Getaltheorie

Getaltheorie (prof. Jan Denef, 3BW/MW)

Examen van 24 juni 2008

1. Theorie:
   1. Onderaan blz 61 van de cursus staat "N(s) is een factor van N(p)=p^2 dus N(s)=p". Leg dit uit.
   2. In eig 6.3.3. staat: "Z_p is gesloten in Q_p". Leg dit uit. Is de verzameling $\{n^2\mid n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$ gesloten in Q_p ?
2. Zij $f(x)$ een veelterm in $\mathbb{\mathbb{Z}}[x]$. We noemen een priemgetal p een priemdeler van $f(x)$ indien er een $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ bestaat zodat p een deler is van f(n).
   1. Bepaal de priemdelers van $x^2+1$ en $x^2-2$.
   2. Toon aan dat een priemdeler van $x^4-x^2+1$ congruent is met 1 modulo 12.
3. Vind alle oplossingen van $x^4+2x+36\equiv 0\text{ mod }875$.
4. Zij p>5 een priemgetal. Toon aan dat 2 of 5 of 10 een kwadratisch residu is modulo p. Toon aan dat er twee opeenvolgende natuurlijke getallen (niet nul modulo p) zijn die kwadratisch residu modulo p zijn.
5. Gegeven was een bewijs van een zekere eigenschap. Je moest dat bewijs verder uitwerken.
6. Vind alle gehele oplossingen van de vergelijking $x^2+y^2=z^3$ waarbij x en y relatief priem zijn en waarbij x en y verschillende pariteit hebben. Dat wil zeggen: x is even en y is oneven of vice-versa.

Examen van 23 juni 2008

1. Theorie:
   1. Bewijs de laatste congruentie in lemma 4.6.3
   2. (Eigenschap 6.3.4) Bewijs dat $\sum _{i=r}^{\mathrm{\infty }}{c}_i$ met $c_i\in {\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$, $r\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ convergeert naar een element in ${\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$ indien $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_i=0$.
2. Neem $p\equiv 3(\mathrm{mod}8)$ met $p$ priem en $q=(p-1)/2$ ook priem. Is q altijd een kwadratisch residu modulo p?
3. Beschouw $F_n=2^{(}{2}^n)+1$, het n-de Fermat-getal. Beschouw een $k>2$, onderling ondeelbaar met $F_n$. Bewijs:$k^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}{F}_n)⟺F_n$ is priem en $\left(\frac{k}{F_n}\right)=-1$
4. Toon aan dat het Hasse-principe van toepassing is op de volgende vergelijking: $x^2+2x{z}^2+z^4+3y^2=q$ met q priem waarbij de oplossingen $(x,y,z)$ in $\mathbb{\mathbb{Q}}$ moeten liggen. Bereken vervolgens de q waarvoor de bovenstaande vergelijking een oplossing heeft.
5. Zoek de gehele oplossingen van $x^2-11y^2=5$

Examen van 9 juni 2008

1. (Mondeling te verdedigen.)
   1. In het bewijs van stelling 3.1.1: leg uit waarom R(t) coefficiënten in $\mathbb{\mathbb{Z}}$ heeft.
   2. In het bewijs van stelling 6.1.3, de vierde regel van het bewijs: leg uit waarom ${\phi }_2(a_2)=a_1$.
2. (Mondeling te verdedigen.) Toon aan dat 5 nooit een kwadratisch residu is modulo een priemgetal p van de vorm $p=6^n+1$ (waarbij $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ en $n\ge 1$).
3. Zij $n:=3^{100}+2$. Stel dat je weet dat $x^2-53$ geen wortels heeft in ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n$. Toon aan dat n niet priem is.
4. Zij P een verzameling van priemgetallen en $\pi :P\to \mathbb{\mathbb{Z}}$ een willekeurige afbeelding. Dan bestaat er een rij $(a_n{)}_n$ in $\mathbb{\mathbb{Z}}$ zodat $\mathrm{\forall }p\in P:(a_n{)}_n\text{ convergeert naar }\pi (p)\text{ in }{\mathbf{𝐙}}_p$. Toon dit aan. Eventueel kan je eerst met P eindig proberen.
5. Zij R de ring van de algebraische gehelen van $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{2/3}\right)$. Bepaal de verzameling van alle eenheden van R. Wees nauwkeurig in je bewijs.

