|
|
| (12 tussenliggende versies door 3 gebruikers niet weergegeven) |
| Regel 1: |
Regel 1: |
| Examen 25 januari eerste zit 2007-2008
| |
|
| |
|
| == Eerste zit 2007-2008 == | | =Samenvattingen= |
| === examen 25 januari 2008 =
| | [[Topologie/Samenvattingen| Klik hier om de samenvattingen te bekijken]] |
|
| |
|
| === Oefening 1 === | | ==Inleiding== |
| | Update 2021-2022: Het vak wordt sinds dit jaar de geven door professor Smeets. De 3 taken zijn gebleven en het examen blijft open boek. |
|
| |
|
| Zij <math>L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\sqrt{3}i)</math>.
| | Het vak wordt gegeven door professor Igodt. Tijdens het jaar dienen er 3 taken gemaakt te worden. Deze taken zijn niet echt eenvoudig maar helpen wel bij het verwerven van inzicht in de cursus. Op het examen (volledig open boek: handboek, cursusnota's en oefenzittingen mag je meenemen) komt het er vooral op neer inzicht te hebben in de cursus. Zie ook zeker dat je de bewijzen die niet in de les behandeld zijn, zelf verwerkt hebt, want het kan wel eens zijn dat de professor vraagt zulk een bewijs volledig uit te leggen. Op het mondelinge gedeelte zelf is de prof zeer vriendelijk. Op de vragen staat jammer genoeg copyright... |
|
| |
|
| a) Is <math>L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i)</math>? Bepaal een minimale veelterm van <math>\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i</math> over <math>\mathbb Q</math>.
| | [[Categorie:2bw]] |
| | |
| b) Bepaal <math>G(L,\mathbb Q)</math> en <math>L_{G(L,\mathbb Q)}</math>. Met welke groep is <math>G(L,\mathbb Q)</math> isomorf?
| |
| | |
| === Oefening 2 ===
| |
| | |
| Zij <math>F\subset K</math> velden en <math>K</math> een eindige separabele uitbreiding van <math>F</math>. Toon aan:
| |
| | |
| <math>K</math> is normaal over <math>F\Leftrightarrow</math> voor elke velduitbreiding <math>L</math> van <math>K</math> en elk ringmorfisme <math>\sigma : K \rightarrow L</math> met <math>\sigma |_F=Id_F</math> geldt: <math>\sigma(K)\subset K</math>.
| |
| | |
| == Tweede zit 1999-2000 ==
| |
| | |
| | |
| === Oefening 1 ===
| |
| | |
| b) Waar of niet waar? Zij <math>K\subset L</math> velden en <math>a,b\in L</math> met dezelfde minimale veelterm <math>f(x)</math> over <math>K</math>. Veronderstel dat <math>L</math> een eindige normale uitbreiding is over <math>K</math>. Dan bestaat er een <math>\sigma\in G(L:K)</math> zodat <math>\sigma(a)=b</math>.
| |
| | |
| === Oefening 2 ===
| |
| | |
| Zij <math>E</math> een eindige normale uitbreiding van <math>\mathbb Q</math>, met Galoisgroep <math>G(E:\mathbb Q)\cong\mathbb Z_4,+</math>.
| |
| | |
| a) Bewijs dat er <math>a,b\in\mathbb Z</math> bestaan zodat <math>E=\mathbb Q(\sqrt{a+\sqrt{b}})</math>.
| |
| | |
| b) Geef de stabiele velden t.o.v. <math>E</math> en <math>\mathbb Q</math>.
| |
| | |
| === Oefening 3 ===
| |
| | |
| Geef een basis van de vectorruimte <math>\mathbb Q(1+\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{3})</math> over het veld <math>\mathbb Q(\sqrt{3})</math>.
| |
| | |
| == Eerste zit 2001-02 ==
| |
| | |
| === Oefening 1 ===
| |
| | |
| Zij <math>K</math> een eindige uitbreiding van het veld <math>\mathbb Q</math>. zij <math>g(x_1,\ldots,x_n)</math> een niet nul veelterm over <math>K</math>. Zij <math>A</math> een deelverzameling van <math>\mathbb Q^n</math> en veronderstel dat <math>g</math> nul is op elk element van <math>A</math>. Gebruik Galoistheorie om een niet nul veelterm <math>h(x_1,\ldots,x_n)</math> over <math>\mathbb Q</math> te construeren die nul is op elk element van <math>A</math>.
| |
| | |
| == Eerste zit 2002-03 ==
| |
| | |
| === Oefening 1 ===
| |
| | |
| Waar is niet waar? (Bewijs of geef een tegenvoorbeeld)
| |
| | |
| a) Zij <math>K\subset L</math> een velduitbreiding van graad 2. Dan is <math>L</math> normaal over <math>K</math>.
| |
| | |
| b) Zij <math>L=K(\alpha)</math>. als de uitbreidingsgraad <math>[L:K]</math> oneven is, dan is <math>L=K(\alpha^2)</math>.
| |
| | |
| === Oefening 2 ===
| |
| | |
| Zij <math>p\neq 2</math> priem, en zij <math>\xi</math> een complexe primitieve <math>p</math>-de eenheidswortel. dan is de Galoisgroep <math>G(\mathbb Q(\xi),\mathbb Q)</math> isomorf met de multiplicatieve groep <math>\mathbb Z^\times_p</math>. Zij <math>\chi</math> het unieke niet-triviale groepsmorfisme van <math>\mathbb{Z}^\times_p</math> naar {1,-1},. en stel <math>\alpha</math> gelijk aan <math>\sum^{p-1}_{s=1}\chi(s)\xi^s</math>.
| |
| | |
| a) toon aan dat er een uniek deelveld <math>K</math> van <math>\mathbb Q(\xi)</math> bestaat met uitbreidingsgraad 2 over <math>\mathbb Q</math>.
| |
| | |
| b) Fixeer een isomorfisme <math>\psi : G(\mathbb Q(\xi),\mathbb Q)\rightarrow\mathbb Z^\times_p</math>. Bewijs dat, voor elk automorfisme <math>\sigma\in G(\mathbb Q(\xi),\mathbb Q)</math>, het beeld van <math>\alpha</math> onder <math>\sigma</math> gelijk is aan <math>(\chi\circ\psi)(\sigma)</math> maal <math>\alpha</math>.
| |
| | |
| c) toon aan dat <math>K=\mathbb Q(\alpha)</math>.
| |
| | |
| [[Categorie:3bw]] | |
Samenvattingen
Klik hier om de samenvattingen te bekijken
Inleiding
Update 2021-2022: Het vak wordt sinds dit jaar de geven door professor Smeets. De 3 taken zijn gebleven en het examen blijft open boek.
Het vak wordt gegeven door professor Igodt. Tijdens het jaar dienen er 3 taken gemaakt te worden. Deze taken zijn niet echt eenvoudig maar helpen wel bij het verwerven van inzicht in de cursus. Op het examen (volledig open boek: handboek, cursusnota's en oefenzittingen mag je meenemen) komt het er vooral op neer inzicht te hebben in de cursus. Zie ook zeker dat je de bewijzen die niet in de les behandeld zijn, zelf verwerkt hebt, want het kan wel eens zijn dat de professor vraagt zulk een bewijs volledig uit te leggen. Op het mondelinge gedeelte zelf is de prof zeer vriendelijk. Op de vragen staat jammer genoeg copyright...