Lineaire algebra: verschil tussen versies

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Stijn (overleg | bijdragen)
Eerst zit 2003-04, wiskunde/natuurkunde
 
Stijn (overleg | bijdragen)
Eerst zit 2003-04, informatica
Regel 41: Regel 41:
=== Vraag 7 ===
=== Vraag 7 ===
Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij <math>v \in V</math> . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.
Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij <math>v \in V</math> . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.
== Eerst zit 2003-04, informatica ==
=== Vraag 1 ===
Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en <math>\mathcal{A} : V \to W</math> een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:
<math>\dim(V) = \dim(\ker \mathcal{A}) + dim(?)</math>
=== Vraag 2 ===
Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: <math>W^{\bot} = \{v \in V\ |\ v \bot w \mbox{ voor alle } w \in W \}</math>.
# Bewijs dat <math>W^{\bot}</math> een deelruimte is van V .
# Leg uit wat dit betekent en bewijs: <math>V = W \oplus W^{\bot}</math>. Hint: Begin met een orthonormale basis van W te kiezen.
=== Vraag 3 ===
Zij <math>U =\ < (-1, 2, 3), (2, 16, 22), (8, 14, 18), (2, 1, 1) ></math> een lineaire deelruimte van <math>\mathbb{R}^3</math>.
# Geef een basis van U.
# Wat is de dimensie van U?
# Bestaat er een basis van <math>\mathbb{R}^3</math> die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.
=== Vraag 4 ===
Zij <math>\mathcal{A} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3</math> een lineaire afbeelding waarvoor <math>\mathcal{A} \circ \mathcal{A} =0</math> en <math>\mathcal{A} \neq 0</math>.
# Zij <math>v \in \mathbb{R}^3</math>. Toon aan dat <math>\mathcal{A}(v) \in \ker(\mathcal{A})</math>.
# Toon aan dat <math>\ker(\mathcal{A})</math> tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
# Zij <math>v \in \mathbb{R}^3 \setminus \ker \mathcal{A}</math> en zij <math>\{\mathcal{A}(v), w\}</math> een basis van <math>\ker(\mathcal{A})</math>. Bewijs dat <math>\mathcal{U} = \{v, \mathcal{A}(v), w\}</math> een basis is van <math>\mathbb{R}^3</math>.
# Bepaal de matrix van <math>\mathcal{A}</math> ten opzichte van <math>\mathcal{U}</math>.
=== Vraag 5 ===
Gegeven zijn <math>\mathcal{B} = \{X^2, X, X^2 + X + 1\}</math> en <math>\mathcal{B}' = \{X^2, 1, X\}</math>.
Zij <math>\mathcal{A} : \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \to \mathbb{R}[X]_{\leq 2}</math> een lineaire afbeelding met
<math>\mathcal{M}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} (A) = \left( \begin{matrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{matrix} \right) </math> waarbij m een reële parameter is.
# Ga na dat <math>\mathcal{B}</math> een basis is van <math>\mathbb{R}[X]_{\leq 2}</math>.
# Wat is <math>\mathcal{A}(X^2 + X + 1)</math>?
# Voor welke getallen m is <math>\mathcal{A}</math> surjectief?
# Als m = −2, zoek dan de veeltermen <math>p \in \mathbb{R} [X]_{\leq 2}</math> zodat <math>A ( p ) = - X^{2} + 2 X - 1</math>.
=== Vraag 6 ===
Zij <math>A = \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}</math>.
# Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat <math>P^{-1} AP = D</math>
# Bepaal <math>A^{2004}</math>.
=== Vraag 7 ===
Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij <math>v \in V</math> . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.
[[Categorie:1bw]]
[[Categorie:1bf]]
[[Categorie:1bi]]

Versie van 6 jun 2006 11:12

Eerst zit 2003-04, wiskunde/natuurkunde

Bron: Toledo

Vraag 1

Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en 𝒜:VV een lineaire transformatie. Zij A de matrix van 𝒜 ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs: 𝒜 is orthogonaal AT=A1.

