Analyse II

Didactisch Team

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Prof. Stefaan Vaes

Academiejaar	Professor(en) VAES \heartspace	Assistent(en)
2019-2020	Professor1, Professor2	Assistent1, Assistent2
2020-2021	Professor1, Professor2	Assistent1, Assistent2

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Algemene informatie

Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof hecht hieraan wel wat belang. Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen.

Handig om deze vakken gevolgd te hebben:

Bewijzen en redeneren & Analyse I

Examens - Professor Vaes

Voorbeeldexamenvragen

Examenvraag

Examenvraag februari 2012

Examenvraag februari 2013

Examenvraag januari 2014

Verschillende examenvragen (2010-2013)

Academiejaar 2024-2025

Examen Analyse II 2024-2025

Academiejaar 2020-2021

Examen Analyse II 13 januari 2021

Academiejaar 2019-2020

Examen Analyse II 16 januari 2020

Examen Analyse II 30 januari 2020 Vraag 2: alfa < 1 en beta < gamma+1 Vraag 4: D_{A,B} = \frac{1}{2\pi y} (e^{2\pi i B y} - e^{-2\pi i A y})

Academiejaar 2018-2019

Examen Analyse II 14 januari 2019 (vermoedelijke) oplossing (pas aan indien incorrect): vraag 2: alpha > -1, beta > -2-2alpha vraag 4: F_y: x\mapsto f(x,y) is uniform continu voor alle y.

Academiejaar 2017-2018

Examen Analyse II 26 januari 2018

Examen Analyse II 15 januari 2018 oplossing vraag 4: F(x) = pi/2 - arctan(x)

Academiejaar 2016 - 2017

Examen Analyse II 16 januari 2017 noot: vraag 1: pg 223

(vermoedelijke) oplossingen: vraag 3: I = 2^(1-alpha)/(1-alpha) - 2^(2-alpha)/(2)alpha) als alpha < 1, oneindig otherwise

vraag 4: alpha < 1, beta > 1- alpha/2

Examen Analyse II 3 februari 2017 (vermoedelijke) oplossingen: vraag 2: K-loodrecht = {g in L²(|R) | voor alle gehele n is g bijna overal constant op [n, n+1)}. p_K(k)(x) = k(x) -integral(k(x), x in [n, n+1)}. vraag 3: steeds in |R²\{(0,0)}, ook in (0,0) als alfa < 1/2 vraag 4: min{alfa, beta} < 1/2 < max{alfa, beta} vraag 5: 2pi

Academiejaar 2015 - 2016

Examen Analyse II 11 januari 2016 Oplossing: vraag 4) alpha > 1/2 --limiet = 2

Examen Analyse II 29 januari 2016 NB: in academiejaar 2024-2025 stond de stelling niet meer op pg 132, maar op pg 197; de vraag is echter nog steeds dezelfde.

Academiejaar 2011 - 2012

Examen Analyse II 16 januari 2012

Examen Analyse II 1 februari 2012

Examen Analyse II 6 september 2012

Academiejaar 2009 - 2010

Examen Analyse II 28 januari 2010 (Kortrijk)

Examen Analyse II 27 januari 2010

Examen Analyse II 11 januari 2010

Academiejaar 2008-2009

Examen Analyse II 26 januari 2009

Examen Analyse II 16 januari 2009

Academiejaar 2007-2008

|Examen Analyse I 21 januari 2008 (Kortrijk)

Examen Analyse II 9 juni 2008

Examen Analyse II 23 juni 2008

Examen Analyse II 2 september 2008

Academiejaar 2006-2007

Examen Analyse II 19 januari 2007

Examen Analyse II 22 januari 2007 (Kortrijk)

Examen Analyse II 26 januari 2007

Examen Analyse II 27 augustus 2007

Examens - Professor Van Daele

Academiejaar 2005-2006

Examen Analyse II 23 januari 2006

5 september 2006

1. Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
   • Bewijs het lemma op p 17: $||AB|{|}_{\text{som}}\le ||A|{|}_{\text{som}}||B|{|}_{\text{som}}$
   • Onderaan p 18 concluderen we dat ${\varphi }_y$ een contractie is. Voor welke metriek is dit?
   • Brengen volgende verzamelingen de Borel-$\sigma$-algebra op ${\mathbb{ℝ}}^2$ voort? Bewijs.
     • $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}$
     • $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}\cup \{\mathbb{ℝ}\times [c,d]|c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
     • $\{[a,-a]\times [c,d]|a,c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
   • Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
2. Neem $D_{\alpha }=\{0<y,0<x<y^{\alpha }<1\}\subset {\mathbb{ℝ}}^2$. Neem $f=\frac{1}{(x+y{)}^2}$. Voor welke $\alpha$ is $\underset{D_{\alpha }}{\int }fd\lambda <\mathrm{\infty }$?
3. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare functie en veronderstel dat $f$ eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat $\frac{1}{2\pi }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}\hat{f}(t)e^{itx}dt=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x+y)D_A(y)dy,$ waarbij $D_A(y)=\frac{\sin (Ay)}{\pi y}$.
   • Toon nauwkeurig aan dat $\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{[-1,1]}{\int }{D}_A(y)dy=1$. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ oneigenlijk integreerbaar is op $\mathbb{ℝ}$ met oneigenlijke integraal gelijk aan $\pi$.
   • Toon aan dat voor alle $x\in \mathbb{ℝ}$, $\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x+y)D_A(y)dy-f(x)\underset{[-1,1]}{\int }{D}_A(y)dy\to 0$ als $A\to \mathrm{\infty }$. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle $x\in \mathbb{ℝ}$: $\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2\pi }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}\hat{f}(t)e^{itx}dt=f(x)$.
4. Stel $V=(3x,2z,1)$, $K=\{(x,y,z)\in \mathbb{ℝ}:x^2+y^2\le z^2/4\}$
   • Bewijs dat $\underset{\delta K}{\int }\mathbf{𝐕}\cdot \mathbf{𝐧}=3$.
   • Verifieer de divergentiestelling voor $\mathbf{𝐕}$ en $K$.

Academiejaar 2004-2005

Examen Analyse II januari 2005

Examen Analyse II augustus 2005

Academiejaar 2003-2004

Examen Analyse II januari 2004

Examen Analyse II augustus 2004