Meetkunde I

Didactisch Team

Academiejaar	Professor(en)	Assistent(en)
2018-2019	Wendy Goemans	Stephane Geudens
2019-2020	Wendy Goemans	Stephane Geudens
2020-2021	Wendy Goemans	Julius Caesar
2021-2022	Wendy Goemans	Kristof Dekimpe
2022-2023	Wendy Goemans	Kristof Dekimpe en Marie D'haene
2023-2024	Wendy Goemans	Marie D'haene en Giel Stas
2024-2025	Wendy Goemans	Marie D'haene en Giel Stas

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Examens

Academiejaar 2024-2025

Examen 26 juni 2025

Academiejaar 2023-2024

Examen 27 juni 2024

Academiejaar 2021-2022

Examen 30 juni 2022

Herexamen 22 augustus 2022

Academiejaar 2020-2021

06 juni 2021

Oefeningen. Vraag 5 Zij $\alpha (t)$ een reguliere kromme, zij H het osculatievlak in $t_0$, $\gamma (t)$ is de kromme die de loodrechte projectie voorstelt van $\alpha (t)$ op H. Laat zien dat de kromming in $\gamma (t_0)$ gelijk is aan die in $\alpha (t_0)$.

31 Augustus 2021

Examen 31 augustus 2021 Ik veronderstel dat er hier iets is misgelopen met vraag 5, gezien er op deze manier geen (a,b) zijn. Knal een factor t bij de x of y om effectief oplossingen te vinden. :)

Academiejaar 2019-2020

19 juni 2020

Bij de vraag over lineaire systemen moet het een doorsnede zijn ipv een unie. Examen 19 juni 2020

16 juni 2020

Examen 16 juni 2020

21 augustus 2020

Examen 21 augustus 2020
In oefening 2.1 moet R gekozen worden zodat APRQ terug een rechthoek zal zijn, niet APRD Waarschuwing: als u de Nederlandse taal graag ziet, gelieve dan dit document niet te openen.

Academiejaar 2018-2019

Theorie Vragen 2018-2019

Academiejaar 2017-2018

20 juni 2018

Examen 20 juni 2018

Academiejaar 2016-2017

28 augustus 2017

Examen 28 augustus 2017

Opgave 2.3 is mogelijks fout overgeschreven. Als \beta(s) = p + sv een rechte is, dan is \alpha(s) = p wat allesbehalve regulier is.

16 Januari 2017

Examen 16 januari 2017

Academiejaar 2015-2016

11 Januari 2016

Examen 11 januari 2016

Academiejaar 2014-2015

23 Januari 2015

Examen 23 januari 2015

Academiejaar 2011-2012

26 januari 2012

Examen 26 januari 2012

1 februari 2012

Examen 1 februari 2012

Academiejaar 2010-2011

27 januari 2011

Examen 27 januari 2011

4 februari 2011

Examen 4 februari 2011

25 augustus 2011

Examen 25 augustus 2011

Academiejaar 2009-2010

21 januari 2010

Theorie

1. Definieer het begrip "rotatie" en "schroefbeweging" in ${\mathbb{𝔼}}^3$, en geef hierbij uitgebreid commentaar. Toon aan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of een schroefbeweging is.
2. Toon aan dat een cirkel in ${\mathbb{𝔼}}^2$ constante kromming heeft. Toon vervolgens aan dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^2$ met constante kromming een deel van een rechte of een deel van een cirkel is.

Oefeningen.

1. Zij $l_1$ en $l_2$ 2 rechten in ${\mathbb{𝔸}}^3$ gegeven door respectievelijk

$l_1\leftrightarrow x-2=y-3=\frac{z-4}{2}$ en $l_2\leftrightarrow \{\begin{array}{c}5x-4y-6z+21=0\\ x-y-z+4=0\end{array}$

