Kans en maat

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Informatie over het examen

This course is taught by Aron Wennman since 2024.

The exam format is 4 questions, and will be taken into account of your best 3 answers(so try to answer all of them).

Examenvragen

Augustus 2020

Dit jaar werd het vak gegeven door Gabor Szabó. Hij gebruikte eigen lesnota's met de nota's van Q als aanvulling. Exam August 2020

januari 2019

Dit jaar werd het vak gegeven door Mateusz Wazilewski. Hij gebruikte dezelfde notas als JQ, maar had enkele kleine extra bundeltjes gegeven. Examen januari 2019 met oplossingen

september 2018

Het laatste jaar dat Q dit vak gaf. Als student kon je kiezen tussen twee versies van het vak om te studeren en deze hadden elk een eigen examen. Optie A: met Lp ruimtes en de centrale limietstelling, maar zonder borelmaten. Optie B: zonder Lp ruimtes en de centrale limietstelling, maar met borelmaten.

Examen september 2018

januari 2018

Het laatste jaar dat Q dit vak gaf. Als student kon je kiezen tussen twee versies van het vak om te studeren en deze hadden elk een eigen examen. Optie A: met Lp ruimtes en de centrale limietstelling, maar zonder borelmaten. Optie B: zonder Lp ruimtes en de centrale limietstelling, maar met borelmaten. Examen januari 2018

maandag 16/06/08

1) (ben niet 100% zeker of ik deze vraag volledig correct formuleer) Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ een maatruimte. Zij voor alle n $f_n,f\in {\mathfrak{𝔏}}^1(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ en veronderstel dat $||f_n-f|{|}_1\to 0$ als $n\to \mathrm{\infty }$. Definieer nu $E_n^{\delta }:=\{x\in \mathbb{ℝ}||f_n-f|(x)>\delta \}$. Bewijs dat $E_n^{\delta }$ een meetbare verzameling is en bewijs vervolgens dat $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_n^{\delta })=0$.

2) Beschouw $\mathbb{ℝ}$ met de Borel sigma algebra. We definiëren $S:=\cap \{G\subset \mathbb{ℝ}|G\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">gesloten<mo>,</mo></mrow>}\mu (G^c)=0\}$

• Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat
• Toon aan dat in het algemeen geldt dat $\mu (S^c)=0$. Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: $\mu (E)=\sup \{\mu (K)|K\subset \mathbb{ℝ},K\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">compact</mrow>},K\subset E\}$. We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
• Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
• Definieer de stijgende rechtscontinue functie $F$ zodanig dat $\mu ((a,b])=F(b)-F(a)$. Bewijs dat $S=\{x\in \mathbb{ℝ}|\mathrm{\forall }\epsilon >0:F(x-\epsilon )<F(x+\epsilon )\}$

3) Zij $X_1,X_2,X_3$ onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat $X_1+X_2,X_3$ ook onafhankelijk zijn.

4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn

5) een vraag over conditionele verwachting, waarbij een nieuw begrip geïntroduceerd werd: de conditionele variantie.

vrijdag 12/06/2009

1. Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ een maatruimte die $\sigma$-eindig is. Zij $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℂ}$ integreerbaar en veronderstel dat $\mathrm{\forall }E\in \mathfrak{𝔐}$ geldt dat $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f{\chi }_{E}d\mu =0$ als E een eindige maat heeft. Wat kan je besluiten over f? Blijft je conclusie gelden voor een maatruimte die niet $\sigma$-eindig is?
2. Zij U een halfring op een niet-lege verzameling $\mathrm{\Omega }$ en zij ${\mu }_0$ een maat op U. Zij $\mathfrak{𝔐}$ de $\sigma$-algebra voortgebracht door U. Zij $\mu$ de maat op $\mathfrak{𝔐}$ die bekomen wordt door Carathéodory toe te passen op ${\mu }_0$. Veronderstel dat $(U,{\mu }_0)$ $\phi$-invariant is, dit wil zeggen $\mathrm{\forall }E\in U:\phi (E)\in U$ en ${\mu }_0(\phi (E))={\mu }_0(E)$. Is $(\mathfrak{𝔐},\mu )$ dan ook $\phi$-invariant?
3. Zij $F_X:\mathbb{ℝ}\to [0,1]$ de verdelingsfunctie van een reële toevalsvariabele X. Gebruik Fubini (eigenlijk zijn stelling) om aan te tonen dat $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }(F_X(x+a)-F_X(x))dx=a.$
4. Toon 4.3.3.7 aan voor X en Y kwadratisch integreerbaar. Je mag daarvoor wel al 4.3.3.7 gebruiken voor X begrensd en Y integreerbaar.
5. Zij $\mathrm{\Omega }=[0,2]$ met de Borel-$\sigma$-algebra en zij P de genormaliseerde Lebesguemaat op [0,2]. Zij $Y:[0,2]\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto Y(x)=\min \{1,x\}$ en zij X een integreerbare reële toevalsvariabele op [0,2]. Bereken $E(X|Y)$.

