Advanced topics in QM

Vakinfo

Aan te vullen

Examenvragen

16 Juni 2010

• Stel $|\psi ⟩$ een genormeerde vector in ${\mathbb{ℂ}}^d$. Voor welke $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℂ}$ is ${\rho }_{\alpha \beta }=\alpha |\psi ⟩⟨\psi |+\beta \mathbf{𝟏}$ een dichtheidsmatrix?

Stel nu dat ${\mathbb{ℂ}}^d={\mathbb{ℂ}}^{n_1}\otimes {\mathbb{ℂ}}^{n_2}$, bereken dan de gereduceerde dichtheidsmatrices voor de deelsystemen met behulp van de Schmidt-decompositie van $|\psi ⟩$. Hebben deze dezelfde entropie?

• gegeven de operator ${\mathrm{\Lambda }}_t(\rho )=\left(\begin{array}{cc}a+c(1-e^{-2t})& b{e}^{-t}\\ b^{*}{e}^{-t}& c{e}^{-2t}\end{array}\right)$, waar $\rho =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b^{*}& c\end{array}\right)$ een dichtheidsmatrix is. Toon aan dat de${\mathrm{\Lambda }}_t$ een semi-groep van compleet-positieve afbeeldingen vormt. Wat is de eindtoestand voor een willekeurige begintoestand. Wat is de 'rate of convergence'?
• Toon aan met een voorbeeld dat $S({\rho }_1)<S({\rho }_{12})$ niet meer algemeen geldt voor kwantumsystemen.

Bewijs met behulp van sterke subadditiviteit dat $|S({\rho }_1)-S({\rho }_2)|<S({\rho }_{12})$. Hint: Purifeer (of hoe zegt ge da int nederlands) ${\rho }_{12}$ naar een 3-level-systeem.

Juni 2010

• Het onderscheid tussen extreme toestanden en op de rand. Illustreer

dat met een vb van een d-niveau quantum syteem.

• Een matrix $\left(\begin{array}{cc}A& X\\ X^{*}& 1\end{array}\right)$, met A, B, X

d*dmatrices. Toon aan dat de matrix positief is asa $A\ge B^{*}B$.Veronderstel nu $\mathrm{\Lambda }$ een CP afbeelding die de eenheid bewaart. Toon dan aan dat de matrix $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{\Lambda }(A)& \mathrm{\Lambda }(X)\\ \mathrm{\Lambda }(X^{*})& 1\end{array}\right)$ positief is en concludeer $\mathrm{\Lambda }(X^{*}X)\ge \mathrm{\Lambda }(X)\mathrm{\Lambda }(X^{*})$. (de ongelijkheid staat hier misschien verkeerd... dat zie je wel als je t uitrekent).

• Stel $\rho$ en $\sigma$ d.m.; toon dan aan dat het tensorproduct ook een

dichtheidsmatrix is.

• Bekijk lineaire entropie gedefinieerd als $S_{lin}=-Tr(log{\rho }^2)$. Welke

waarden kan dit aannemen. (Vergelijk met Von-Neumann). En bereken de lineaire entropie voor het tensorproduct.