|
|
| Regel 1: |
Regel 1: |
| Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof hecht hieraan wel wat belang.
| | sIe8fF <a href="http:// dvcwqvswfudf.com/"> dvcwqvswfudf</a>, [url=http:// ceeeaodniail.com/] ceeeaodniail[/url], [link=http:// cdpfunndmbrn.com/] cdpfunndmbrn[/link], http:// wnjxrfoqvksz.com/ |
| Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen.
| |
| | |
| = Examens =
| |
| | |
| ==2009 - 2010 ==
| |
| | |
| De volgende drie files bevatten de originele opgaven van de januarizittijd 2010.
| |
| | |
| Examen van 28 januari (Kortrijk): [[Media:AnalyseII-28-jan-2010.pdf]]
| |
| | |
| Examen van 27 januari: [[Media:AnalyseII-27-jan-2010.pdf]]
| |
| | |
| Examen van 11 januari: [[Media:AnalyseII-11-jan-2010.pdf]]
| |
| | |
| Examen van 11 januari 2010, weliswaar zonder het mooie schetsje:
| |
| | |
| [[Media:analyseII_11januari2010.pdf|11 januari 2010]]
| |
| | |
| ==Academiejaar 2008-2009==
| |
| | |
| ===2009-26-01===
| |
| | |
| Originele opgave:
| |
| | |
| [[Media:Leuven-jan2009-reeks2.pdf]]
| |
| | |
| Met dank aan prof Vaes die sneller op de wiki was dan ik!
| |
| | |
| ===2009-16-01===
| |
| | |
| Originele opgave:
| |
| | |
| [[Media:Leuven-16jan-2009.pdf]]
| |
| | |
| Niet-officiële (maar wel juiste) pdf:
| |
| | |
| [[Media:ExamenAnalyseII2009.pdf]]
| |
| | |
| | |
| ==Academiejaar 2007-2008==
| |
| ===2008-09-02===
| |
| | |
| Originele opgave:
| |
| | |
| [[Media:Leuven-sep2008.pdf]]
| |
| | |
| # Beschouw de Hilbertruimte <math>L^2(\mathbb{R},\lambda) </math> uitgerust met de norm <math>||.||_2</math>. Definieer <math> \omega : L^2(\mathbb{R},)\lambda) \rightarrow \mathbb{C} : \omega(f) = \int_{[0,1]} xf(x)d\lambda(x) </math>. Toon aan dat <math>\omega</math> een goed gedefinieerde en continue lineaire afbeelding van <math>L^2(\mathbb{R},\lambda)</math> naar <math>\mathbb{C} </math> is. Bereken de norm <math>||\omega||</math>.
| |
| # Zij <math> f: [0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty) </math> een positief meetbare functie. Toon heel nauwkeurig aan dat <math> \int_{\mathbb{R}^2} f(x^2+y^2)d\lambda(x,y) = \pi \int_{[0,+\infty)}fd\lambda.</math>
| |
| # Zij <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} </math> een integreerbare functie en veronderstel dat f eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat <math> \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{itx}dt = \int_{\mathbb{R}} f(x+y)D_A(y)dy </math> waarbij <math>D_A(y)= \frac{sin(Ay)}{\pi y}</math>.
| |
| ## Toon nauwkeurig aan dat <math>lim_{A \rightarrow +\infty} \int_{[-1,1]} D_A(y)dy = 1 </math>. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie <math> x \mapsto \frac{sin x}{x} </math> oneigenlijk integreerbaar is op <math>\mathbb{R}</math> met oneigenlijke integraal gelijk aan <math>\pi</math>.
| |
| ## Toon aan dat voor alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math> \int_{\mathbb{R}} f(x+y)D_A(y)dy-f(x)\int_{[-1,1]}D_A(y)dy \rightarrow 0 </math> als <math> A \rightarrow +\infty</math>. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle <math> x \in \mathbb{R}</math>, <math> lim_{A \rightarrow + \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{itx}dt = f(x)</math>.
| |
| # In Definitie 1.11 definieerden we de norm <math>||A||</math> van een n bij n matrix <math> A \in M_n(\mathbb{R})</math>. Bewijs dat <math> ||A||=sup\{ |(A(x)).y| | x,y \in \mathbb{R}^n, ||x|| \leq 1, ||y|| \leq 1\}</math>. Hierbij noteerden we met . het gebruikelijke scalair product op <math>\mathbb{R}^n</math>.
| |
| # Verifieer de Stelling van Stokes voor het vectorveld <math> \mathbf{V}(x,y,z)=(y,0,0) </math> en het oppervlak O gegeven door <math> O = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2 \leq 1, z= e^x \}</math>.
| |
| | |
| ===2008-06-23===
| |
| | |
| Originele opgave:
| |
| | |
| [[Media:Leuven-juni-2008-reeks2.pdf]]
| |
| | |
| # Zij <math>X</math> een Banachruimte met norm <math>x \mapsto ||x||</math>. Zij <math>Y \subset X</math> een deelruimte. Toon aan dat <math>Y</math> uitgerust met de norm <math>y \mapsto ||y||</math> een Banachruimte is als en slechts als <math>Y</math> gesloten is in <math>X</math>.
| |
| # Zij <math>f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> integreerbaar op <math>[0,2\pi]</math> en <math>2\pi</math>-periodisch. Voor welke <math>2\pi</math>-periodische functie <math>h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> integreerbaar op <math>[0,2\pi]</math>, geldt dat <math>\hat{h}(k) = \hat{f}(k)\hat{g}(k)</math> voor alle <math>k \in \mathbb{Z}</math>? Bewijs je antwoord.
| |
| # Zij <math>f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> totaal afleidbaar en definieer <math>g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: g(x,y) = ||f(x,y)||^2</math>, <math>h : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: h(x,y) = ||f(x,y)||</math>. (a) Is <math>g</math> altijd totaal afleidbaar? Zo ja, bewijs en geef een formule voor <math>(dg)(x,y)</math>. Zo nee, geef een tegenvoorbeeld. (b) Zelfde vraag voor <math>h</math>.
| |
| # Noteer met <math>g_A : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> de functie gedefinieerd in Voorbeeld 4.29. Zij <math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> een integreerbare, begrensde, gelijkmatige continue functie. toon de volgende uitspraak aan: als <math>A \rightarrow \infty</math>, dan zal <math> \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} {f}(y)g_A(y) e^{ixy}dy \rightarrow f(x)</math> uniform in <math>x \in \mathbb{R}</math>. Hint: Dit is het analogon van de Stelling van Fejér voor Fouriertransformaties.
| |
| # Verifieer de Stelling van Stokes voor het oppervlak <math>\mathcal{O}</math> gegeven door <math>\mathcal{O} = \{(x,y,z) | 0 \leq z \leq 1, x^2 + 4y^2 = z^4\}</math> en het vectorveld <math>V(x,y,z) = (0,x,0)</math>.
| |
| | |
| 4HEfCG <a href="http:// nyflaufixzcb.com/"> nyflaufixzcb</a>, [url=http:// ozakizhyqozf.com/] ozakizhyqozf[/url], [link=http:// xexyvszsyjbr.com/] xexyvszsyjbr[/link], http:// ghysoaqjrcfu.com/ | |
| | |
| === 2008-01-21===
| |
| | |
| De opgave van 21 januari 2008 in Kortrijk:
| |
| | |
| [[Media:examen-jan2008-kortrijk.pdf|Analyse II examen 2008-01-21]]
| |
| | |
| | |
| oRX8gF <a href="http://ycxnbufdchte.com/">ycxnbufdchte</a>, [url=http://hntmxplfutdl.com/]hntmxplfutdl[/url], [link=http://xcjcuihzmvui.com/]xcjcuihzmvui[/link], http://wfnwkveldkuz.com/
| |
| | |
| ==Ouder==
| |
| | |
| === 2006-09-05 ===
| |
| | |
| # Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
| |
| ## Bewijs het lemma op p 17: <math>||AB||_{som} \leq ||A||_{som}||B||_{som}</math>
| |
| ## Onderaan p 18 concluderen we dat <math>\phi_y</math> een contractie is. Voor welke metriek is dit?
| |
| ## Brengen volgende verzamelingen de Borel-<math>\sigma</math>-algebra op <math>\mathbb{R}^2</math> voort? Bewijs.
| |
| ### <math>\{[a,b] \times \mathbb{R} | a,b \in \mathbb{R}\}</math>
| |
| ### <math>\{[a,b] \times \mathbb{R} | a,b \in \mathbb{R}\} \cup \{\mathbb{R} \times [c,d] | c,d \in \mathbb{R}\}</math>
| |
| ### <math>\{[a,-a] \times [c,d] | a,c,d \in \mathbb{R}\}</math>
| |
| ## Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
| |
| # Neem <math>D_{\alpha} = \{0 < y, 0 < x < y^{\alpha} < 1 \} \subset \mathbb{R}^2</math>. Neem <math>f = \frac{1}{(x+y)^2}</math>. Voor welke <math>\alpha</math> is <math>\int_{D_{\alpha}}{f d\lambda} < \infty</math>?
| |
| # Een stuk theorie, analoog aan de stelling van Dirichlet (maar met <math>C^1</math> functies) afleiden in enkele stapjes. De exacte vraag weet ik niet meer.
| |
| # Stel <math>V = (3x,2z,1)</math>, <math>K= \{(x,y,z) \in \mathbb{R} : x^2+y^2 \leq z^2/4\}</math>
| |
| ## Bewijs dat <math>\int_{\delta K}{\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}} = 3</math>.
| |
| ## Verifieer de divergentiestelling voor <math>\mathbf{V}</math> en <math>K</math>.
| |
| | |
| == Oudere examens ==
| |
| [[Media:Oude analyse2 examens.rar|oudere examens]]
| |
| [[Categorie:2bw]][[Categorie:3bf]][[Categorie:2bf]]
| |