[[Media:Examen_Analyse_II_2024-2025.pdf|Examen Analyse II 2024-2025]]
Niet-officiële (maar wel juiste) pdf:
==Academiejaar 2020-2021==
[[Media:Analyse_II__Examen_januari_2021.pdf|Examen Analyse II 13 januari 2021]]
[[Media:ExamenAnalyseII2009.pdf]]
==Academiejaar 2019-2020==
[[Media:Analyse_16januari2020.pdf|Examen Analyse II 16 januari 2020]]
[[Media:Analyse_30januari2020.pdf|Examen Analyse II 30 januari 2020]]
Vraag 2: alfa < 1 en beta < gamma+1
Vraag 4: D_{A,B} = \frac{1}{2\pi y} (e^{2\pi i B y} - e^{-2\pi i A y})
==Academiejaar 2007-2008==
==Academiejaar 2018-2019==
===2008-09-02===
[[Media:Examen_AnalyseII_140219.pdf|Examen Analyse II 14 januari 2019]]
(vermoedelijke) oplossing (pas aan indien incorrect):
vraag 2: alpha > -1, beta > -2-2alpha
vraag 4: F_y: x\mapsto f(x,y) is uniform continu voor alle y.
Originele opgave:
==Academiejaar 2017-2018==
[[Media:ExamenAnalyse2601.pdf|Examen Analyse II 26 januari 2018]]
[[Media:Leuven-sep2008.pdf]]
[[Media:Examen_Analyse_II_180115.pdf|Examen Analyse II 15 januari 2018]]
oplossing vraag 4: F(x) = pi/2 - arctan(x)
# Beschouw de Hilbertruimte <math>L^2(\mathbb{R},\lambda) </math> uitgerust met de norm <math>||.||_2</math>. Definieer <math> \omega : L^2(\mathbb{R},)\lambda) \rightarrow \mathbb{C} : \omega(f) = \int_{[0,1]} xf(x)d\lambda(x) </math>. Toon aan dat <math>\omega</math> een goed gedefinieerde en continue lineaire afbeelding van <math>L^2(\mathbb{R},\lambda)</math> naar <math>\mathbb{C} </math> is. Bereken de norm <math>||\omega||</math>.
==Academiejaar 2016 - 2017==
# Zij <math> f: [0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty) </math> een positief meetbare functie. Toon heel nauwkeurig aan dat <math> \int_{\mathbb{R}^2} f(x^2+y^2)d\lambda(x,y) = \pi \int_{[0,+\infty)}fd\lambda.</math>
[[Media:examen_analyse2.pdf|Examen Analyse II 16 januari 2017]]
# Zij <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} </math> een integreerbare functie en veronderstel dat f eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat <math> \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{itx}dt = \int_{\mathbb{R}} f(x+y)D_A(y)dy </math> waarbij <math>D_A(y)= \frac{sin(Ay)}{\pi y}</math>.
noot: vraag 1: pg 223
## Toon nauwkeurig aan dat <math>lim_{A \rightarrow +\infty} \int_{[-1,1]} D_A(y)dy = 1 </math>. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie <math> x \mapsto \frac{sin x}{x} </math> oneigenlijk integreerbaar is op <math>\mathbb{R}</math> met oneigenlijke integraal gelijk aan <math>\pi</math>.
## Toon aan dat voor alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math> \int_{\mathbb{R}} f(x+y)D_A(y)dy-f(x)\int_{[-1,1]}D_A(y)dy \rightarrow 0 </math> als <math> A \rightarrow +\infty</math>. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle <math> x \in \mathbb{R}</math>, <math> lim_{A \rightarrow + \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{itx}dt = f(x)</math>.
