Algebra I

Eerste zit 2005-06, Wiskunde

Theorievragen

Theorievraag 1

Zij G een groep en zij N een normaaldeler van G. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen de normaaldelers van G die N omvatten en de normaaldelers van G/N. Je mag hierbij het enkel feit gebruiken dat het beeld en het inverse beeld van een deelgroep onder een groepsmorfisme weer een deelgroep is. Al de rest moet bewezen worden.

Theorievraag 2

Veronderstel dat R een hoofdideaaldomein is, en zij r een irreducibel element in R. Bewijs dat (r) dan een maximaal ideaal van R is. Geef ook een voorbeeld van een ring R, commutatief en met eenheidselement, en een irreducibel element r in R, zodat (r) geen maximaal ideaal van R is.

Theorievraag 3

Bewijs de stelling van Kronecker:

"Zij K een veld en zij f een niet-constante veelterm in K[X], dan heeft f een wortel in een velduitbreiding van K."

Snelheidsvragen

(Dit zijn de verraderlijke vraagjes die Veys op het mondeling examen stelt en die je *niet* mag voorbereiden, je krijgt er ongeveer 1 minuut tijd voor. Vaak zit er een addertje onder het gras. Wees dus niet te "snel".)

• Bestaat er een algebraïsch gesloten veld dat $\mathbb{ℂ}$ strikt omvat?
• Waar of fout? "Een groep is eindig als en slechts als alle elementen eindige orde hebben."

Oefeningen

Oefening 1

Zij G een groep met precies twee niet-triviale deelgroepen.

a) Bewijs dat G cyclisch is.

b) Bewijs dat de orde van G van de vorm p³ of pq is, voor zekere priemgetallen p en q.

Oefening 2

Met welke "bekende" ring is $\frac{{\mathbb{\mathbb{Z}}}_5[X,Y]}{(Y-X^2,XY+Y+2)}$ isomorf? Bewijs je antwoord.

Oefening 3

Zijn $F\subset E$ velden. De Galoisgroep Gal(E, F) van E en F wordt gedefinieerd als de groep van alle veldautomorfismen $\sigma :E\to E$ (met andere woorden, ringautomorfismen van E waarvoor geldt dat $\sigma (1)=1$) die voldoen aan $\sigma (f)=f$, voor alle f in F. (Hierbij is de groepsbewerking samenstelling van afbeeldingen.) Toon aan dat $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Gal</mrow>}(\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{2}),\mathbb{\mathbb{Q}})\cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$.

Oefening 4

a) Kies een voorstelling van ${\mathbb{𝔽}}_8$ als ${\mathbb{𝔽}}_2\left[X\right]/(f)$, met $f\in {\mathbb{𝔽}}_2[X]$ een irreducibele veelterm van graad 3. Bepaal een basis van ${\mathbb{𝔽}}_8$ als ${\mathbb{𝔽}}_2$-vectorruimte. Toon aan dat het Frobeniusmorfisme $\phi :{\mathbb{𝔽}}_8\to {\mathbb{𝔽}}_8:x\mapsto x^2$ een lineaire transformatie van ${\mathbb{𝔽}}_8$ is, bepaal de matrix van $\phi$ ten opzichte van de gekozen basis, en bepaal de minimale veelterm van $\phi$.

b) Zij p een priemgetal, en zij r een natuurlijk getal verschillend van 0. Laat zien dat het Frobenius-morfisme $\phi :{\mathbb{𝔽}}_{p^r}\to {\mathbb{𝔽}}_{p^r}:x\mapsto x^p$ een lineaire transformatie is van ${\mathbb{𝔽}}_{p^r}$ als vectorruimte over ${\mathbb{𝔽}}_p$. Zoek de minimale veelterm van $\phi$ en bewijs je vermoeden.

Eerste zit 2005-06, Fysica

Theorievragen

Theorievraag 1

Zij G een groep, zij K een deelgroep van G en zij N een normaaldeler van G. Bewijs: $KN=\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">grp</mrow>}(K\cup N)$.

Theorievraag 2

Zij $R,+,\cdot$ een ring. Bewijs dat de bewerking $*$ op R/N, gegeven door $(x+N)*(y+N)=x\cdot y+N$, goed gedefinieerd is als en slechts als N een ideaal is van R.

Theorievraag 3

Bewijs dat "algebraïsch zijn van velduitbreidingen" transitief is. Is "transcendent zijn" dat ook?

Snelheidsvraagje

Geef alle 2 x 2 - matrices over $\mathbb{ℂ}$ die hermitisch én unitair zijn.

Oefeningen

Oefening 1

a) Zij H een deelgroep van ${{𝒮}}_n$. Toon aan dat H een normaaldeler is als en slechts als voor elke $\sigma$ in H geldt dat alle elementen van ${{𝒮}}_n$ met dezelfde disjuncte cykel-schrijfwijze ook tot H behoren.

b) Bewijs nu dat ${{𝒮}}_4$ een unieke deelgroep van orde 12 heeft.

Oefening 2

Zij $R,+,\cdot$ een ring en definieer het centrum van R als $Z(R)=\{x\in R|\mathrm{\forall }a\in R:ax=xa\}$. We hebben in de oefenzittingen gezien dat Z(R) een deelring is van R.

a) Toon aan dat Z(R) geen ideaal van R moet zijn.

b) Het quotiënt R/Z(R) hoeft dus geen ringstructuur te hebben, maar in ieder geval wel een additieve groepsstructuur. Bewijs: als R/Z(R) een additieve cylische groep is, dan is R commutatief.

Oefening 3

Definieer ${{𝒩}}_r^p$ als het aantal monische irreducibele polynomen van graad r over ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$. Bewijs de volgende recursieformule: ${{𝒩}}_r^p=\frac{1}{R}(p^r-\sum _{d|r,d\ne r}d{{𝒩}}_d^p).$

Oefening 4

a) Zij $A:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$ een lineaire afbeelding met karakteristieke veelterm $f_A(X)=X^2+aX+b$, en stel dat $a^2<4b$. Toon aan dat er een basis van ${\mathbb{ℝ}}^2$ bestaat zodat de matrix van A ten opzichte van die basis van de volgende vorm is: $\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 1& -a\end{array}\right)$

b) Zij B de volgende 4 x 4 - matrix over de complexe getallen: $\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& -1\\ 0& 3& 0& 0\\ -3& 1& 1& -5\\ 1& -1& 0& 4\end{array}\right)$

Bepaal de Jordanvorm J van B en vind een matrix P zodat $P^{-1}BP=J$.