1. • Toon aan dat $l_1$ en $l_2$ kruisend zijn.
   • Bepaal de rechte $l$ met richting (1,0,1) die $l_1$ en $l_2$ snijdt.
2. Zij $l_1$, $l_2$ en $l_3$ 3 rechten in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en R($l_1$), R($l_2$) en R($l_3$) spiegelingen t.o.v. $l_1$, $l_2$ en $l_3$ respectievelijk. Stel dat $l_1$, $l_2$ en $l_3$ elkaar snijden in het punt P. Toon aan dat R($l_1$)$\circ$ R($l_2$)$\circ$ R($l_3$) een spiegeling is t.o.v. een rechte l door P.
3. Zij $\alpha (t)=(t+\sqrt{3}\sin (t),2\cos (t),\sqrt{3}t-\sin (t))$ een kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$. Toon aan dat $\alpha$ een cirkelschroeflijn is. Bepaal vervolgens a,b $\in \mathbb{ℝ}$ zodat er een isometrie bestaat tussen $\alpha$ en de kromme $\beta (t)=(a\cos (t),a\sin (t),bt)$.
4. Zij $\alpha$ een booglengtegeparametriseerde kromme met eenheidsrakend vectorveld T=${\alpha }^{\prime }$ en kromming $\kappa$. Zij (T,$N_1$,$N_2$) een positief georienteerd, orthonormaal referentiestelsel langs de kromme $\alpha$. Veronderstel bovendien dat $N_1\cdot {N_2}^{\prime }=0$. In dat geval noemen we (T,$N_1$,$N_2$) een Bishop-referentiestelsel.
   • Toon aan dat er functies $k_1$ en $k_2$ bestaan waarvoor geldt dat: $T^{\prime }=k_1{N}_1+k_2{N}_2$, ${N_1}^{\prime }=-k_{1}T$, ${N_2}^{\prime }=-k_{2}T$,
   • Toon aan dat ${\kappa }^2=k_1^2+k_2^2$
   • Als $\alpha$ een kromme is met strikt positieve kromming $\kappa$, dan kunnen we de eenheidsnormaal vectorveld $N_1$ langs $\alpha$ schrijven als een lineaire combinatie van de hoofdnormaal N en de binormaal B, i.e. $N_1=\cos \theta N+\sin \theta B$. Toon aan dat $k_1=\kappa \cos \theta ,k_2=-\kappa \sin \theta$ en ${\theta }^{\prime }=-\tau$, waarbij $\tau$ de torsie van de kromme $\alpha$ is.
   • Toon aan dat $\alpha$ op een sfeer ligt als en slechts als er constanten $\lambda ,\mu$ bestaan waarvoor geldt dat $\lambda k_1+\mu k_2+1=0$.

29 januari 2010

Theorie

1. Definieer het begrip "rotatie" en "schroefbeweging" in ${\mathbb{𝔼}}^3$, en geef hierbij uitgebreid commentaar. Toon aan dat elke rotatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of een schroefbeweging is.
2. Wat is de intrinsieke vergelijking en hoe kun je er de kromme uit vinden. Definieer vervolgens rotatie-index, leg uit en toon aan hoe je deze uit de kromming kan halen.

Oefeningen

1. Gegeven zijn en vlak en een rechte en ${\mathbb{𝔼}}^4$. Toon aan dat deze kruisend zijn en geef de gemeenschappelijke loodlijn op het vlak en de rechte.
2. Gegeven een driehoek ABC. Zij E en F op respectievelijk AB en BC zodat |AE|=|AF|. Noem Q het snijpunt van de zwaartelijn uit A met de rechte EF en noem P het snijpunt van EF met BC. Toon vervolgens dat $\frac{|QE|}{QF}=\frac{|AB|}{AC}$.
3. Zij $l_1$, $l_2$ en $l_3$ 3 rechten in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en R($l_1$), R($l_2$) en R($l_3$)spiegelingen t.o.v. $l_1$, $l_2$ en $l_3$ respectievelijk. Bovendien zijn $l_1$, $l_2$ en $l_3$ parallel. Laat zien dat R($l_1$) na R($l_2$) na R($l_3$)een spiegeling is rond een as parallel aan $l_1$
4. Zij $\alpha$ een booglengtegeparametriseerde krommme met een positieve kromming en constante torsie a. Veronderstel dat $\alpha (s)\cdot \alpha (s)=r^2$ voor elke s. Toon aan dat er b en c zijn zodat: $\frac{1}{\kappa }=\frac{1}{b\cos (as)+c\sin (as)}$

Academiejaar 2008-2009

19 januari 2009

Theorie

1. Definieer en bespreek uitvoerig een rotatie in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^3$. Classificeer in ${\mathbb{𝔼}}^3$ de oriëntatiebewarende isometrieën (en geef het bewijs).
2. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.