# In Definitie 1.11 definieerden we de norm <math>||A||</math> van een n bij n matrix <math> A \in M_n(\mathbb{R})</math>. Bewijs dat <math> ||A||=sup\{ |(A(x)).y| | x,y \in \mathbb{R}^n, ||x|| \leq 1, ||y|| \leq 1\}</math>. Hierbij noteerden we met . het gebruikelijke scalair product op <math>\mathbb{R}^n</math>.
# Verifieer de Stelling van Stokes voor het vectorveld <math> \mathbf{V}(x,y,z)=(y,0,0) </math> en het oppervlak O gegeven door <math> O = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2 \leq 1, z= e^x \}</math>.
===2008-06-23===
(vermoedelijke) oplossingen:
vraag 3: I = 2^(1-alpha)/(1-alpha) - 2^(2-alpha)/(2)alpha) als alpha < 1, oneindig otherwise
Originele opgave:
vraag 4: alpha < 1, beta > 1- alpha/2
[[Media:Leuven-juni-2008-reeks2.pdf]]
[[Media:Examen_Analyse_II.pdf|Examen Analyse II 3 februari 2017]]
(vermoedelijke) oplossingen:
vraag 2: K-loodrecht = {g in L²(|R) | voor alle gehele n is g bijna overal constant op [n, n+1)}. p_K(k)(x) = k(x) -integral(k(x), x in [n, n+1)}.
vraag 3: steeds in |R²\{(0,0)}, ook in (0,0) als alfa < 1/2
vraag 4: min{alfa, beta} < 1/2 < max{alfa, beta}
vraag 5: 2pi
# Zij <math>X</math> een Banachruimte met norm <math>x \mapsto ||x||</math>. Zij <math>Y \subset X</math> een deelruimte. Toon aan dat <math>Y</math> uitgerust met de norm <math>y \mapsto ||y||</math> een Banachruimte is als en slechts als <math>Y</math> gesloten is in <math>X</math>.
==Academiejaar 2015 - 2016==
# Zij <math>f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> integreerbaar op <math>[0,2\pi]</math> en <math>2\pi</math>-periodisch. Voor welke <math>2\pi</math>-periodische functie <math>h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> integreerbaar op <math>[0,2\pi]</math>, geldt dat <math>\hat{h}(k) = \hat{f}(k)\hat{g}(k)</math> voor alle <math>k \in \mathbb{Z}</math>? Bewijs je antwoord.
[[Media:analyse_11jan2016.pdf|Examen Analyse II 11 januari 2016]]
# Zij <math>f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> totaal afleidbaar en definieer <math>g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: g(x,y) = ||f(x,y)||^2</math>, <math>h : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: h(x,y) = ||f(x,y)||</math>. (a) Is <math>g</math> altijd totaal afleidbaar? Zo ja, bewijs en geef een formule voor <math>(dg)(x,y)</math>. Zo nee, geef een tegenvoorbeeld. (b) Zelfde vraag voor <math>h</math>.
# Verifieer de Stelling van Stokes voor het oppervlak <math>\mathcal{O}</math> gegeven door <math>\mathcal{O} = \{(x,y,z) | 0 \leq z \leq 1, x^2 + 4y^2 = z^4\}</math> en het vectorveld <math>V(x,y,z) = (0,x,0)</math>.
=== 2008-06-09===
[[Media:Examen_29jan2016.pdf|Examen Analyse II 29 januari 2016]] NB: in academiejaar 2024-2025 stond de stelling niet meer op pg 132, maar op pg 197; de vraag is echter nog steeds dezelfde.
Originele opgave:
==Academiejaar 2011 - 2012==
[[Media:AnalyseII-16januari2012.jpg|Examen Analyse II 16 januari 2012]]
[[Media:Leuven-juni-2008-reeks1.pdf]]
[[Media:Examen-leuven-reeks2-jan-2012.pdf|Examen Analyse II 1 februari 2012]]
# Zij <math>X = C([0,1], \mathbb{C})</math> de vectorruimte van de continue functies van <math>[0,1]</math> naar <math>\mathbb{C}</math>. <math>X</math> is een genormeerde ruimte met <math> ||f||_1 = \int_0^1 |f(x)| \ dx </math> Toon aan dat <math> (X, ||\cdot||_1)</math> geen Banachruimte is.