donderdag 27/08/2009

1. We bekijken de Borel-$\sigma$-algebra $\mathfrak{𝔅}$ en Lebesgue-maat $\lambda$ op $\mathbb{ℝ}$.
   1. Bewijs: $\lambda (E)=\inf \{\lambda (V):E\subseteq V\subseteq \mathbb{ℝ},V\text{ open }\}$ voor elke $E\in \mathfrak{𝔅}$. (Dit is de uitwendige regulariteit van $\lambda$.)
   2. Construeer bij wijze van illustratie voor een gegeven $\epsilon >0$ een open verzameling $V$ met $\mathbb{\mathbb{Q}}\subseteq V\subseteq \mathbb{ℝ}$ en $\lambda (V)<\epsilon$.
   3. Is elke Borelmaat (Lebesgue-Stieltjesmaat) op $\mathbb{ℝ}$ uitwendig regulier?
2. Zij ${\left(X_n\right)}_n$ een rij van reële toevalsvariabelen op eenzelfde kansruimte $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mathbf{𝐏})$. Veronderstel dat er een $p\in [0,1)$ bestaat zodanig dat $\mathbf{𝐄}(|X_n{|}^2)\le n^p$ voor alle $n$. Bereken $\mathbf{𝐏}((X_n\ge n)\text{ oneindig keer})=\mathbf{𝐏}((X_n\ge n)\text{ i.o.})$.
3. Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mathbf{𝐏})$ een kansruimte die een rij $(A_n{)}_n$ van onafhankelijke gebeurtenissen bevat, met $\mathbf{𝐏}(A_i)=1/2$ voor alle $i$. Toon aan dat $\mathrm{\Omega }$ overaftelbaar is. (Hint: toon aan dat $P(\{\omega \})\le 1/2^n$ voor alle $\omega \in \mathrm{\Omega }$ en $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.)
4. 1. Zijn $({\mathrm{\Omega }}_1,{\mathfrak{𝔐}}_1)$ en $({\mathrm{\Omega }}_2,{\mathfrak{𝔐}}_2)$ meetbare ruimten. Zij $E$ een element van de product-$\sigma$-algebra ${\mathfrak{𝔐}}_1\times {\mathfrak{𝔐}}_2$. Zijn $x_1\in {\mathrm{\Omega }}_1$ en $x_2\in {\mathrm{\Omega }}_2$, en definieer de twee secties $E_{x_1}=\{x_2\in {\mathrm{\Omega }}_2:(x_1,x_2)\in E\}$ en $E^{x_2}=\{x_1\in {\mathrm{\Omega }}_1:(x_1,x_2)\in E\}$. Toon aan dat $E_{x_1}\in {\mathfrak{𝔐}}_2$ en $E^{x_2}\in {\mathfrak{𝔐}}_1$.
   2. In de cursus werd aangetoond dat ${\mathfrak{𝔅}}_n\times {\mathfrak{𝔅}}_m={\mathfrak{𝔅}}_{n+m}$ waarbij ${\mathfrak{𝔅}}_k$ (voor $k\ge 1$) de Borel-$\sigma$-algebra van ${\mathbb{ℝ}}^k$ is. Geldt de analoge gelijkheid ${{ℒ}}_n\times {{ℒ}}_m={{ℒ}}_{n+m}$ voor de Lebesgue-$\sigma$-algebra's ${{ℒ}}_k$ op ${\mathbb{ℝ}}^k$?
5. We zeggen dat een rij $({\mu }_n{)}_n$ van kansmaten op $\mathbb{ℝ}$ zwak convergeert naar de kansmaat $\mu$ op $\mathbb{ℝ}$ als voor elk element $f$ van de verzameling $C_b(\mathbb{ℝ})$ van begrensde, continue functies op $\mathbb{ℝ}$ geldt dat $\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }fd{\mu }_n\to \underset{\mathbb{ℝ}}{\int }fd\mu (\star )$. We veronderstellen in deze opgave dat voor de verdelingsfuncties $F_n(x)={\mu }_n((-\mathrm{\infty },x])$ en $F(x)=\mu ((-\mathrm{\infty },x])$ geldt dat $F_n(x)\to F(x)$ voor alle $x\in C(F)$, de verzameling van punten waar $F$ continu is. Werk de volgende stappen in detail uit om te bewijzen dat $({\mu }_n{)}_n$ zwak convergeert naar $\mu$.
   1. Toon aan dat aan $(\star )$ voldaan is als $f$ van de vorm $\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{\chi }_{(a_i,b_i]}(\ast )$ is, met $k\ge 1,{\lambda }_i\in \mathbb{ℝ},a_i,b_i\in C(F)$ voor alle $i$.
   2. Toon aan dat aan $(\star )$ voldaan is voor alle elementen $f$ van $C_c(\mathbb{ℝ})$, de verzameling van continue functies op $\mathbb{ℝ}$ met compacte drager, door de elementen van $C_c(\mathbb{ℝ})$ op een gepaste manier te benaderen door functies van de vorm $(\ast )$. (Opgelet: subtiele technische details!)
   3. Toon tenslotte aan dat aan $(\star )$ voldaan is voor alle elementen $f$ van $C_b(\mathbb{ℝ})$. Doe dit door het te bewijzen te reduceren tot het geval waarbij $\Vert f{\Vert }_{\sup }=1$. Kies dan $\epsilon >0$ willekeurig en toon aan dat er $c,d\in C(F)$ bestaan zodat $\mu ((c,d])>1-\epsilon /3$. Benader $f$ door een functie $f_0\in C_c(\mathbb{ℝ})$ die samenvalt met $f$ op $(c,d]$ en voldoet aan $|f(x)-f_0(x)|\le 1$ voor alle $x$. Toon dan tenslotte aan dat er een $n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ bestaat zodat voor $n\ge n_0$ geldt dat $|\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }fd{\mu }_n-\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }fd\mu |<\epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3$. Leun daarna voldaan achterover.