Getaltheorie

Getaltheorie ( prof. Jan Denef, 1LW1 )

Examen van 23 juni 2006

 1) gegeven een getal $p=3mod4$, $q=2p+1$, $q$ is priem. 
    Bewijs: $q|2^p-1$
 2) Beschrijf met één congruentierelatie alle priemgetallen p, die in decimale schrijfwijze niet eindigen op 1 of 6, en waarvoor ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ volgende eigenschappen heeft:
    * Er bestaat een getal a dat a+1 als multiplicatieve inverse heeft.
    * Er bestaan getallen a en b die zowel elkaars multiplicatieve als additieve inverse zijn.
    * Er bestaat een getal $x\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^x$ waarvan de derde macht gelijk is aan het drievoud.
 3) Neem E het ontbindingsveld van de veelterm $x^3+5\in \mathbb{\mathbb{Q}}[x]$
    Bewijs: $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{5})$
    Met welke gekende groep is de Galois-groep van E over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ isomorf ?
    Beschrijf ten slotte alle tussenvelden tussen E en $\mathbb{\mathbb{Q}}$ met behulp van een primitief element
 4) Gegeven: E is een eindige normale velduitbreiding van F.  
    $V_E\subset E[x]$ is een vectorruimte over E, die gesloten is onder de actie van Gal(E,F), d.w.z.
    $f^{\sigma }\in V_E\mathrm{\forall }f\in V_E,\sigma \in Gal(E,F)$  
    Stel $V_F=V_E\cap F[x]$.
    Bewijs dat een F-basis van $V_F$ ook een E-basis is van $V_E$