[[Media:Examen_Analyse_II_(augustus_2012).pdf|Examen Analyse II 6 september 2012]]
# Zij <math>f, g \in \mathcal{L}^1(\R)</math>. Toon aan dat <math>\widehat{(f * g)} = \widehat{f} \ \widehat{g}</math>.
# Zij voor elke <math> a \in [0,1] : \phi_a: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> een totaal afleidbare funtie. Maak de volgende aanname: Er bestaat een <math> M>0</math> zodat voor alle <math> a \in [0,1], v \in \mathbb{R}^n</math> geldt dat <math> ||(d\phi_a)(v)||< M</math>. Definieer <math> f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}: v \mapsto \int_0^1 \phi_a(v) da</math> . Bewijs dat deze functie totaal afleidbaar is en dat <math> (df)(u)(v) = \int_0^1 (d\phi_a)(u)(v)</math> (Hint gebruik lemma 1.22 en laat je inspireren door propositie 2.60)
# Zij <math>f: [0,1)\rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \ln(1-x) x^n</math>. Bewijs nauwkeurig dat <math>f</math> integreerbaar is. Toon ook aan dat <math>\int_{[0,1)} f(x) \ dx = - \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}</math>
# Zij <math>K = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | -\frac{\pi}{2} \leq z \leq \frac{\pi}{2} \wedge x^2 + y^2 \leq \cos^2 z\}</math> en <math>\textbf{V}(x,y,z) = (0,y+z,0)</math>. Verifieer de divergentiestelling.
==Academiejaar 2009 - 2010 ==
[[Media:AnalyseII-28-jan-2010.pdf|Examen Analyse II 28 januari 2010 (Kortrijk)]]
=== 2008-01-21===
[[Media:AnalyseII-27-jan-2010.pdf|Examen Analyse II 27 januari 2010]]
De opgave van 21 januari 2008 in Kortrijk:
[[Media:AnalyseII-11-jan-2010.pdf|Examen Analyse II 11 januari 2010]]
[[Media:examen-jan2008-kortrijk.pdf|Analyse II examen 2008-01-21]]
==Academiejaar 2008-2009==
[[Media:Leuven-jan2009-reeks2.pdf|Examen Analyse II 26 januari 2009]]
[[Media:Leuven-16jan-2009.pdf|Examen Analyse II 16 januari 2009]]
==Academiejaar 2006-2007==
==Academiejaar 2007-2008==
[[Media:examen-jan2008-kortrijk.pdf||Examen Analyse I 21 januari 2008 (Kortrijk)]]
=== 2007-08-27===
[[Media:Leuven-juni-2008-reeks1.pdf|Examen Analyse II 9 juni 2008]]
[[Media:Leuven-juni-2008-reeks2.pdf|Examen Analyse II 23 juni 2008]]
Hier de pdf van professor Vaes:
[[Media:Leuven-sep2008.pdf|Examen Analyse II 2 september 2008]]
[[Media:Analyse2Examen-aug2007.pdf|Analyse II examen 08-27-2007]]
==Academiejaar 2006-2007==
[[Media:Leuven-jan2007-reeks1.pdf|Examen Analyse II 19 januari 2007]]
=== 2007-01-26 ===
[[Media:Kortrijk-jan2007.pdf|Examen Analyse II 22 januari 2007 (Kortrijk)]]
Originele opgave:
[[Media:Leuven-jan2007-reeks2.pdf|Examen Analyse II 26 januari 2007]]
[[Media:Leuven-jan2007-reeks2.pdf]]
[[Media:Analyse2Examen-aug2007.pdf|Examen Analyse II 27 augustus 2007]]
# Herinner de definities van de Beta en Gammafunctie (waren gegeven maar zijn vlug te vinden in de cursus analyse I). Bewijs dat <math> \lim_{y\rightarrow \infty} y^x B(x,y) = \Gamma(x)</math> (Hint: De substitutie <math>x \mapsto x/y</math> doet wonderen.)
