Analyse I

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Eerste zit 2004-2005

Vraag 1

Zij (V,d) een metrische ruimte en A een deelverzameling van V. Bewijs dat het complement van de sluiting van A gelijk is aan het inwendige van het complement van A. (Cfr. opgave 3.16 in metrische ruimten.) Illustreer met een of enkele voorbeelden.

Vraag 2

Bespreek het verschil en verband tussen continuïteit en gelijkmatige continuïteit.

Vraag 3

Toon aan dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door $f(x)=\exp \left(\frac{-1}{x^2}\right)$ als $x\ne 0$ en f(0) = 0, continu differentieerbaar is tot de tweede orde. Deze functie is ook oneindig keer differentieerbaar. Dit moet je niet bewijzen, maar bespreek wel dit resultaat.

Vraag 4

Bespreek wat we juist bedoelen met de notatie $\frac{dx}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{d{x}_i}{dt}$

Vraag 5

Zoek de punten van de grafiek van $z=x^2-y^2+1$ die het dichtst bij de oorsprong liggen. (Cfr. opgave 5.4 uit Afgeleiden II.)

Vraag 6

Euh, wat was deze weer.

Vraag 7

In Definitie 4.11 van speciale functies definiëren we B als de integraal van een functie. Toon aan dat deze functie inderdaad integreerbaar is.

Eerste zit 2004-2005, reeks 1

Bron: gekregen bij tussentijdse toets 2005-06

Vraag 1

Beschouw propositie 4.24 uit 'Metrische Ruimten' (E is de unie van twee aan twee disjuncte samenhangende verzamelingen). Neem $E\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ met de gewone metriek. Veronderstel bovendien dat E open is. Bewijs dat dan ook alle samenhangende componenten van E open zijn. Aanwijzingen: 1. Is een open bol samenhangend in ${\mathbb{ℝ}}^n$?

Vraag 2

In Definitie 5.1 en Definitie 5.13 uit 'Metrische ruimten' geven we de definitie van continuïteit en van gelijkmatige continuïteit. Bespreek deze begrippen en vooral het verschil, de gelijkenissen en het verband tussen beide.

Vraag 3

Neem n = 1,2,3,... en definieer functies $h_n:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $h_n(x)=x^n$ indien x rationaal is en $h_n(x)=0$ indien x irrationaal is. Wat kan je dan allemaal vertellen over de continuïteit en de differentieerbaarheid van deze functies voor de verschillende waarden van n?

Vraag 4

We beschouwen de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ bepaald door de vergelijkingen

$x^2+y^2-z^2=0$

$3x+y-5=0$

Gebruik stelling 5.10 ('Afgeleiden II') om de punten op deze kromme te vinden die het dichtst bij de oorsprong liggen. Maak een tekening en bespreek het resultaat.

Vraag 5

Formuleer en bewijs Lemma 4.4 uit 'Integratietheorie' nauwkeurig en bespreek het resultaat.

Vraag 6

In Voorbeeld 5.4 ('Integratietheorie') hebben we een functie gedefinieerd. We weten dat ze niet continu is in (0,0). Construeer een rij punten $(x_n,y_n{)}_n$ in het domein zodat $(x_n,y_n)\to (0,0)$ maar toch niet $f(x_n,y_n)\to 0$.

Vraag 7

Gebruik de formule uit Propositie 4.5 ('Speciale functies') om aan te tonen dat $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ voor elke x>0. Argumenteer nauwkeurig en volledig. Schrijf ook je bewijs netjes op.

Tweede zit 2004-2005, reeks 1

Bron: gekregen bij tussentijdse toets 2005-06

Vraag 1

In het deeltje 'Metrische ruimten' hebben we Stelling 2.5 (vastepuntstelling). Is het resultaat nog juist als daarbij $\lambda =1$ toegelaten wordt? Bespreek.

Vraag 2

Beschouw een willekeurige metrische ruimte (V,d) en een deelverzameling A van V. Toon nauwkeurig aan dat het inwendige van het complement $A^C$ van A gelijk is aan het complement van de sluiting $\bar{A}$ van A (cfr. Opgave 3.16 uit 'Metrische ruimten'). Illustreer het resultaat met een voorbeeld.

Vraag 3

Definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ als $x\ne 0$ en f(0) = 0. Wat denk je over de volgende redenering (cfr. Opgave 5.19 uit 'Metrische ruimten'): 'Er geldt dat $f({\mathbb{ℝ}}^{+})=\mathbb{ℝ}$ en dus $f^{-1}(\mathbb{ℝ})={\mathbb{ℝ}}^{+}$. Dit geeft dan een open verzameling in $\mathbb{ℝ}$, namelijk $\mathbb{ℝ}$ zelf, zodat het inverse beeld van deze open verzameling onder f niet meer open is. Daarom is f niet continu.' Bespreek.

