Lineaire algebra: verschil tussen versies
Eerst zit 2003-04, wiskunde/natuurkunde |
Eerst zit 2003-04, informatica |
||
Regel 41: | Regel 41: | ||
=== Vraag 7 === | === Vraag 7 === | ||
Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij <math>v \in V</math> . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord. | Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij <math>v \in V</math> . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord. | ||
== Eerst zit 2003-04, informatica == | |||
=== Vraag 1 === | |||
Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en <math>\mathcal{A} : V \to W</math> een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling: | |||
<math>\dim(V) = \dim(\ker \mathcal{A}) + dim(?)</math> | |||
=== Vraag 2 === | |||
Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: <math>W^{\bot} = \{v \in V\ |\ v \bot w \mbox{ voor alle } w \in W \}</math>. | |||
# Bewijs dat <math>W^{\bot}</math> een deelruimte is van V . | |||
# Leg uit wat dit betekent en bewijs: <math>V = W \oplus W^{\bot}</math>. Hint: Begin met een orthonormale basis van W te kiezen. | |||
=== Vraag 3 === | |||
Zij <math>U =\ < (-1, 2, 3), (2, 16, 22), (8, 14, 18), (2, 1, 1) ></math> een lineaire deelruimte van <math>\mathbb{R}^3</math>. | |||
# Geef een basis van U. | |||
# Wat is de dimensie van U? | |||
# Bestaat er een basis van <math>\mathbb{R}^3</math> die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis. | |||
=== Vraag 4 === | |||
Zij <math>\mathcal{A} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3</math> een lineaire afbeelding waarvoor <math>\mathcal{A} \circ \mathcal{A} =0</math> en <math>\mathcal{A} \neq 0</math>. | |||
# Zij <math>v \in \mathbb{R}^3</math>. Toon aan dat <math>\mathcal{A}(v) \in \ker(\mathcal{A})</math>. | |||
# Toon aan dat <math>\ker(\mathcal{A})</math> tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1. | |||
# Zij <math>v \in \mathbb{R}^3 \setminus \ker \mathcal{A}</math> en zij <math>\{\mathcal{A}(v), w\}</math> een basis van <math>\ker(\mathcal{A})</math>. Bewijs dat <math>\mathcal{U} = \{v, \mathcal{A}(v), w\}</math> een basis is van <math>\mathbb{R}^3</math>. | |||
# Bepaal de matrix van <math>\mathcal{A}</math> ten opzichte van <math>\mathcal{U}</math>. | |||
=== Vraag 5 === | |||
Gegeven zijn <math>\mathcal{B} = \{X^2, X, X^2 + X + 1\}</math> en <math>\mathcal{B}' = \{X^2, 1, X\}</math>. | |||
Zij <math>\mathcal{A} : \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \to \mathbb{R}[X]_{\leq 2}</math> een lineaire afbeelding met | |||
<math>\mathcal{M}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} (A) = \left( \begin{matrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{matrix} \right) </math> waarbij m een reële parameter is. | |||
# Ga na dat <math>\mathcal{B}</math> een basis is van <math>\mathbb{R}[X]_{\leq 2}</math>. | |||
# Wat is <math>\mathcal{A}(X^2 + X + 1)</math>? | |||
# Voor welke getallen m is <math>\mathcal{A}</math> surjectief? | |||
# Als m = −2, zoek dan de veeltermen <math>p \in \mathbb{R} [X]_{\leq 2}</math> zodat <math>A ( p ) = - X^{2} + 2 X - 1</math>. | |||
=== Vraag 6 === | |||
Zij <math>A = \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}</math>. | |||
# Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat <math>P^{-1} AP = D</math> | |||
# Bepaal <math>A^{2004}</math>. | |||
=== Vraag 7 === | |||
Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij <math>v \in V</math> . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord. | |||
[[Categorie:1bw]] | |||
[[Categorie:1bf]] | |||
[[Categorie:1bi]] |
Versie van 6 jun 2006 11:12
Eerst zit 2003-04, wiskunde/natuurkunde
Bron: Toledo
Vraag 1
Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en een lineaire transformatie. Zij A de matrix van ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs: is orthogonaal .
Vraag 2
Zij V een vectorruimte en zij , en deelruimten van V.
- Wat betekent ?
- Zij V eindigdimensionaal. Bewijs: Als , dan is .
Vraag 3
Zij een lineaire afbeelding waarvoor en .
- Zij . Toon aan dat .
- Toon aan dat tweedimensionaal is.
- Zij en zij een basis van . Bewijs dat een basis is van .
- Bepaal de matrix van ten opzichte van .
Vraag 4
Zij een basis van een vectorruimte V en zij een basis van de duale ruimte V*.
- Toon aan dat een lineaire afbeelding is.
- Toon aan dat bovendien een isomorï¬Âsme van vectorruimten is.
Vraag 5
Gegeven zijn en . Zij een lineaire afbeelding met
waarbij m een reële parameter is.
- Ga na dat een basis is van .
- Wat is ?
- Voor welke getallen m is surjectief?
- Als m = −2, zoek dan de veeltermen zodat .
Vraag 6
Zij . Bepaal .
Vraag 7
Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.
Eerst zit 2003-04, informatica
Vraag 1
Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:
Vraag 2
Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: .
- Bewijs dat een deelruimte is van V .
- Leg uit wat dit betekent en bewijs: . Hint: Begin met een orthonormale basis van W te kiezen.
Vraag 3
Zij een lineaire deelruimte van .
- Geef een basis van U.
- Wat is de dimensie van U?
- Bestaat er een basis van die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.
Vraag 4
Zij een lineaire afbeelding waarvoor en .
- Zij . Toon aan dat .
- Toon aan dat tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
- Zij en zij een basis van . Bewijs dat een basis is van .
- Bepaal de matrix van ten opzichte van .
Vraag 5
Gegeven zijn en . Zij een lineaire afbeelding met
waarbij m een reële parameter is.
- Ga na dat een basis is van .
- Wat is ?
- Voor welke getallen m is surjectief?
- Als m = −2, zoek dan de veeltermen zodat .
Vraag 6
Zij .
- Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat
- Bepaal .
Vraag 7
Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.