= Examens - Professor Van Daele =
# Toon aan dat <math> \sum_{k=-m}^{n} \hat{f}(k)e^{ikx} = \int_{-\pi}^{\pi} f(x-y) D_{n,m}(y)dy</math> met <math> D_{n,m}(y) = \frac{e^{i(n+\frac{1}{2})y} - e^{-i(m+\frac{1}{2})y}}{4\pi i \sin \frac{y}{2}} </math>. Toon aan dat deze reeks convergeert naar <math> \frac{1}{2} (f(x+) + f(x-)) </math> indien f linker- en rechterafleidbaar is. Je moet hierbij geen exact bewijs geven, eerder zorgvuldig argumenteren dat het bewijs van de stelling van Dirichlet mits een kleine aanpassing bruikbaar is. '''Noot van de redactie:''' tot mijn grote schaamte, moet ik toegeven dat wat je hier moet aantonen, alleen waar is wanneer <math>f</math> continu is in <math>x</math>. Het probleem zit in het feit dat de integraal <math>\int_0^\pi D_{n,m}(y) dy</math> niet gelijk is aan <math>\frac{1}{2}</math>. Hopelijk gebeurt dit niet meer in de toekomst. Stefaan Vaes
== Academiejaar 2005-2006 ==
# Bekijk de Hilbertruimte <math> L^2([0,1],\lambda) </math>, met volgende vectoren e, f en h: <math> e(t) = 1 \qquad f(t) = t \qquad h(t) = t^2 </math>. Noteer K = span{e,f}. Bereken <math> P_K(h) </math>
[[Media:Januari-2006.pdf|Examen Analyse II 23 januari 2006]]
# Wanneer is de functie <math> f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}: f(t) = \frac{1 - e^{-t}}{t^\alpha}</math> integreerbaar?
===5 september 2006===
# V(x,y,z) = (0,0,1-z) en <math>K = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + \frac{y^2}{4} < (1-z)^2 ,0 < z < 1\right\}</math>. Verifieer de divergentiestelling.
# Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
#*Bewijs het lemma op p 17: <math>||AB||_{\text{som}} \leq ||A||_{\text{som}}||B||_{\text{som}}</math>
#* Onderaan p 18 concluderen we dat <math>\phi_y</math> een contractie is. Voor welke metriek is dit?
#* Brengen volgende verzamelingen de Borel-<math>\sigma</math>-algebra op <math>\mathbb{R}^2</math> voort? Bewijs.
#* Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
# Neem <math>D_{\alpha} = \{0 < y, 0 < x < y^{\alpha} < 1 \} \subset \mathbb{R}^2</math>. Neem <math>f = \frac{1}{(x+y)^2}</math>. Voor welke <math>\alpha</math> is <math>\int_{D_{\alpha}}{f d\lambda} < \infty</math>?
# Zij <math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> een integreerbare functie en veronderstel dat <math>f</math> eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat <math>\frac{1}{2\pi}\int_{-A}^{A}\hat{f}(t)e^{itx}dt = \int_{\mathbb{R}}f(x+y)D_{A}(y)dy,</math> waarbij <math>D_{A}(y)=\frac{\sin(Ay)}{\pi y}</math>.
#* Toon nauwkeurig aan dat <math>\lim_{A \rightarrow \infty}\int_{[-1,1]}D_{A}(y)dy=1</math>. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie <math>x \mapsto \frac{\sin x}{x}</math> oneigenlijk integreerbaar is op <math>\mathbb{R}</math> met oneigenlijke integraal gelijk aan <math>\pi</math>.