Vraag 4

Definieer $f:{\mathbb{ℝ}}^p\to {\mathbb{ℝ}}^p$ door $f(x)=\lambda x+a$ waarbij a een willekeurig element is uit ${\mathbb{ℝ}}^p$ en $\lambda \in \mathbb{ℝ}$. Is dan f totaal afleidbaar, in welke punten en wat is de totale afgeleide?

Vraag 5

Beschouw een gesloten en begrensd interval [a,b] in $\mathbb{ℝ}$ en een functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℂ}$. We weten dat |f| Riemann integreerbaar is als f dat is. Geldt ook het omgekeerde?

Vraag 6

Neem Toepassing 4.7.ii uit het deeltje 'Integratietheorie'. Werk dit argument meer in detail uit: Bewijs nauwkeurig dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$, gedefinieerd door $f(x)=\exp (-x^2)$, oneigenlijk integreerbaar is.

Vraag 7

In het deeltje 'Speciale functies' hebben we in Propositie 4.5 een formule die we echter niet bewezen hebben. We geven wel een argument. Waarom is dit 'argument' geen nauwkeurig argument en dus niet voldoende als bewijs? Wat is het probleem?

Januari 2002

(Opmerking: deze vragen zijn niet allemaal meer relevant...)

Vraag 1

Definieer $A=\{\frac{1}{k^2+1}|k\in \mathbb{\mathbb{Z}}\}$. Stel dat $(x_n)$ een convergente rij is zodat $x_n\in A$ voor elke $n$. Wat weet je over de limiet?

Vraag 2

Bespreek de relatie die er bestaat tussen de convergentie van een rij en de convergentie van een deelrij van die rij.

Vraag 3

Propositie 5.5 uit "De reële en complexe getallen" wordt in de nota's niet bewezen. Bewijs daaruit de volgende drie formules: $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$, $\left|z_1{z}_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$ en $|\left|z_1\right|-\left|z_2\right||\le |z_1-z_2|$. Ga efficiënt te werk.

Vraag 4

Geef een voorbeeld van een functie $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$ die continu is in 0 en 1 maar nergens anders.

Vraag 5

Neem drie getallen $p,q,r\in \mathbb{ℝ}$ en definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=px+q$ als $x<r$ en $f(x)=x^2$ als $x\ge r$. Voor welke waarden van deze parameters zal $f$ overal differentieerbaar zijn? Bespreek je antwoord en illustreer het met behulp van een grafiek van $f$.

Vraag 6

In voorbeeld 2.7.ii (Afgeleiden II) staat: "In de limiet $n\to \mathrm{\infty }$ levert dit $\exp x=(\exp c)\exp (x-c)$." Toon dat aan

Vraag 7

Werk het bewijs van propositie 2.2 (Speciale functies) verder uit.

Eerste zit 2003-2004

Vraag 1

We hebben op twee verschillende manieren aangetoond dat $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ (zie "Speciale functies" en "Integratietheorie"). Bespreek beide methodes en vergelijk ze. Is er een verband tussen beide?

Vraag 2

Bekijk Stelling 2.6 en Propositie 2.7 uit "Metrische ruimten en continuïteit". Bekijk ook de metriek op $\mathbb{ℝ}$, gedefinieerd in Voorbeelden 2.3.i. Wat is de vervollediging van deze metrische ruimte?

Vraag 3

Beschouw een continue functie $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$ en noteer $G=\{(x,f(x))|x\in [0,1]\}$. Toon aan dat G een gesloten en begrensde deelverzameling is van ${\mathbb{ℝ}}^2$.

Vraag 4

Wat weet je over het probleem van het verwisselen van integraal en afgeleide?

Vraag 5

Gebruik Opgave 4.10 (Integratietheorie) om na te gaan of de reeks $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ convergeert. Bespreek.

Vraag 6

Beschouw een functie $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$. Associeer daarmee een functie $g:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$ door $g(x+iy)=f_1(x,y)+i{f}_2(x,y)$ waarbij $x,y\in \mathbb{ℝ}$ en $f_1$ en $f_2$ de componenten zijn van $f$. Wat kun je zeggen over het verband tussen differentieerbaarheid van $f$ en differentieerbaarheid van $g$?

Vraag 7

In Opmerkingen 4.7.iii (Afgeleiden II) staat: "Wanneer we de formule ... afleiden volgt uit een goede toepassing van de kettingregel dat ... = 0". Leg dit nauwkeurig uit en laat blijken dat je de kettingregel correct kan toepassen.