|
|
| (4 tussenliggende versies door 3 gebruikers niet weergegeven) |
| Regel 1: |
Regel 1: |
| == Examen van 16 januari 2009 ==
| |
|
| |
|
| === Theorie ===
| |
|
| |
| * Zijn <math>f,g \in \mathbb{R}(t)</math> en <math>\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}</math> zodat <math>g^2 = f(f - 1)(f - \lambda)</math>. Bewijs dat <math>f</math> en <math>g</math> constant zijn.
| |
|
| |
| * Zijn <math>V \subseteq \mathbb{A}_k^n,\,W \subseteq \mathbb{A}_k^m</math> variëteiten over een algebraïsch gesloten veld <math>k</math>. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen
| |
| ** de veeltermafbeeldingen <math>f: V \to W</math>
| |
| ** de <math>k</math>-algebrahomomorfismes <math>\varphi: k[W] \to k[V]</math>.
| |
|
| |
| * Formuleer
| |
| ** de definitie van de lokalisatie van een ring t.o.v. een multiplicatief gesloten deel van die ring
| |
| ** de meetkunde interpretatie van de stelling van Lüroth (de stelling is gegeven)
| |
| ** de definitie van de homogene coördinatenring van een projectieve variëteit.
| |
|
| |
| === Oefeningen ===
| |
|
| |
| * (wordt nog aangevuld)
| |
| * Zij <math>k</math> een algebraïsch gesloten veld en zij <math>V = V(XW - YZ) \subseteq \mathbb{A}_k^4</math>.
| |
| ** Bewijs dat <math>V</math> een irreducibele affiene variëteit is.
| |
| ** Definieer de rationale functie <math> f = x/y</math> op <math> V</math>. Bepaal het domein van <math> f</math>?
| |
| * Zij <math>V = V(F) \subseteq \mathbb{A}_k^2</math> een affiene variëteit over een algebraïsch gesloten veld <math>k</math>, met <math>F \in k[X,Y]</math> een irreducibele veelterm en <math>\left|V(F)\right| = +\infty</math>. Zij <math>P</math> een niet-singulier punt van <math>V</math>. Bewijs dat elke rationale afbeelding <math>f: V - \to \mathbb{P}_k^2</math> regulier is in <math>P</math>.
| |
| * Gegeven acht verschillende punten <math>P_1,P_2,\,\cdots,P_8</math> in het projectieve vlak waarvan er vier collineair zijn, maar geen vijf. Wanneer bepalen deze acht punten onafhankelijke voorwaarden op de coëfficiënten van derdegraadskrommen in het projectieve vlak?
| |