#* Toon aan dat voor alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math>\int_{\mathbb{R}}f(x+y)D_{A}(y)dy - f(x)\int_{[-1,1]}D_{A}(y)dy \rightarrow 0</math> als <math>A \rightarrow \infty</math>. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle <math>x \in \mathbb{R}</math>: <math>\lim_{A \rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-A}^{A}\hat{f}(t)e^{itx}dt = f(x)</math>.
#* Bewijs dat <math>\int_{\delta K}{\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}} = 3</math>.
#* Verifieer de divergentiestelling voor <math>\mathbf{V}</math> en <math>K</math>.
=== 2007-01-22 (Kortrijk) ===
== Academiejaar 2004-2005 ==
[[Media:Examen_jan2005.pdf|Examen Analyse II januari 2005]]
Originele opgave:
[[Media:Examen_aug2005.pdf|Examen Analyse II augustus 2005]]
== Academiejaar 2003-2004 ==
[[Media:Examen_jan2004.pdf|Examen Analyse II januari 2004]]
[[Media:Kortrijk-jan2007.pdf]]
[[Media:Examen_aug2004.pdf|Examen Analyse II augustus 2004]]
# Zij <math>f: \mathbb{R} \to [0,+\infty]</math> meetbaar en zij <math>A = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \left|\,0 < y < f(x)\right.\right\}</math>. <br> Bewijs dat A een Borelverzameling is en dat <math>\lambda(A) = \int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx</math>.
# Definieer de functie <math>f: [0,+\infty) \to \mathbb{R}: y \mapsto \int_0^{+\infty} y \arctan x \exp(-xy)\,dx</math>. <br> Bewijs dat deze functie continu is in y, als y verschillend is van 0. Bewijs ook dat de functie discontinu is in 0. <br> (Hint: het geval waarbij y = 0 is een beetje moeilijker: je kan in dat geval de substitutie <math>x \mapsto x/y</math> gebruiken.)
# Geef de beste benadering in <math>\mathbf{L}^2([0,2\pi],\lambda)</math> voor <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x</math> als lineaire combinatie van de twee functies <math>e: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \sin x</math> en <math>h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \cos 3x</math>.
# Bepaal alle waarden van <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> en <math>\beta \in \mathbb{R}</math> zodanig dat de functie <math>f:\, ]0,1] \to \mathbb{R}: x \mapsto \frac{\alpha - \cos x}{x^\beta}</math> integreerbaar is.
# Verifieer de stelling van Stokes voor het vectorveld <math>\mathbf{V}(x, y, z) = (0,x,0)</math> en het oppervlak <math>K = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z = 1,\ z \geq 0\right\}</math>.
=== 2007-01-19 ===
Originele opgave:
[[Media:Leuven-jan2007-reeks1.pdf]]
# Zij <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> een begrensde, Borel-meetbare functie en zij <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> een integreerbare functie. Bewijs dat de convolutie <math>f * g</math> continu is. Je mag hierbij gebruik maken van de variant van Lemma 4.35 waarbij <math>g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})</math>.
## Bijvraagje: kan je de uitspraak veralgemenen naar de Banachruimten <math>\mathcal{L}^p(\mathbb{R})</math> en <math>\mathcal{L}^q(\mathbb{R})</math>, voor sommige waarden van p en q?
# Definieer de functie <math>f: [0,+\infty) \to \mathbb{R}: y \mapsto \int_0^{+\infty} y \sin x \exp(-xy)\,dx</math>. Bewijs dat deze functie continu is. <br> (Hint: behandel eerst het geval waarbij y verschillend is van 0. Het geval waarbij y = 0 is een beetje moeilijker: je kan in dat geval de substitutie <math>x \mapsto x/y</math> gebruiken.)
