerslichten, en bekijk één enkele rijrichting op elke straat (dik kan, omdat slechts één richting de drukste is). Neem aan dat de eerste straat een inkomende flux <math>q_1</math> heeft, en de tweede straat <math>q_2</math>. Er staat een "oneindige" file tot aan de verkeerslichten (i.e. neem dus aan dat de expansiegolf van het rode licht dat groen wordt het einde van de file niet bereikt). In de hele oefening gebruiken we dat de snelheid een lineaire functie is van de dichtheid <math>v = v_{max} \left(1-\frac{\rho}{\rho_{max}}\right)</math>.
## Bereken hoeveel auto's het verkeerslicht kunnen passeren wanneer het licht een tijd <math>\tau</math> op groen staat.
## Gebruik deze formule om een verkeerslichtcyclus te ontwerpen voor het kruispunt van de straten met flux <math>q_1</math> en <math>q_2</math>, zodanig dat de files niet aangroeien. Neem aan dat er geen oranje licht is, en dat er een instantane overgang is tussen rood en groen voor beide straten. (Extra info op examen: flux is voldoende klein.)

== 12 januari 2015==
''' Enkel oefeningen'''
( op 10 van de 20 punten)

# Er is plots een hevig onweer. Op een afstand <math>L</math> is er een plaats om te schuilen.  De regen valt in de richting die het vlak opgespannen door jou en de schuilplaats vormen.  Hierbij maakt de regen een hoek <math>\alpha</math> tegenover je looprichting.   Jijzelf bent gemodelleers als een balk met een bovenvlak met oppervlakte <math>\delta B</math> en vooraan een    oppervlakte <math>\delta A</math> (ook van de achterkant dus) (en zijkant oppervlakte <math>\delta Z</math> die er niet toe deed).  Aan welke snelheid moet je lopen om zo droog mogelijk te blijven. (dat zal i.f.v. <math>\alpha</math> zijn)
# Je bent in bad met lengte <math>l</math> en water van hoogte <math>d</math> (veel lager dan de randen => loopt niet over)  Door naar voor en naar achter te gaan, kun je een golf creëren.  Geef de disperserelatie voor deze golf. ( blijkt de dispersierelatie voor eindige diepte te zijn)  Indien er exact 1 punt in de x-richting een nulpunt is, hoe ziet de golf er dan uit?
# Modelleer een eenvoudig/ goedkoop model om de geschatte tijdsduur te geven tussen Leuven en Groot-Bijgaarden.

== 13 januari 2014==
''' Enkel oefeningen'''
# Bereken de invalshoek van de windrichting zodat je tegenwind ervaart als je met een snelheid U fietst en er wind waait met een snelheid V. Wat is de kans dat je tegenwind ervaart.
# In de les hebben we een filmpje gezien van een pingpongballetjes-kannon. Er wordt een pingpongballetje (benader door een cilinder van straal R en hoogte 2R, met massa M) in een buis gestoken en dan vacuüm gemaakt (p = 0). Indien een gaatje wordt geprikt in het begin van de buis zal het balletje een versnelling ondergaan. Wat is de snelheid van het pingpongballetje op het einde van de buis als deze lengte L heeft.
# Is ritsen sneller dan een gewone file? 
## Stel er is een wegverspering zodat <math>q = \epsilon</math> op een bepaalde plaats. Wat is de snelheid van de file (zonder ritsen) en hoe lang duurt het voor een bestuurder om van het begin van de file tot aan het obstakel te geraken (lengte file is L).
## Stel nu dat er geritst wordt, dus dat er 2 rijstroken zijn, elk met een <math>q = \epsilon / 2</math>. Hoe lang is de file ten opzichte van de vorige file, wat is de snelheid van de file en hoe lang duurt het voor een voertuig de file terug kan verlaten.

==2012-2013==
===18 januari 2013 (NM)===
[[Media:FluidTheorie.jpg|Theorie]]

[[Media:FluidOefeningen.jpg|Oefeningen]]

[[Categorie:3bw]]
[[Categorie:3bf]]