Advanced topics in QM: verschil tussen versies

Huidige versie van 20 jan 2014 11:20

Vakinfo

Aan te vullen

Examenvragen

16 Juni 2010

Stel $| ψ ⟩$ een genormeerde vector in $ℂ^{d}$ . Voor welke $α, β \in ℂ$ is $ρ_{α β} = α | ψ ⟩ ⟨ ψ | + β 𝟏$ een dichtheidsmatrix?

Stel nu dat $ℂ^{d} = ℂ^{n_{1}} \otimes ℂ^{n_{2}}$ , bereken dan de gereduceerde dichtheidsmatrices voor de deelsystemen met behulp van de Schmidt-decompositie van $| ψ ⟩$ . Hebben deze dezelfde entropie?

gegeven de operator $Λ_{t} (ρ) = (\begin{matrix} a + c (1 - e^{- 2 t}) & b e^{- t} \\ b^{*} e^{- t} & c e^{- 2 t} \end{matrix})$ , waar $ρ = (\begin{matrix} a & b \\ b^{*} & c \end{matrix})$ een dichtheidsmatrix is. Toon aan dat de $Λ_{t}$ een semi-groep van compleet-positieve afbeeldingen vormt. Wat is de eindtoestand voor een willekeurige begintoestand. Wat is de 'rate of convergence'?
Toon aan met een voorbeeld dat $S (ρ_{1}) < S (ρ_{12})$ niet meer algemeen geldt voor kwantumsystemen.

Bewijs met behulp van sterke subadditiviteit dat $| S (ρ_{1}) - S (ρ_{2}) | < S (ρ_{12})$ . Hint: Purifeer (of hoe zegt ge da int nederlands) $ρ_{12}$ naar een 3-level-systeem.

Juni 2010

Het onderscheid tussen extreme toestanden en op de rand. Illustreer

dat met een vb van een d-niveau quantum syteem.

Een matrix $(\begin{matrix} A & X \\ X^{*} & 1 \end{matrix})$ , met A, B, X

d*dmatrices. Toon aan dat de matrix positief is asa $A \geq B^{*} B$ .Veronderstel nu $Λ$ een CP afbeelding die de eenheid bewaart. Toon dan aan dat de matrix $(\begin{matrix} Λ (A) & Λ (X) \\ Λ (X^{*}) & 1 \end{matrix})$ positief is en concludeer $Λ (X^{*} X) \geq Λ (X) Λ (X^{*})$ . (de ongelijkheid staat hier misschien verkeerd... dat zie je wel als je t uitrekent).

Stel $ρ$ en $σ$ d.m.; toon dan aan dat het tensorproduct ook een

dichtheidsmatrix is.

Bekijk lineaire entropie gedefinieerd als $S_{l i n} = - T r (l o g ρ^{2})$ . Welke

waarden kan dit aannemen. (Vergelijk met Von-Neumann). En bereken de lineaire entropie voor het tensorproduct.

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
 [[Categorie: mf]]
-=Advanced topics in Quantum Mechanics=
 ==Vakinfo==
 ''Aan te vullen''
 ==Examenvragen==
+====16 Juni 2010====
+* Stel <math>|\psi \rangle</math> een genormeerde vector in <math>\mathbb{C}^d</math>. Voor welke <math>\alpha,\beta\in \mathbb{C} </math> is <math>\rho_{\alpha\beta}=\alpha |\psi\rangle\langle\psi | + \beta\mathbf{1}</math> een dichtheidsmatrix?
+Stel nu dat <math>\mathbb{C}^d = \mathbb{C}^{n_1}\otimes\mathbb{C}^{n_2}</math>, bereken dan de gereduceerde dichtheidsmatrices voor de deelsystemen met behulp van de Schmidt-decompositie van <math>|\psi\rangle</math>. Hebben deze dezelfde entropie?
+* gegeven de operator <math>\Lambda_t(\rho)=\begin{pmatrix} a+c(1-e^{-2t})&be^{-t}\\b^*e^{-t}&ce^{-2t}\end{pmatrix}</math>, waar <math>\rho=\begin{pmatrix} a&b\\b^*&c\end{pmatrix}</math> een dichtheidsmatrix is. Toon aan dat de<math>\Lambda_t</math> een semi-groep van compleet-positieve afbeeldingen vormt. Wat is de eindtoestand voor een willekeurige begintoestand. Wat is de 'rate of convergence'?
+* Toon aan met een voorbeeld dat <math>S(\rho_{1})<S(\rho_{12})</math> niet meer algemeen geldt voor kwantumsystemen.
+Bewijs met behulp van sterke subadditiviteit dat <math>|S(\rho_1)-S(\rho_2)|<S(\rho_{12})</math>. Hint: Purifeer (of hoe zegt ge da int nederlands) <math>\rho_{12}</math> naar een 3-level-systeem.
 ====Juni 2010====
 * Het onderscheid tussen extreme toestanden en op de rand. Illustreer
 dat met een vb van een d-niveau quantum syteem.
-* Een matrix <math>\begin{pmatrix} A&X\\X*&1\end{pmatrix}</math>, met A, B, X
+* Een matrix <math>\begin{pmatrix} A&X\\X^*&1\end{pmatrix}</math>, met A, B, X
 d*dmatrices.
-Toon aan dat de matrix positief is asa <math>A\geq B*B</math>.
+Toon aan dat de matrix positief is asa <math>A\geq B^*B</math>.Veronderstel nu <math>\Lambda</math> een CP afbeelding die de eenheid bewaart. Toon dan aan dat de matrix <math>\begin{pmatrix}\Lambda(A)& \Lambda(X)\\\Lambda(X^*)&1\end{pmatrix}</math> positief is en concludeer <math>\Lambda(X^*X)\geq \Lambda(X)\Lambda(X^*)</math>. (de ongelijkheid staat hier misschien verkeerd... dat zie  je wel als je t uitrekent).
- Veronderstel nu <math>\Lambda</math> een CP afbeelding die de eenheid bewaart. Toon
+*Stel <math>\rho</math> en <math>\sigma</math> d.m.; toon dan aan dat het tensorproduct ook een
-dan aan dat
-de matrix <math>\begin{pmatrix}\Lambda(A)& \Lambda(X)\\\Lambda(X*)&1\end{pmatrix}</math> positief is en
-concludeer <math>\Lambda(X^*X)\geq \Lambda(X)\Lambda(X*)</math>. (de ongelijkheid
-staat hier misschien verkeerd... dat zie  je wel als je t uitrekent).
-*Stel <math>\rho</math> en <math>\sigma<\math> d.m.; toon dan aan dat het tensorproduct ook een
 dichtheidsmatrix is.
-* Bekijk lineaire entropie gedefinieerd als S_lin=-Tr(log\rho^2). Welke
+* Bekijk lineaire entropie gedefinieerd als <math>S_{lin}=-Tr(log\rho^2)</math>. Welke
 waarden kan dit aannemen. (Vergelijk met Von-Neumann). En bereken de
 lineaire entropie voor het tensorproduct.

Advanced topics in QM: verschil tussen versies

Huidige versie van 20 jan 2014 11:20

Inhoud

Vakinfo

Examenvragen

16 Juni 2010

Juni 2010

Navigatiemenu

Advanced topics in QM: verschil tussen versies

Huidige versie van 20 jan 2014 11:20

Vakinfo

Examenvragen

16 Juni 2010

Juni 2010

Navigatiemenu

Zoeken