Getaltheorie

Getaltheorie wordt gegeven door prof. Jan Denef aan 3BW/MW

Examens

Academiejaar 2011-2012

11 juni 2012

Er was 4 uur voorzien voor het examen, maar doordat het mondeling deel uitliep, is het 5 uur geworden.

1. (3/20, met mondelinge verdediging) Verklaar de eerste zin in het bewijs van stelling 8.3.5.
2. (5/20, met mondelinge verdediging)
   1. Zij $n,k\ge 1$ en $f\in \mathbb{\mathbb{Z}}[x_1,\dots ,x_n]$. Stel dat $f(a_1,\dots ,a_n)=0$ voor $a_1,\dots ,a_n\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ en dat er een $i\in \{1,\dots ,n\}$ is waarvoor $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n)\ne 0$. Bepaal het aantal $n$-tallen $({\tilde{a}}_1,\dots ,{\tilde{a}}_n)\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_{p^k}^n$ waarvoor $f({\tilde{a}}_1,\dots ,{\tilde{a}}_n)=0$ en ${\tilde{a}}_i\equiv a_{i}modp$ voor $i=1,\dots ,n$. (Later toegevoegd: $p$ is priem en de gelijkheden/ongelijkheid zijn te zien als congruenties.)
   2. Bespreek het aantal oplossingen van de vergelijking $y^2=x^3+x^2+5$ in ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{p^k}$, in functie van $k$.
3. (5/20, was bedoeld voor mondeling, maar niet genoeg tijd)
   1. Zij $n>1$ een oneven geheel getal dat geen volkomen kwadraat is. Toon aan dat er dan altijd een $m\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ bestaat zo dat $m$ onderling ondeelbaar is met $n$ en $\left(\frac{m}{n}\right)=-1$.
   2. Gebruik (i) om volgende bewering te bewijzen. Als $a$ een geheel getal is dat een kwadratisch residu is modulo elk priemgetal $p$, dan is $a$ een volkomen kwadraat. Hierbij mag je deze beroemde stelling van Dirichlet gebruiken (zonder bewijs): als $m$ en $n$ onderling ondeelbare gehele getallen zijn, dat bestaat er een priemgetal $p$ zodanig dat $p\equiv mmodn$. (Een volkomen kwadraat is een kwadraat van een natuurlijk getal.)
4. (7/20) Geef telkens aan of de vergelijking in de opgegeven ring $R$: * geen oplossing heeft * een strikt positief, maar eindig aantal oplossingen heeft * oneindig veel oplossingen heeft. Bewijs ook je antwoord.
   1. $2(x+y{)}^2-3z^2-1=0$ (onbekenden$x$, $y$ en $z$ in de ring $R=\mathbb{\mathbb{Q}}$)
   2. $x^2+y^2=6+4xy$ (onbekenden $x$ en $y$ in de ring $R=\mathbb{\mathbb{Z}}$)
   3. $x^{p-1}+p\left({\sum }_{i=0}^{p-2}{x}^i\right)=0$ (onbekende $x$ in de ring $R={\mathbf{𝐙}}_p$)
   4. $x^2=y^2+36$ (onbekenden $x$ en $y$ in de ring $R=\mathbb{\mathbb{Z}}+i\mathbb{\mathbb{Z}}$ der Gaussische gehelen)

Academiejaar 2010-2011

Juni 2011

Getaltheorie juni 2011

Academiejaar 2009-2010

7 juni 2010 (NM)

Examen 7 juni 2010

6 september 2010

Examen 6 september 2010

Academiejaar 2008-2009

Juni 2009

Dit jaar waren er 6 vragen. De eerste drie waren mondeling te verdedigen, de andere 3 schriftelijk. Na ongeveer een uur moest de eerste afgegeven worden. Indien hij daar vragen bij had riep hij je bij hem en mocht je, indien je er al mee klaar was, de tweede en derde vraag ook meenemen. In principe hadden we 4u en 45 minuten de tijd maar hier zijn nog 45 extra minuten bijgekomen

