Complexe Analyse

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Examens - Professor Kuijlaars

Complexe Analyse gegeven door professor Kuijlaars. Het examen is volledig schriftelijk en open boek, in die zin dat de cursusnota's gebruikt mochten worden, eventueel aangevuld met eigen nota's uit te les, maar geen materiaal uit de oefenzittingen. Tijdens het examen kwam professor Kuijlaars ook bij iedereen langs om te controleren of het meegebrachte materiaal voldeed aan de eisen.

Er zijn ook een aantal voorbeeldexamenvragen ter beschikking gesteld.

Academiejaar 2012-2013

21 juni 2013 (NM)

Examen 21 juni 2013 (NM)

26 augustus 2013 (NM)

Examen 26 augustus 2013 (NM)

Academiejaar 2011-2012

22 juni 2012 (NM)

Examen 22 juni 2012 (NM) (opgaven en uitwerkingen)

27 augustus 2012 (NM)

Examen 27 augustus 2012 (NM)

Academiejaar 2010-2011

24 juni 2011

Examen 24 juni 2011 (NM) en de uitwerkingen.

Academiejaar 2006-2007

23 juni 2007

Bij de examens in juni 2007 was er ook een mondeling gedeelte. De opgave werd ergens in het midden van het semester gegeven en moest worden voorbereid voor het examen. Gevraagd was om precies uit te zoeken hoe men in het boek van Ash & Novinger van de definitie van een analystische functie tot het resultaat komt dat de afgeleide van een analytische ook analytisch is. Dan moest je in de bibliotheek een willekeurig boek van complexe analyse nemen en kijken hoe ze het daar deden. Daarvan moest een samenvatting gemaakt worden, en dit moet je dan uiteindelijk op het examen kort uitleggen aan de prof (zonder notas of samenvatting!) Prof Kuijlaars stelt dan een aantal analysevragen van het genre 'hoe ziet die kromme eruit' of 'wat voor soort verzameling mag dat zijn'.

En ook deze vragen zijn slechts een weerspiegeling van mijn herinneringen. Elke vraag telt alleszins voor 4 punten; het mondelinge gedeelte ook.

1. Geldt de middelwaardestelling ook in het complexe vlak? Dus zij $f$ een analytische functie en zij $a\ne b$. Bestaat er dan een $c\in [a,b]$ zodat $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
2. Beschouw de integraal $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^a}{1+x^3}dx$.
   • Voor welke waarden van $a$ bestaat deze integraal?
   • Bereken de integraal voor de waarden van $a$ die je in (a) gevonden hebt.
3. Zij $f$ analytisch op ${\mathbb{ℂ}}^{+}$ en continu op ${\mathbb{ℂ}}^{+}\cup ]-1,1[$.
   • Welke van de volgende functies op ${\mathbb{ℂ}}^{-}$ zijn analytisch? Verklaar je antwoord. $g_1(z)=f(\bar{z})g_2(z)=\overline{f(\stackrel{‾}{z})}{g}_3(z)=\overline{f(z)}$
   • Neem aan dat $f$ reële waarden aanneemt op $]-1,1[$. Toon aan dat $f$ een analytische voortzetting heeft tot $\mathbb{ℂ}\setminus (]-\mathrm{\infty },1]\cup [1,+\mathrm{\infty }[)$.
4. Bonusvraag: Neem aan dat $f$ reële waarden aanneemt op $]-1,1[$. Neem verder aan dat $\mathrm{I}\mathrm{m}(f(z))>0$ voor $z\in {\mathbb{ℂ}}^{+}$. Toon aan dat $f$ beperkt tot $]-1,1[$ stikt stijgend is.
5. • Toon aan dat de afbeelding $z\mapsto z+\frac{1}{z}$ injectief is op $\mathrm{\Omega }=\{z\in \mathbb{ℂ}:|z|<0,\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Im</mrow>}(z)>0\}$ en geeft het beeldgebied.
   • Vind een Möbiustransformatie van $D(0,1)\setminus [\frac{1}{2},1[$ naar $D(0,1)\setminus [0,1[.$
   • Vind een conforme afbeelding van $D(0,1)\setminus [\frac{1}{2},1[$ naar $D(0,1)$.

18 juni 2007

Ook deze vragen komen enkel uit mijn herinnering. Excuseer mij als er fouten of onnauwkeurigheden in staan. Examen 18 juni 2007

Academiejaar lang geleden

17 januarie

1. Zij $f$ een analytische functie op $D(0,1)$, met $0<r<1$. Onderstel dat $f$ injectief is op de annulus $A_r=\{z|r<|z|<1\}$. Bewijs dat $f$ analytisch is op heel de eenheidsschijf $D(0,1)$. [hint: denk aan het argumentprincipe.]
2. Geldt de stelling van Rolle ook in het complexe vlak? Met andere woorden, zij $G\subset \mathbb{ℂ}$ een gebied, en $f$ een analytische functie op $G$. Onderstel dat $z_0,z_1\in G$, met $[z_0,z_1]\subset G$, en $f(z_0)=f(z_1)$. Dan is er een punt $z\in [z_0,z_1]$ met $f^{\prime }(z)=0$.
3. Zij $f$ een rationale functie op $\mathbb{ℂ}$, dus $f=p/q$, met $p$ en $q$ complexe veeltermen. Definieer het residu van $f$ in oneindig als volgt: stel dat $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ de laurentreeks voor $f$ die convergeert voor $|z|>R$, voor zekere $R>0$. Dan is $\text{Res}(f,\mathrm{\infty })=-a_{-1}$. Bewijs dat de som van de residuen in de polen van $f$ (met oneindig inbegrepen) gelijk is aan 0.
4. Bereken de hoofdwaarde-integraal $\text{PV}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (kx)-\cos (lx)}{x^2}dx$.

Examens - Professor Van Daele

Academiejaar 2009-2010

18 juni 2010

Examen 18 juni 2010 (opgaven en verslag)

Academiejaar 2008-2009

22 juni 2009

Examen 22 juni 2009 (opgaven en verslag)

20 augustus 2010

Examen 20 augustus 2009 (opgaven en verslag)

Academiejaar 2007-2008

27 juni 2008

Examen 27 juni 2010 (opgaven en verslag)

1 september 2008

Examen 1 september 2008 (opgaven en verslag)