Examen van 29 juni 2007

1. Werk de volgende citaten uit de cursustekst heel nauwkeurig uit:
   1. Algoritme 4.1.7 op pagina 15: De kans dat $\frac{c+b}{c-b}$ geen kwadraat is in ${(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})}^{*}$ is minstens 1/2, aangezien de afbeelding $c\mapsto \frac{c+b}{c-b}$ een bijectie is van ${(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})}^{*}\setminus \{-b,b\}$ naar ${(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})}^{*}\setminus \{-1,1\}$.
   2. Eigenschap 6.3.5 op pagina 38: Dit is onafhankelijk van de keuze van $n$ en $m$ omdat de te bewijzen beweringen gelden voor de $p$-adische gehelen in $\mathbb{\mathbb{N}}$.
   3. Eigenschap 8.5.1 op pagina 64: Omdat $\mathbb{\mathbb{Z}}+\sqrt{-2}\mathbb{\mathbb{Z}}$ een uniek factorizatiedomein is, en omdat $y+\sqrt{-2}$ en $y-\sqrt{-2}$ onderling ondeelbaar zijn, volgt uit $(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2})=x^3$ dat $y+\sqrt{-2}$ het product is van de derde macht van een element van $\mathbb{\mathbb{Z}}+\sqrt{-2}\mathbb{\mathbb{Z}}$ en een eenheid in $\mathbb{\mathbb{Z}}+\sqrt{-2}\mathbb{\mathbb{Z}}$.
2. Noteer met $V$ de verzameling van alle natuurlijke getallen die op "2007" eindigen in hun decimale voorstelling. Bepaal alle priemgetallen $p$ zodat de verzameling $V$ dicht is in ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$, de ring van de $p$-adische gehelen met de $p$-adische metriek.
3. Zij $p$ een willekeurig priemgetal. We noemen $X\in {\mathbf{𝐙}}_p$ de Teichmüller lift van $x\in {\mathbb{𝔽}}_p$ (het veld met $p$ elementen) indien het beeld van $X$ in ${\mathbb{𝔽}}_p$ gelijk is aan $x$ en $X^p=X$.
   1. Bewijs dat elke $a\in {\mathbb{𝔽}}_p$ een unieke Teichmüller lift $A$ heeft.
   2. Stel $p=5$ en $a=\overline{2}$. Bepaal de waarde van $A$ modulo 125.
4. Deze vraag bestaat uit drie deeltjes:
   1. Zij $p$ priem. Bewijs dat $\left(\frac{3}{p}\right)=(-1{)}^{\left[\frac{p}{3}\right]-\left[\frac{p}{6}\right]}$, met $[x]$ het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan $x$.
   2. Zij $m\ne 0$ een geheel getal. Bewijs dat $12m^2-1$ een priemdeler $p$ heeft met $p\equiv 11(\mathrm{mod}12)$.
   3. Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen $p$ bestaan met $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$. (Hint: wanneer is $\left(\frac{-3}{p}\right)=1$?)
5. Beschouw voor een gegeven priemgetal $p$ de vergelijking $x^2-xy+2y^2=p$.
   1. Bewijs dat de vergelijking een gehele oplossing $(x,y)$ heeft als $p\equiv 1(\mathrm{mod}7)$.
   2. Bepaal alle gehele oplossingen $(x,y)$ voor $p=29$.

Examen van 23 juni 2006 (NIET MEER RELEVANT)

1. gegeven een getal $p=3mod4$, $q=2p+1$, $q$ is priem.
   Bewijs: $q|2^p-1$
2. Beschrijf met één congruentierelatie alle priemgetallen p, die in decimale schrijfwijze niet eindigen op 1 of 6, en waarvoor ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ volgende eigenschappen heeft:
   • Er bestaat een getal a dat a+1 als multiplicatieve inverse heeft.
   • Er bestaan getallen a en b die zowel elkaars multiplicatieve als additieve inverse zijn.
   • Er bestaat een getal $x\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^x$ waarvan de derde macht gelijk is aan het drievoud.
3. Neem E het ontbindingsveld van de veelterm $x^3+5\in \mathbb{\mathbb{Q}}[x]$
   Bewijs: $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{5})$
   Met welke gekende groep is de Galois-groep van E over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ isomorf?
   Beschrijf ten slotte alle tussenvelden tussen E en $\mathbb{\mathbb{Q}}$ met behulp van een primitief element.
4. Gegeven: E is een eindige normale velduitbreiding van F.
   $V_E\subset E[x]$ is een vectorruimte over E, die gesloten is onder de actie van Gal(E,F), d.w.z.
   $f^{\sigma }\in V_E\mathrm{\forall }f\in V_E,\sigma \in Gal(E,F)$
   Stel $V_F=V_E\cap F[x]$.
   Bewijs dat een F-basis van $V_F$ ook een E-basis is van $V_E$