Vraag 2

Zij V een vectorruimte en zij U1, U2 en U3 deelruimten van V.

  1. Wat betekent V=U1U2U3 ?
  2. Zij V eindigdimensionaal. Bewijs: Als V=U1U2U3, dan is dim(V)=i=13dim(Ui).

Vraag 3

Zij 𝒜:33 een lineaire afbeelding waarvoor 𝒜𝒜=0 en 𝒜0.

  1. Zij v3. Toon aan dat 𝒜(v)ker(𝒜).
  2. Toon aan dat ker(𝒜) tweedimensionaal is.
  3. Zij v3ker𝒜 en zij {𝒜(v),w} een basis van ker(𝒜). Bewijs dat 𝒰={v,𝒜(v),w} een basis is van 3.
  4. Bepaal de matrix van 𝒜 ten opzichte van 𝒰.

Vraag 4

Zij {e1,,en} een basis van een vectorruimte V en zij {φ1,,φn} een basis van de duale ruimte V*.

  1. Toon aan dat 𝒜:VV:vφ1(v)e1++φn(v)en een lineaire afbeelding is.
  2. Toon aan dat 𝒜 bovendien een isomorfisme van vectorruimten is.

Vraag 5

Gegeven zijn ={X2,X,X2+X+1} en ={X2,1,X}. Zij 𝒜:[X]2[X]2 een lineaire afbeelding met

,(A)=(m111m111m) waarbij m een reële parameter is.

  1. Ga na dat een basis is van [X]2.
  2. Wat is 𝒜(X2+X+1)?
  3. Voor welke getallen m is 𝒜 surjectief?
  4. Als m = −2, zoek dan de veeltermen p[X]2 zodat A(p)=X2+2X1.

Vraag 6

Zij A=(5364)2×2. Bepaal A2004.

Vraag 7

Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij vV . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.


Eerst zit 2003-04, informatica

Vraag 1

Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en 𝒜:VW een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:

dim(V)=dim(ker𝒜)+dim(?)

Vraag 2

Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: W={vV | vw voor alle wW}.

  1. Bewijs dat W een deelruimte is van V .
  2. Leg uit wat dit betekent en bewijs: V=WW. Hint: Begin met een orthonormale basis van W te kiezen.

Vraag 3

Zij U= <(1,2,3),(2,16,22),(8,14,18),(2,1,1)> een lineaire deelruimte van 3.

  1. Geef een basis van U.
  2. Wat is de dimensie van U?
  3. Bestaat er een basis van 3 die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.

Vraag 4

Zij 𝒜:33 een lineaire afbeelding waarvoor 𝒜𝒜=0 en 𝒜0.

  1. Zij v3. Toon aan dat 𝒜(v)ker(𝒜).
  2. Toon aan dat ker(𝒜) tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
  3. Zij v3ker𝒜 en zij {𝒜(v),w} een basis van ker(𝒜). Bewijs dat 𝒰={v,𝒜(v),w} een basis is van 3.
  4. Bepaal de matrix van 𝒜 ten opzichte van 𝒰.

Vraag 5

Gegeven zijn ={X2,X,X2+X+1} en ={X2,1,X}. Zij 𝒜:[X]2[X]2 een lineaire afbeelding met

,(A)=(m111m111m) waarbij m een reële parameter is.

  1. Ga na dat een basis is van [X]2.
  2. Wat is 𝒜(X2+X+1)?
  3. Voor welke getallen m is 𝒜 surjectief?
  4. Als m = −2, zoek dan de veeltermen p[X]2 zodat A(p)=X2+2X1.

Vraag 6

Zij A=(5364)2×2.

  1. Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat P1AP=D
  2. Bepaal A2004.

Vraag 7

Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij vV . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.