Oefeningen

1. Zij D en D' twee rechten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ die elkaar snijden in het punt a. Zij p en q twee willekeurige punten op D en zij p' en q' twee willekeurige punten op D' p, p' en q, q' niet gelijk aan het a. Noem b het snijpunt van de rechten pq' en p'q. Zij c het snijpunt van pp' met ab en d het snijpunt van qq' met ab. Bewijs dat (d,b,a)(c,a,b) = -1.
2. Gegeven een isometrie F van de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^3$. Welk type isometrie uit de classificatie is F? Beschrijf deze isometrie volledig
3. Zij $\beta$ een booglengtegeparametriseerde kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ waarvoor geldt $\mathrm{\exists }p\in {\mathbb{𝔼}}^3:\mathrm{\forall }s:(\beta (s)-p).(\beta (s)-p)=r^2$ met r een constante. Bewijs dat de kromming van $\beta$ nooit gelijk wordt aan 0. Bewijs dat als de torsie nergens gelijk is aan nul dat dan ${\left(\frac{1}{\kappa (s)}\right)}^2+{\left(\frac{{\kappa }^{\prime }(s)}{{\kappa }^2(s)\tau (s)}\right)}^2=r^2$

(ik denk dat de opgaven zo kloppen, maar ben niet honderd procent zeker...)

30 januari 2009

Examen 30 januari 2009

17 augustus 2009

Theorie

1. • Definieer een isometrie in de Euclidische ruimte. Toon aan dat voor elke isometrie geldt dat: d(F(p),F(q)) = d(p,q)
   • Toon aan dat elke afbeelding F met d(F(p),F(q)) = d(p,q) een isometrie is.
2. Definieer cilinder- en cirkelschroeflijnen en geef uitgebreid commentaar. Geef een karakterisatie van cilinderschroeflijnen en bewijs.

Oefeningen

1. Beschouw de driehoek ABC in E^2. Zij M, N, P gelegen op AB, BC, CA. Bewijs dat de zwaartepunten van ABC en MNP samenvallen als en slechts als (m,a,b)=(n,b,c)=(p,c,a).
2. Zij S de spiegeling rond y=x, t de translatie (1,0) en R de rotatie ove een hoek van PI radialen rond het punt (0,0). Gebruik de classificatiestelling om aan te tonen wat voor isometrie F = t o S o R is. (Geef bij een rotatie ook de hoek en middelpunt en bij een (schuif)spiegeling de as en translatiedeel).
3. Zij $\alpha (t)=(t,a{t}^2)$ een kromme in ${\mathbb{𝔼}}^2$. Geef de evoluut.
4. Bewijs dat als alle osculatievlakken van een kromme a in E^3 parallel zijn met een vast vlak in E^3, dan en slechts dan is a een vlakke kromme. Pas deze stelling toe om te bewijzen dat de kromme $\alpha (t)=(\frac{1}{\sqrt{10}}\sin (t),1+\cos (t),\frac{-3}{\sqrt{10}}\sin (t))$ vlak is

Academiejaar 2007-2008

18 januari 2008

Theorie

1. Definieer rotatie in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^2$ en bespreek uitvoerig. Classificeer in ${\mathbb{𝔼}}^2$ de orientatiebewarende isometriëen (met bewijs).
2. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde ruimtekrommen.

Oefeningen

1. Gegeven twee rechten: $l_1$ voldoet aan $x+y-8z+6=0$ en $x+2y-13z+10=0$ terwijl $l_2$ voldoet aan $x-z+2=0$ en $y-6=0$.
   • Bewijs dat deze twee rechten kruisen
   • Geef de rechte met richting $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ die beide rechten snijdt.
   • Voor welke richtingen kan je zo een rechte construeren die $l_1$ en $l_2$ snijdt?
2. Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^3\to {\mathbb{𝔼}}^3:\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}1-p_3\\ 1+p_2\\ 3-p_1\end{array}\right)$.
   • Welk type isometrie uit de classificatie is F?
   • Beschrijf deze isometrie volledig.
3. Gegeven is de krommingsfunctie $\kappa (s)$ van een kromme $\beta$ en 4 grafieken, je moet zeggen welke grafiek bij $\beta$ hoort en argumenteren.
4. Zij $\beta$ een booglengtegeparametriseerde kromme op het oppervlak van een sfeer die als middelpunt de oorsprong heeft en waarvoor geldt dat ${\kappa }^{\prime }\ne 0$. Bewijs dat $\beta (s)=\frac{-1}{\kappa (s)}N(s)+\frac{{\kappa }^{\prime }(s)}{(\kappa (s){)}^2\tau (s)}B(s)$