1. (5pt) Theorie:
   • Onderaan blz 61 van de cursus staat "$\text{N}(s)$ is een factor van $\text{N}(p)=p^2$ dus $\text{N}(s)$=p". Leg dit uit.
   • In eig 6.3.3. staat dat ${\mathbf{𝐙}}_p$ gesloten is in ${\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$. Bewijs dit.
   • Is $\{n^2|n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$ gesloten in ${\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$?
2. (3pt) Zij $f(x)$ een veelterm in $\mathbb{\mathbb{Z}}[x]$. We noemen een priemgetal p een priemdeler van $f(x)$ indien er een $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ bestaat zodat p een deler is van f(n).
   • Bepaal de priemdelers van $x^2+1$ en $x^2-2$.
   • Toon aan dat elke priemdeler van $x^4-x^2+1$ congruent is met 1 modulo 12.
3. (3pt) Vind alle oplossingen van $x^4+2x+36\equiv 0\text{ mod }875$.
4. Zij p>5 een priemgetal.
   • Bewijs dat 2, 5 of 10 een kwadratisch residu is modulo p
   • Gebruik dit om aan te tonen dat er steeds twee opeenvolgende natuurlijke getallen (niet deelbaar door p) kwadratisch residu zijn modulo p
5. Er was een bewijs gegeven van een stelling (er zijn oneindig veel p zodat a een kwadratisch niet-residu is modulo p) met bijna elke zin schuingedrukt, je moet de schuingedrukte zinnen verklaren.
6. Vind alle gehele oplossingen van de vergelijking $x^2+y^2=z^3$ waarbij x en y relatief priem zijn en waarbij x en y verschillende pariteit hebben. Dat wil zeggen: x is even en y is oneven of vice-versa. Geef een gesloten formule voor de oplossingen.

Examen van 23 juni 2008

1. Theorie:
   1. Bewijs de laatste congruentie in lemma 4.6.3
   2. (Eigenschap 6.3.4) Bewijs dat $\sum _{i=r}^{\mathrm{\infty }}{c}_i$ met $c_i\in {\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$, $r\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ convergeert naar een element in ${\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$ indien $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_i=0$.
2. Neem $p\equiv 3(\mathrm{mod}8)$ met $p$ priem en $q=(p-1)/2$ ook priem. Is q altijd een kwadratisch residu modulo p?
3. Beschouw $F_n=2^{(}{2}^n)+1$, het n-de Fermat-getal. Beschouw een $k>2$, onderling ondeelbaar met $F_n$. Bewijs:$k^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}{F}_n)⟺F_n$ is priem en $\left(\frac{k}{F_n}\right)=-1$
4. Toon aan dat het Hasse-principe van toepassing is op de volgende vergelijking: $x^2+2x{z}^2+z^4+3y^2=q$ met q priem waarbij de oplossingen $(x,y,z)$ in $\mathbb{\mathbb{Q}}$ moeten liggen. Bereken vervolgens de q waarvoor de bovenstaande vergelijking een oplossing heeft.
5. Zoek de gehele oplossingen van $x^2-11y^2=5$

Examen van 9 juni 2008

1. (Mondeling te verdedigen.)
   1. In het bewijs van stelling 3.1.1: leg uit waarom R(t) coefficiënten in $\mathbb{\mathbb{Z}}$ heeft.
   2. In het bewijs van stelling 6.1.3, de vierde regel van het bewijs: leg uit waarom ${\phi }_2(a_2)=a_1$.
2. (Mondeling te verdedigen.) Toon aan dat 5 nooit een kwadratisch residu is modulo een priemgetal p van de vorm $p=6^n+1$ (waarbij $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ en $n\ge 1$).
3. Zij $n:=3^{100}+2$. Stel dat je weet dat $x^2-53$ geen wortels heeft in ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n$. Toon aan dat n niet priem is.
4. Zij P een verzameling van priemgetallen en $\pi :P\to \mathbb{\mathbb{Z}}$ een willekeurige afbeelding. Dan bestaat er een rij $(a_n{)}_n$ in $\mathbb{\mathbb{Z}}$ zodat $\mathrm{\forall }p\in P:(a_n{)}_n\text{ convergeert naar }\pi (p)\text{ in }{\mathbf{𝐙}}_p$. Toon dit aan. Eventueel kan je eerst met P eindig proberen.
5. Zij R de ring van de algebraische gehelen van $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{2/3}\right)$. Bepaal de verzameling van alle eenheden van R. Wees nauwkeurig in je bewijs.

