Statistical Inference and Data Analysis

Statistical Inference and Data Analysis wordt gegeven sinds 2011-2012. De evaluatie bestaat uit een aantal taken en een examen dat gedeeltelijk gesloten en gedeeltelijk open boek is (met een verdelingstabel zoals van kansrekenen die je altijd mag gebruiken). Zo goed als alles gebeurt in het Engels.

Vanaf academiejaar 2022-2023 wordt dit vak gegeven door Stefan Van Aelst. 6 van de 20 punten staan op twee taken die doorheen het semester moeten gemaakt worden. De andere 14 punten kunnen verdiend worden op het examen in januari. Het examen is volledig gesloten boek, er mag wel een formularium opgesteld door de prof gebruikt worden.

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Examenvragen

Academic year 2023-2024

Exam January 2024

Academic year 2022-2023

Exam January 2023

Exam Januray 2023 (R output included)

Academic year 2020-2021

Exam January 2021

Academic year 2019-2020

Exam June 2020

Exam January 2020

Academic year 2017-2018

Exam January 2018

Academic year 2016 - 2017

The exam exist of a closed book part (theory questions) and an open book part (exercises). You get 4 hours in total for both parts. After maximum 2 hours you have to hand in your closed book exam and you get the open book exam to start. It is recommended to hand in your closed part much earlier though.

Open book part January 2017

Examen 16 januari 2014, namiddag

Theorie

1. 1. Geef de definitie van een minimax estimator.
   2. Bespreek de optimale test for the null-hypothesis $H_0:\theta ={\theta }_0$, $H_1:\theta ={\theta }_1$.
2. Geef de newton-rapson methode voor een numerieke benadering van de schatter $\theta$.
3. Iets over de Wilcoxon signed-rank test.

Oefeningen

1. Er is een dichtheidsfunctie gegeven $f(x;a,b)=ab{x}^{a-1}(1-x^a{)}^{b-1}$ (voor 0<x<1, en 0 elders) met a gekend en b onbekend. Een uitdrukking voor de maximum likelihood estimator en een vergelijking voor het m-de moment was ook gegeven.
   1. Toon aan dat de statistiek $-\ln (1-x^a)$ exponentieel verdeeld is met parameter b.
   2. Bepaal het exacte $100*(1-\alpha )$%-confidence interval voor b.
   3. Bepaal de uniform most powerfull test voor een gegeven null-hypothese.
   4. Bepaal met de method of moments een schatter voor b.
2. Derive the Ridge estimator (similar with the least square estimator). Bereken de bias en variance. Vergelijk met de least square estimator. (de vergelijkingen voor de ridge estimator waren gegeven.)

Examen 23 januari 2012, namiddag

Theorie

1. De inequality of Cramér-Rao is gegeven, samen met Assumptions 3.1.
   1. Bewijs in het geval $d=1$.
   2. Waar wordt dit toegepast?
2. Twee modellen voor lineaire regressie (bv. in verschillende streken): $\mathrm{E}Y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ en $\mathrm{E}Y={\gamma }_0+{\gamma }_1{x}_1+{\gamma }_2{x}_2$. Een onderzoeker vermoedt dat alle parameters gelijk zijn behalve de intercepten. Introduceer gepaste notaties om het probleem te beschrijven. Welke test zou je uitvoeren om het probleem op te lossen? Welke veronderstellingen worden er gemaakt?

Mondeling

1. Stel dat we asymptotisch normale schatter hebben voor een parameter. We zijn niet meer geïnteresseerd in de parameter zelf, maar in een transformatie. Onder welke voorwaarde kunnen we dan welk resultaat hebben? Wat is de sleutel tot het bewijs?
2. We hebben een maximum likelihood estimator voor een meerdimensionale parameter. Hoe krijgen we een benaderende betrouwbaarheidsrechthoek?
3. Een regressiemodel waarbij $x_1$, $x_2$, $x_1^2$, $x_2^2$ en $x_1{x}_2$ voorkomen. Hoe vinden we de kleinstekwadratenschattingen voor de parameters?

Oefeningen

1. Veranderlijke $X$ met verdelingsfunctie met parameters $\alpha ,\beta >0$: $\mathrm{P}(X⩽x)={\left(\frac{x}{\beta }\right)}^{\alpha }\text{ voor }0<x<\beta$ (als ik me goed herinner).
   1. Geef een tweedimensionale sufficient statistiek voor $(\alpha ,\beta )$.
   2. Is $\max (X_1,\dots ,X_n)$ zwak consistent voor $\beta$?
   3. Veronderstel $\alpha >0$ gegeven. Is $\max (X_1,\dots ,X_n)$onvertekend voor $\beta$? Kan je nog een andere onvertekende schatter vinden? Welke zou je verkiezen?
2. Veranderlijke $X$ met dichtheidsfunctie met parameter $\theta >0$: $f(x)=\theta x^{\theta -1}\text{ voor }0<x<1$ (als ik me goed herinner).
   1. Zoek de maximum likelihood estimator voor $\theta$.
   2. Geef een 95%-betrouwbaarheidsinterval. (Hint: $-\sum _{i=1}^n\ln X_i\sim \mathrm{\Gamma }(n;\frac{1}{\theta })$.)
   3. Hypothesetest ${\mathrm{H}}_0:\theta =1\text{ vs. }{\mathrm{H}}_1:\theta =2$. Geef de most powerful test van size $\alpha$ als we maar over één variabele $X_1$ beschikken.
   4. Wat is de power van deze test?

Mogelijk nuttige documenten

Een algemener bewijs van de stelling van Cramér-Rao dat ook alle speciale gevallen incorporeert, en een bewijz van Rao-Blackwell met minder bomen en meer bos: Kleine toevoeging aan Statistical Inference