# Zij <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> de <math>2\pi</math>-periodische functie die voldoet aan <math>f(x) = \frac{1}{\pi}\left(x^2 -x\right)</math> voor <math>0 \leq x < 2\pi</math>. Zij <math>\left(s_n\right)_n</math> de rij van partieelsommen, zoals gedefinieerd in Lemma 4.3. Convergeert de rij <math>\left(s_n(0)\right)_n</math>? Zo ja, bepaal de limiet. Bewijs je antwoord.
# Bepaal alle waarden van <math>\alpha > 0</math> en <math>\beta \in \mathbb{R}</math> zodanig dat de functie <math>f:\, ]0,+\infty[\, \to \mathbb{R}: x \mapsto \frac{\textrm{Bgtan }\left(x^\alpha\right)}{x^\beta}</math> integreerbaar is.
# Verifieer de stelling van Stokes voor het vectorveld <math>\mathbf{V}(x, y, z) = (0,x,0)</math> en het oppervlak <math>K = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 4,\ z \leq 1\right\}</math>.
==Ouder==
=== 2006-09-05 ===
# Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
## Bewijs het lemma op p 17: <math>||AB||_{som} \leq ||A||_{som}||B||_{som}</math>
## Onderaan p 18 concluderen we dat <math>\phi_y</math> een contractie is. Voor welke metriek is dit?
## Brengen volgende verzamelingen de Borel-<math>\sigma</math>-algebra op <math>\mathbb{R}^2</math> voort? Bewijs.
## Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
# Neem <math>D_{\alpha} = \{0 < y, 0 < x < y^{\alpha} < 1 \} \subset \mathbb{R}^2</math>. Neem <math>f = \frac{1}{(x+y)^2}</math>. Voor welke <math>\alpha</math> is <math>\int_{D_{\alpha}}{f d\lambda} < \infty</math>?
# Een stuk theorie, analoog aan de stelling van Dirichlet (maar met <math>C^1</math> functies) afleiden in enkele stapjes. De exacte vraag weet ik niet meer.
Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof hecht hieraan wel wat belang.
Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen.
Examen Analyse II 30 januari 2020
Vraag 2: alfa < 1 en beta < gamma+1
Vraag 4: D_{A,B} = \frac{1}{2\pi y} (e^{2\pi i B y} - e^{-2\pi i A y})
Academiejaar 2018-2019
Examen Analyse II 14 januari 2019
(vermoedelijke) oplossing (pas aan indien incorrect):
vraag 2: alpha > -1, beta > -2-2alpha
vraag 4: F_y: x\mapsto f(x,y) is uniform continu voor alle y.
(vermoedelijke) oplossingen:
vraag 3: I = 2^(1-alpha)/(1-alpha) - 2^(2-alpha)/(2)alpha) als alpha < 1, oneindig otherwise
vraag 4: alpha < 1, beta > 1- alpha/2
Examen Analyse II 3 februari 2017
(vermoedelijke) oplossingen:
vraag 2: K-loodrecht = {g in L²(|R) | voor alle gehele n is g bijna overal constant op [n, n+1)}. p_K(k)(x) = k(x) -integral(k(x), x in [n, n+1)}.
vraag 3: steeds in |R²\{(0,0)}, ook in (0,0) als alfa < 1/2
vraag 4: min{alfa, beta} < 1/2 < max{alfa, beta}
vraag 5: 2pi
Examen Analyse II 29 januari 2016 NB: in academiejaar 2024-2025 stond de stelling niet meer op pg 132, maar op pg 197; de vraag is echter nog steeds dezelfde.
Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
Bewijs het lemma op p 17:
Onderaan p 18 concluderen we dat een contractie is. Voor welke metriek is dit?
Brengen volgende verzamelingen de Borel--algebra op voort? Bewijs.
Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
Neem . Neem . Voor welke is ?
Zij een integreerbare functie en veronderstel dat eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat waarbij .
Toon nauwkeurig aan dat . Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie oneigenlijk integreerbaar is op met oneigenlijke integraal gelijk aan .
Toon aan dat voor alle , als . Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle : .
