Toepassingen van algebra in de informatica

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Algemene informatie

Het examen is een volledig schriftelijk oefeningen-examen. Je mag zo veel meenemen als je wilt: cursus, rekenmachine, opgeloste oefenzittingen, opgeloste voorbeeldexamens, ...

Daar je alles mag meenemen en het examen een vast stramien volgt is het examen niet zo heel moeilijk. Wel is 4 uur heel krap om de 4 vragen volledig op te lossen. Werk dus heel snel en let op voor modulo-rekenfouten!

Structuur van het examen

1. Zoek de inverse van een gegeven veelterm
2. Lineaire blokcodes
3. De grootte BCH vraag
4. Convolutionele codes

Academiejaar 2008-2009

Vanaf het academiejaar 2008-2009 wordt dit opleidingsonderdeel gedoceerd door professor Van Barel in plaats van professor Haegemans.

Examen juni 2012

Exact dezelfde soort vragen als de voorbije 3 jaar:

Vraag 1

Een inverse zoeken in $Z_9[x]$

Vraag 2

H is gegeven

• Bepaal G
• codeer een gegeven i
• decodeer een gegeven v en wat is de bijhorende i

Vraag 3

Een BCH code gegeven

• Wat is de dimensie? Wat is de dimensie bij l=8? Zou een keuze l=1 goed zijn?
• Vul de tabel met de machten van $\alpha$ verder aan.
• Vul de minimaalveeltermen voor gegeven nevenklassen aan + bepaal de generatorveelterm
• Vul de syndromen aan.
• Vul de tabel voor het BM-algoritme aan
• Voor d=0,1,2: wat is ${\varphi }^{(d)}$ en ${\mu }_d$
• Bepaal de plaats en de waarde van fouten

Vraag 4

Een blokdiagram van convolutionele codes gegeven (1 invoerbit, 2 registers, 3 uitvoerbits)

• Bereken de generatorveeltermen
• Geef het toestandsdiagramma
• Bereken $d_{min}$ en $d_{free}$
• Decodeer een gegeven woord.

Examen juni 2011

Vraag 1

bewijs dat $1+4x+4x^2$ inverteerbaar is in $Z_{1}6[x]$

Vraag 2

(8,6) Hamming code GF(7)

H= [10123456 , 01111111] (dus een matrix met 2 rijen en 8 kolommen)

• G?
• codeer i=400306
• decodeer v=60342545 wat is i?

Vraag 3

BCH n=13 GF(3) t=3 l=1

• wat is de dimensie van de code? en de dimensie bij l=2,l=8? is l=1 goed gekozen?
• Vul de tabel van alfa aan
• Vul minimaalveeltermen aan
• Vul Si aan
• BM
• phi(d)(x) en mu(d) voor d=0,1,2
• bepaal de plaats en waarde van de fouten

Vraag 4

Je krijgt het blokdiagram van een convolutionele code en je moet daaruit

• de generatorveeltermen berekenen
• een toestandsdiagramma van de code geven
• de afstanden $d_{min}$ en $d_{free}$ berekenen
• een bepaalde ontvangen woord decoderen met het Viterbi-algoritme

Examen 19 juni 2009

Vraag 1

Bewijs dat $1-2x-2x^2$ inverteerbaar is in $Z_4[x]$

Vraag 2

Vraag over lineaire code. Je krijgt de pariteitstestmatrix H en je moet

1. de generatormatrix G geven
2. een gegeven informatiewoord coderen
3. een gegeven ontvangen woord (dus met fout) decoderen

Vraag 3

De grote Berlekamp-Massey-en-Forney-vraag. Deze vraag staat ook op de meeste punten.

Vraag 4

Je krijgt het blokdiagram van een convolutionele code en je moet daaruit

1. de generatorveeltermen berekenen
2. een toestandsdiagramma van de code geven
3. de afstanden $d_{min}$ en $d_{free}$ berekenen
4. een bepaalde ontvangen woord decoderen met het Viterbi-algoritme

Examen 25 augustus 2008

Vraag 1

Gegeven volgende simpele code: Een infowoord van 3 tekens (modulo 3), abc wordt omgezet in een codewoord als volgt: abcde, met abc gelijk aan abc uit het informatiewoord, en de zodat d+a+c=0 en e zodat a+e=0. Wat is de lengte van de code, hoeveel fouten kan ze verbeteren en hoeveel fouten kan ze vinden? Dimensie van de code? Is het een lineaire code? Is het een cyclische code? Stel een generatormatrix op voor deze code.

Vraag 2

BCH code in GF(8) n= 15 en moet 2 fouten kunnen verbeteren (t=2) Bepaal hoeveel verschillende codes je hiervoor kan construeren, en wat is de optimale code, en hoeveel mogelijke optimale codes zijn er?
Tip: je mag l vrij kiezen, varieer deze van 0 tot 14, bepaal de cyclotomische nevenklassen en hun minimaalveeltermen. Je moet werken met een GF(8^5) code over GF(8) (want 8^5(mod 15)=1) Dit wil ook zeggen dat er maximaal 5 elementen in een cyclotomische nevenklasse zitten. Schrijf dan voor elke waarde van l de combinatie van minimaalveeltermen uit die de generatorveelterm g(x) vormen (2t opeenvolgende machten van beta). Schrap dan alle identieke g(x). Wat je overhoudt is het aantal (en welke) mogelijke generatorveeltermen en dus verschillende codes. Voor het bepalen van de efficiëntie van de code, zeg je dat de code een (n,k)-code is, met k=n-(graad(g(x))

Vraag 3

BCH code over GF(19), n=18 (dus je hebt een GF(19) over GF(19) code (k=1)) en t=2 Bepaal g(x), je mag zelf l kiezen. (omdat k=1 heeft elke cyclot. nevenklasse juist 1 element en is de graad van g(x) altijd even groot, ongeacht de keuze van je l) Bepaal de dimensie van de code. Codeer een zelfgekozen infowoord met d>=2 (doe dit ook zo simpel mogelijk, kies dus 2 tekens verschillend van 0, dat spaart veel rekenwerk uit) Zet in het bekomen codewoord 2 zelfgekozen fouten, decodeer dit woord terug met BM en Forney. (Voor het bepalen van de syndromen mag je gebruik maken van het feit dat je de foutlocaties al kent).

Vraag 4

Convolutionele codes. Gegeven een encoder diagramma (met 1 schuifregister, 1 input bit en 2 output bits), bepaal aan de hand daarvan de generatorveeltermen. Teken nu een state diagram van de encoder. Bepaal de min distance en de free distance. Encodeer een gegeven infowoord. Decodeer een zelfgekozen codewoord.

Examen 11 juni 2008

Dit is het examen van 11 juni 08. Ik heb een poging gedaan tot het uitgebreid uitwerken van het examen. Dit kan misschien handig zijn als extra voorbeeld. Ik kan niet garanderen dat alles juist is, maar ik ben er vrij zeker van dat het redelijk juist is. Bekijk ook deze alternatieve oplossing van het examen, mooi uitgewerkt in LaTeX.

Zeker aan te raden om dit examen eens proberen te maken! Als je dit kan, kan je het examen. (het examen ziet er altijd ongeveer hetzelfde uit)

Examen januari 2007

Vraag 1

Je kreeg een lineaire blokcode met enkele deelvragen:

1. is deze lineair?
2. wat is zijn dimensie?
3. bereken de G en H matrix
4. codeer een eigen gekozen informatiewoord
5. bereken cH^T met c het codewoord uit (d)

Vraag 2

Een code verbeteren met behulp van PGZ algoritme en het informatiewoord bepalen.

Vraag 3

Grote oefening op BCH codes.

Examen september 2005

Vraag 1

Een 2-foutenverbeterende BCH-code over GF(7) van lengte 8 en l = 6. Kies een van de volgende primitieve veeltermen x + 2 X² + 3x + 5 X³ + 3x + 2

1. bepaal de generatorveeltermen, zoals je weet zijn dat er 6 (invoer i=1,2, uitvoer j=1,2,3)
2. wat is de dimensie ?
3. decodeer met PGZ : 2 6 4 6 5 1 3 1 als je weet dat S_1 = 0, S_2 = 4 en S_4 = 4

Het zal niet nuttig zijn alle machten van alpha op te schrijven.

Vraag 2

Grote BCH code vraag met deelvraagjes zoals voorbeeld examen, zoals bepaal R, zoek fouten, decodeer, ...

BCH n=13, q=3, t=3, l=7

Vraag 3

opgave

1. bepaal de generatorveeltermen
2. teken het toestandsdiagramma
3. codeer 10 11 01 00 11

Mijn oplossingen

1.b. | dim = 5, (8,3)-code
1.c. | 0 6 4 4 5 1 3 1
2. | /
3.c. | 111 100 010 001 101