Meetkunde 1

Eerste zit 2004 - 2005, Versie 1

(Wiskunde, reeks 1)

Theorie

Theorievraag 1

Definieer "schroefbeweging" en "rotatie" in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.

Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.

Theorievraag 2

Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.

Oefeningen

Oefening 1

1. Gegeven zijn affiene deelruimten S = p + V en T = q + W van ${\mathbb{𝔸}}^n$, met $S\cap T=\mathrm{\varnothing }$. Toon aan dat de dimensie van de kleinste affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ die S en T omvat gelijk is aan dim(V + W) + 1
2. Beschouw in ${\mathbb{𝔸}}^5$ de vlakken gegeven door $x_2=0,x_4=0,x_5=1$ enerzijds en $x_1=0,x_4=1,x_5=0$ anderzijds. Bepaal de kleinste affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^5$ die deze vlakken omvat.

Oefening 2

Gegeven is de isometrie $F:{\mathbb{𝔼}}^2\to {\mathbb{𝔼}}^2:\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}-3/5& -4/5\\ -4/5& 3/5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.

1. Welk type isometrie uit de classificatie is F?
2. Beschrijf deze isometrie volledig: geef centrum en hoek voor een rotatie, spiegelas en translatiedeel in de richting van de as voor een schuifspiegeling.

Oefening 3

Bekijk de booglengtegeparametriseerde vlakke kromme $\beta (s)=(\underset{0}{\overset{s}{\int }}\cos (\ln t)dt,\underset{0}{\overset{s}{\int }}\sin (\ln t)dt).$

Verifieer dat de evoluut van deze kromme eveneens booglengtegeparametriseerd is.

Oefening 4

Zij $\beta :{\mathbb{ℝ}}_0^{+}\to {\mathbb{𝔼}}^3:s\mapsto \beta (s)$ een boogelengtegeparametriseerde kromme met ${\kappa }_{\beta }>0$ en definieer $\alpha (s)=\beta (s)-s{\beta }^{\prime }(s)$.

1. Verifieer dat $\alpha$ regulier is, maar niet noodzakelijk booglengtegeparametriseerd.
2. Stel dat $\alpha$ een vlakke kromme is. Bewijs dat $\beta$ een cilinderschroeflijn is.

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Euclidische meetkunde

• Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van ${\mathbb{𝔼}}^2$ of ${\mathbb{𝔼}}^3$ moet classificeren.
• Definieer rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en ${\mathbb{𝔼}}^3$.
• Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
• 1. Definieer schroefbeweging en rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
  2. Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
• Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^n\to {\mathbb{𝔼}}^n$ een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle $p,q\in {\mathbb{𝔼}}^n$.
• Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie $t_b$ zodat
  1. $F=t_b\circ G$
  2. $V(G)\ne \mathrm{\varnothing }$
  3. $G_{*}b=b$

Bovendien is dan ook $t_b\circ G=G\circ t_b$ en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van $\ker (F_{*}-I)$.

Krommen

• Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
• Bewijs dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
• 1. In ${\mathbb{𝔼}}^2$. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
  2. Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
• 1. Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
  2. Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
• 1. Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
  2. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
• Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
• Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.