Academiejaar 2006-2007

11 juni 2007

Theorie

1. Definieer rotatie in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^2$ en bespreek uitvoerig. Classificeer in ${\mathbb{𝔼}}^2$ de orientatiebewarende isometrieen.
2. Definieer cilinderschroeflijnen en cirkelschroeflijnen in ${\mathbb{𝔼}}^3$. Bespreek. Formuleer en bewijs de nodige en voldoende voorwaarde voor cilinderschroeflijnen in verband met de kromming en de torsie

Oefeningen

1. Zij $l_1$ , $l_2$ en $l_3$ drie rechten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ concurrent in een punt $P$. Beschouw twee rechten $a$ en $b$ niet door $P$ en die alle $l_i$ snijden. We noemen $A_i=a\cap l_i$ en $B_i=b\cap l_i$. Bewijs dat $(A_1,A_2,A_3)=(B_1,B_2,B_3)$ asa $a\Vert b$
2. In ${\mathbb{𝔼}}^3$ de rechte $\ell \leftrightarrow x-y+3z=8\text{ en }x+y-7z=-10$. Toon aan dat er juist één $\mu$ is zodat $\ell$ loodrecht staat op het vlak $2x+\mu y+z=2$. Zoek $\mu$ en zoek de doorsnede van het vlak met $\ell$
3. Een schets van een kromme, met vier mogelijkheden voor de kromming. Je moest de juiste er uithalen en argumenteren waarom.
4. $\beta$ een cirkelschroeflijn. Zij $\alpha =\beta +T_{\beta }$. Zoek de kromming en torsie van $\alpha$ en concludeer dat dat ook een cirkelschroeflijn is.

Academiejaar 2005-2006

15 juni 2006

Theorie

1. • Definieer rotatie in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^3$ en bespreek uitvoerig.
   • Classificeer alle oriëntatiebewarende isometriën van ${\mathbb{𝔼}}^3$.
2. • Definieer en bespreek het Frenet-apparaat (referentiestelsel, kromming) van vlakke krommen. Geef en bewijs ook de formules van Frenet voor vlakke krommen.
   • Geef en bewijs de karakterisatie van cirkels aan de hand van hun kromming.

Oefeningen

1. Zij $A_1,A_2,A_3$ drie punten van ${\mathbb{𝔸}}^2$.
   • Bewijs dat er een uniek drietal punten $B_1,B_2,B_3$ bestaat, zodat $A_1$ het midden is van $B_1$ en $B_2$, $A_2$ het midden is van $B_2$ en $B_3$ en $A_3$ het midden is van $B_3$ en $B_1$.
   • Als $A_1,A_2$ en $A_3$ affien onafhankelijk zijn, geef en bewijs dan een methode om $B_1,B_2$ en $B_3$ te construeren.
2. • Zij $\theta \in \mathbb{ℝ}$ en $p\in {\mathbb{𝔼}}^2$. Definieer in ${\mathbb{𝔼}}^2$ de rechten $l_1=(0,0)+\text{vct}\{(\cos \theta ,\sin \theta )\}$ en $l_2=p+\text{vct}\{(\cos \theta ,\sin \theta )\}$. Zij $S_1$ de spiegeling rond de rechte $l_1$ en $S_2$ de spiegeling rond de rechte $l_2$. Bewijs dat $S_2\circ S_1$ een translatie is, en bepaal ook de vector waarover getransleerd wordt.
   • Bewijs dat elke translatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ geschreven kan worden als samenstelling van twee spiegelingen. Is deze ontbinding uniek?
3. Beschouw een booglengtegeparametriseerde kromme $\beta :\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{𝔼}}^2$ met als intrinsieke vergelijking $\kappa (s)=e^{-s}+\text{bgtg }s-2$. Welke van de vier volgende afbeeldingen geeft (een deel van) het beeld van $\beta$ weer? Motiveer je antwoord. (Dan zijn vier grafieken gegeven. Het antwoord is te vinden door de grootte van de kromming als $s\to \pm \mathrm{\infty }$ te bekijken, samen met de observatie dat de kromming van teken verandert.)
4. Beschouw de kromme $\alpha :\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{𝔼}}^3:t\to (\sin (t^2),\sin (t^2),\cos (t^2))$. Bepaal de kromming en de torsie van deze kromme.

22 juni 2006

Theorie

1. • Definieer rotatie en schroefbeweging in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^3$ en bespreek uitvoerig.
   • Classificeer alle oriëntatiebewarende isometriën van ${\mathbb{𝔼}}^3$.
2. • Geef de definitie van een cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
   • Geef en bewijs de karakterisatie van cirkelschroeflijnen aan de hand van hun kromming en torsie.

Oefeningen

1. Gegeven: 2 rechten in ${\mathbb{𝔸}}^3$. (De vergelijkingen van de rechten weet ik niet meer.) Toon aan dat deze rechten kruisend zijn en geef de recht met richting (1,1,-2) die beide rechten snijdt.
2. • Zij $\theta \in \mathbb{ℝ}$ en $p\in {\mathbb{𝔼}}^2$. Definieer in ${\mathbb{𝔼}}^2$ de rechten $l_1=p+\text{vct}\{(1,0)\}$ en $l_2=p+\text{vct}\{(\cos \theta ,\sin \theta )\}$. Zij $S_1$ de spiegeling rond de rechte $l_1$ en $S_2$ de spiegeling rond de rechte $l_2$. Bewijs dat $S_2\circ S_1$ een rotatie is, en geef het centrum en de rotatiehoek.
   • Bewijs dat elke rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ geschreven kan worden als samenstelling van twee spiegelingen. Is deze ontbinding uniek?
3. Gegeven een grafiek van een kromme $\beta (t)$ en gegeven vier mogelijke functies voor $\kappa (t)$. Welke $\kappa (t)$ hoort bij $\beta (t)$. Je moest kijken naar het feit dat $\kappa (t)$ van teken moest veranderen en zijn gedrag rond nul.
4. Gegeven: volgende kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$: $\beta (t)=a(1+\cos (t),\sin (t),2\sin \left(\frac{t}{2}\right))$.
   • Bewijs dat het beeld van deze kromme gelegen is op de de doorsnede van de cilinder met als vergelijking $(x-a{)}^2+y^2=a^2$ en de sfeer met als vergelijking $x^2+y^2+z^2=4a^2$.
   • Toon aan dat $\beta$ regulier is.
   • Toon aan dat de kromming en torsie worden gegeven door $\kappa (t)=\frac{\sqrt{13+3\cos t}}{a\cdot (3+\cos t{)}^{3/2}}$ en $\tau =\frac{6\cos \frac{t}{2}}{a\cdot (13+3\cos t)}$.

1 september 2006

Theorie

1. Definieer spiegeling en schuifspiegeling in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^n$. Toon aan dat elke isometrie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ een translatie, een rotatie of een schuifspiegeling is.
2. Bewijs dat een cirkel in ${\mathbb{𝔼}}^n$ een constante kromming heeft. Toon dan aan dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^2$ met een constante kromming een deel van een rechte of een deel van een cirkel is.

Oefeningen

1. • Toon aan dat de vlakken V: $x-3y-1=0$ en $2y-2+7=0$ en W: $x-2y-1=0$ en $4y-w+2=0$ in ${\mathbb{𝔸}}^4$ snijden in een punt.
   • Bepaal het hypervlak door dit punt dat zwak parallel is met de rechte X: $x-3y-5=0$ en $y-z+6=0$ en $4y-w+2=0$ en het vlak Y: $2x+y-z-1=0$ en $w-4=0$.
2. Bewijs of geef een tegenvoorbeeld over de volgende uitspraken over isometrieën in ${\mathbb{𝔼}}^3$
   • De samenstelling van 2006 translaties is terug een translatie.
   • De samenstelling van 2006 schuifspiegelingen (t.o.v. een spiegelvlak) is terug een schuifspiegeling (t.o.v. een spiegelvlak).
   • De samenstelling van 2006 schroefbewegingen is terug een schroefbeweging.
3. Stel ${\mathbb{ℍ}}^2$ het hyperbolisch vlak gegeven door $(x,y)\in {\mathbb{𝔸}}^2|y>0$ waarbij elke rakende ruimte wordt uitgerust met het scalair product $v_{(x,y)}\cdot w_{(x,y)}:=\frac{1}{y^2}(v_1{w}_1+v_2{w}_2)$. Voor elke $ϵ\ge 0$ beschouwen we de kromme ${\alpha }_{ϵ}:]-1,1[\to {\mathbb{ℍ}}^2:t\to {\alpha }_{ϵ}(t)=(t,1+ϵ+t.ϵ)(t\le 0)of(t,1+ϵ-t.ϵ)(t>0)$2
   • Schets de krommen ${\alpha }_0$, ${\alpha }_{0,5}$ en ${\alpha }_1$.
   • Bereken de lengte $L_{ϵ}$ van ${\alpha }_{ϵ}$.
   • Argumenteer dat $L_{ϵ}$ een minimum bereitk tussen $ϵ=0,3$ en $ϵ=0,5$en interpreteer meetkundig.
4. Zij $\beta$ een booglengtegeparametriseerde kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ met een constante kromming verschillend van 0 die op een boloppervlak ligt. Toon aan dat $\beta$ (een deel van) een cirkel is.

Academiejaar 2004-2005

Juni 2005

Theorie

1. Definieer "schroefbeweging" en "rotatie" in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
   Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
2. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.

Oefeningen

1. • Gegeven zijn affiene deelruimten S = p + V en T = q + W van ${\mathbb{𝔸}}^n$, met $S\cap T=\mathrm{\varnothing }$. Toon aan dat de dimensie van de kleinste affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ die S en T omvat gelijk is aan dim(V + W) + 1
   • Beschouw in ${\mathbb{𝔸}}^5$ de vlakken gegeven door $x_2=0,x_4=0,x_5=1$ enerzijds en $x_1=0,x_4=1,x_5=0$ anderzijds. Bepaal de kleinste affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^5$ die deze vlakken omvat.
2. Gegeven is de isometrie $F:{\mathbb{𝔼}}^2\to {\mathbb{𝔼}}^2:\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}-3/5& -4/5\\ -4/5& 3/5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.
   • Welk type isometrie uit de classificatie is F?
   • Beschrijf deze isometrie volledig: geef centrum en hoek voor een rotatie, spiegelas en translatiedeel in de richting van de as voor een schuifspiegeling.
3. Bekijk de booglengtegeparametriseerde vlakke kromme $\beta (s)=(\underset{0}{\overset{s}{\int }}\cos (\ln t)dt,\underset{0}{\overset{s}{\int }}\sin (\ln t)dt).$
   Verifieer dat de evoluut van deze kromme eveneens booglengtegeparametriseerd is.
4. Zij $\beta :{\mathbb{ℝ}}_0^{+}\to {\mathbb{𝔼}}^3:s\mapsto \beta (s)$ een boogelengtegeparametriseerde kromme met ${\kappa }_{\beta }>0$ en definieer $\alpha (s)=\beta (s)-s{\beta }^{\prime }(s)$.
   • Verifieer dat $\alpha$ regulier is, maar niet noodzakelijk booglengtegeparametriseerd.
   • Stel dat $\alpha$ een vlakke kromme is. Bewijs dat $\beta$ een cilinderschroeflijn is.

Academiejaar 2003-2004

17 juni 2004 (VM)

17 juni 2004 (VM)

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Euclidische meetkunde

1. Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van ${\mathbb{𝔼}}^2$ of ${\mathbb{𝔼}}^3$ moet classificeren.
2. Definieer rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en ${\mathbb{𝔼}}^3$.
3. Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
4. • Definieer schroefbeweging en rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
   • Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
5. Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^n\to {\mathbb{𝔼}}^n$ een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle $p,q\in {\mathbb{𝔼}}^n$.
6. Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie $t_b$ zodat
   • $F=t_b\circ G$
   • $V(G)\ne \mathrm{\varnothing }$
   • $G_{*}b=b$

   Bovendien is dan ook $t_b\circ G=G\circ t_b$ en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van $\ker (F_{*}-I)$.

Krommen

1. Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
2. Bewijs dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
3. • In ${\mathbb{𝔼}}^2$. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
   • Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
4. • Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
   • Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
5. • Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
   • Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
6. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
7. Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.

Tussentijdse toetsen

2006-04-??

1. Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^4$:
   $x_1-x_3-x_4=-1$
   $x_1+x_2-2x_3=1$
   $x_2-x_3+x_4=2$
   $x_1+3x_2-4x_3+2x_4=5$
2. Zij S een niet-lege deelverzameling van ${\mathbb{𝔸}}^n$. Toon aan: S is een affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
3. Zij b, c twee vaste punten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
   • analytisch;
   • synthetisch.

   (Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)