Examen van 29 juni 2007

1. Werk de volgende citaten uit de cursustekst heel nauwkeurig uit:
   1. Algoritme 4.1.7 op pagina 15: De kans dat $\frac{c+b}{c-b}$ geen kwadraat is in ${(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})}^{*}$ is minstens 1/2, aangezien de afbeelding $c\mapsto \frac{c+b}{c-b}$ een bijectie is van ${(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})}^{*}\setminus \{-b,b\}$ naar ${(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})}^{*}\setminus \{-1,1\}$.
   2. Eigenschap 6.3.5 op pagina 38: Dit is onafhankelijk van de keuze van $n$ en $m$ omdat de te bewijzen beweringen gelden voor de $p$-adische gehelen in $\mathbb{\mathbb{N}}$.
   3. Eigenschap 8.5.1 op pagina 64: Omdat $\mathbb{\mathbb{Z}}+\sqrt{-2}\mathbb{\mathbb{Z}}$ een uniek factorizatiedomein is, en omdat $y+\sqrt{-2}$ en $y-\sqrt{-2}$ onderling ondeelbaar zijn, volgt uit $(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2})=x^3$ dat $y+\sqrt{-2}$ het product is van de derde macht van een element van $\mathbb{\mathbb{Z}}+\sqrt{-2}\mathbb{\mathbb{Z}}$ en een eenheid in $\mathbb{\mathbb{Z}}+\sqrt{-2}\mathbb{\mathbb{Z}}$.
2. Noteer met $V$ de verzameling van alle natuurlijke getallen die op "2007" eindigen in hun decimale voorstelling. Bepaal alle priemgetallen $p$ zodat de verzameling $V$ dicht is in ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$, de ring van de $p$-adische gehelen met de $p$-adische metriek.
3. Zij $p$ een willekeurig priemgetal. We noemen $X\in {\mathbf{𝐙}}_p$ de Teichmüller lift van $x\in {\mathbb{𝔽}}_p$ (het veld met $p$ elementen) indien het beeld van $X$ in ${\mathbb{𝔽}}_p$ gelijk is aan $x$ en $X^p=X$.
   1. Bewijs dat elke $a\in {\mathbb{𝔽}}_p$ een unieke Teichmüller lift $A$ heeft.
   2. Stel $p=5$ en $a=\overline{2}$. Bepaal de waarde van $A$ modulo 125.
4. Deze vraag bestaat uit drie deeltjes:
   1. Zij $p$ priem. Bewijs dat $\left(\frac{3}{p}\right)=(-1{)}^{\left[\frac{p}{3}\right]-\left[\frac{p}{6}\right]}$, met $[x]$ het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan $x$.
   2. Zij $m\ne 0$ een geheel getal. Bewijs dat $12m^2-1$ een priemdeler $p$ heeft met $p\equiv 11(\mathrm{mod}12)$.
   3. Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen $p$ bestaan met $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$. (Hint: wanneer is $\left(\frac{-3}{p}\right)=1$?)
5. Beschouw voor een gegeven priemgetal $p$ de vergelijking $x^2-xy+2y^2=p$.
   1. Bewijs dat de vergelijking een gehele oplossing $(x,y)$ heeft als $p\equiv 1(\mathrm{mod}7)$.
   2. Bepaal alle gehele oplossingen $(x,y)$ voor $p=29$.

Examen van 23 juni 2006 (NIET MEER RELEVANT)

1. gegeven een getal $p=3mod4$, $q=2p+1$, $q$ is priem.
   Bewijs: $q|2^p-1$
2. Beschrijf met één congruentierelatie alle priemgetallen p, die in decimale schrijfwijze niet eindigen op 1 of 6, en waarvoor ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ volgende eigenschappen heeft:
   • Er bestaat een getal a dat a+1 als multiplicatieve inverse heeft.
   • Er bestaan getallen a en b die zowel elkaars multiplicatieve als additieve inverse zijn.
   • Er bestaat een getal $x\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^x$ waarvan de derde macht gelijk is aan het drievoud.
3. Neem E het ontbindingsveld van de veelterm $x^3+5\in \mathbb{\mathbb{Q}}[x]$
   Bewijs: $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{5})$
   Met welke gekende groep is de Galois-groep van E over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ isomorf?
   Beschrijf ten slotte alle tussenvelden tussen E en $\mathbb{\mathbb{Q}}$ met behulp van een primitief element.
4. Gegeven: E is een eindige normale velduitbreiding van F.
   $V_E\subset E[x]$ is een vectorruimte over E, die gesloten is onder de actie van Gal(E,F), d.w.z.
   $f^{\sigma }\in V_E\mathrm{\forall }f\in V_E,\sigma \in Gal(E,F)$
   Stel $V_F=V_E\cap F[x]$.
   Bewijs dat een F-basis van $V_F$ ook een E-basis is van $V_E$