Algebra I

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Eerste zit 2006-07, Wiskunde, 15-01-2007

Theorievragen

1. Zij $\sigma \in {𝒮}$. Geef en bewijs de formule voor de orde van $\sigma$ in ${𝒮},\circ$ in termen van de disjuncte cykelschrijfwijze van $\sigma$.
2. Zij R een HID en $x\in R$ met $x\ne 0$ en x geen eenheid. Bewijs dat x te schrijven is als een product van irreducibele elementen.

   Hits:

   • Een contradictie.
   • Een stijgende keten van idealen kan nuttig zijn.
3. Zij $K\subset E$ een velduitbreiding en $a,b\in E$ algebraïsch over K.
   1. Bewijs dat a+b algebraïsch is over K.
   2. Waar of niet? Zij $c,d\in E$ transcendent over K, dan is c+d transcendent over K.

Oefeningen

1. Definitie: Zij G,* een groep en zij H een deelgroep van G. Het aantal linkse nevenklassen van H in G noemen we de index van H in G. De index van H in G is dus een van 0 verschillend natuurlijk getal of oneindig.
   1. Zij G,* een groep. Zij H een deelgroep in G met eindige index in G en zij $g\in G$. Toon aan dat de deelgroep $gH{g}^{-1}$ ook eindige index heeft in G.
   2. Zij G,* een groep en D de doorsnede van alle deelgroepen van G met eindige index in G. Toon aan dat D een normaaldeler is van G. Waarom is dit triviaal als G een eindige groep is?
   3. Geef een voorbeeld van een oneindige groep G,* waarvoor $\{e_G\}$ de doorsnede is van alle deelgroepen van eindige index in G.
2. Zij R,+,. een ring en zij I het ideaal voortgebracht door $\{ab-ba|a,b\in R\}$. Zij J een ideaal van R. Toon aan dat R/J commutatief is als en slechts als $I\subset J$.
3. Zij $\omega$ de primitieve derde eenheidswortel in $\mathbb{ℂ}$.
   1. Bepaal de relaties tussen de velden $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3}\omega )$, $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3}+\omega )$ en $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3},\omega )$.
   2. Bereken de uitbreidingsgraad $[\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3},\omega ):\mathbb{\mathbb{Q}}]$.
   3. Bepaal een minimale veelterm van $\sqrt{3}+\omega$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
4. Stel $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 0\\ -2& 4& 1& 0\\ -2& 1& 4& 0\\ -2& 0& 3& 3\end{array}\right)$

   Zoek een inverteerbare matrix P en een Jordaanmatrix J zodat $P^{-1}AP=J$.

Eerste zit 2005-06, Wiskunde

Theorievragen

1. Zij G een groep en zij N een normaaldeler van G. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen de normaaldelers van G die N omvatten en de normaaldelers van G/N. Je mag hierbij het enkel feit gebruiken dat het beeld en het inverse beeld van een deelgroep onder een groepsmorfisme weer een deelgroep is. Al de rest moet bewezen worden.
2. Veronderstel dat R een hoofdideaaldomein is, en zij r een irreducibel element in R. Bewijs dat (r) dan een maximaal ideaal van R is. Geef ook een voorbeeld van een ring R, commutatief en met eenheidselement, en een irreducibel element r in R, zodat (r) geen maximaal ideaal van R is.
3. Bewijs de stelling van Kronecker: "Zij K een veld en zij f een niet-constante veelterm in K[X], dan heeft f een wortel in een velduitbreiding van K."

Snelheidsvragen

(Dit zijn de verraderlijke vraagjes die Veys op het mondeling examen stelt en die je *niet* mag voorbereiden, je krijgt er ongeveer 1 minuut tijd voor. Vaak zit er een addertje onder het gras. Wees dus niet te "snel".)

• Bestaat er een algebraïsch gesloten veld dat $\mathbb{ℂ}$ strikt omvat?
• Waar of fout? "Een groep is eindig als en slechts als alle elementen eindige orde hebben."

Oefeningen

1. Zij G een groep met precies twee niet-triviale deelgroepen.
   1. Bewijs dat G cyclisch is.
   2. Bewijs dat de orde van G van de vorm p³ of pq is, voor zekere priemgetallen p en q.
2. Met welke "bekende" ring is $\frac{{\mathbb{\mathbb{Z}}}_5[X,Y]}{(Y-X^2,XY+Y+2)}$ isomorf? Bewijs je antwoord.
3. Zijn $F\subset E$ velden. De Galoisgroep Gal(E, F) van E en F wordt gedefinieerd als de groep van alle veldautomorfismen $\sigma :E\to E$ (met andere woorden, ringautomorfismen van E waarvoor geldt dat $\sigma (1)=1$) die voldoen aan $\sigma (f)=f$, voor alle f in F. (Hierbij is de groepsbewerking samenstelling van afbeeldingen.) Toon aan dat $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Gal</mrow>}(\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{2}),\mathbb{\mathbb{Q}})\cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$.
4. 1. Kies een voorstelling van ${\mathbb{𝔽}}_8$ als ${\mathbb{𝔽}}_2\left[X\right]/(f)$, met $f\in {\mathbb{𝔽}}_2[X]$ een irreducibele veelterm van graad 3. Bepaal een basis van ${\mathbb{𝔽}}_8$ als ${\mathbb{𝔽}}_2$-vectorruimte. Toon aan dat het Frobeniusmorfisme $\phi :{\mathbb{𝔽}}_8\to {\mathbb{𝔽}}_8:x\mapsto x^2$ een lineaire transformatie van ${\mathbb{𝔽}}_8$ is, bepaal de matrix van $\phi$ ten opzichte van de gekozen basis, en bepaal de minimale veelterm van $\phi$.
   2. Zij p een priemgetal, en zij r een natuurlijk getal verschillend van 0. Laat zien dat het Frobenius-morfisme $\phi :{\mathbb{𝔽}}_{p^r}\to {\mathbb{𝔽}}_{p^r}:x\mapsto x^p$ een lineaire transformatie is van ${\mathbb{𝔽}}_{p^r}$ als vectorruimte over ${\mathbb{𝔽}}_p$. Zoek de minimale veelterm van $\phi$ en bewijs je vermoeden.

Eerste zit 2005-06, Fysica

Theorievragen

1. Zij G een groep, zij K een deelgroep van G en zij N een normaaldeler van G. Bewijs: $KN=\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">grp</mrow>}(K\cup N)$.
2. Zij $R,+,\cdot$ een ring. Bewijs dat de bewerking $*$ op R/N, gegeven door $(x+N)*(y+N)=x\cdot y+N$, goed gedefinieerd is als en slechts als N een ideaal is van R.
3. Bewijs dat "algebraïsch zijn van velduitbreidingen" transitief is. Is "transcendent zijn" dat ook?

Snelheidsvraagje

Geef alle 2 x 2 - matrices over $\mathbb{ℂ}$ die hermitisch én unitair zijn.

Oefeningen

1. 1. Zij H een deelgroep van ${{𝒮}}_n$. Toon aan dat H een normaaldeler is als en slechts als voor elke $\sigma$ in H geldt dat alle elementen van ${{𝒮}}_n$ met dezelfde disjuncte cykel-schrijfwijze ook tot H behoren.
   2. Bewijs nu dat ${{𝒮}}_4$ een unieke deelgroep van orde 12 heeft.
2. Zij $R,+,\cdot$ een ring en definieer het centrum van R als $Z(R)=\{x\in R|\mathrm{\forall }a\in R:ax=xa\}$. We hebben in de oefenzittingen gezien dat Z(R) een deelring is van R.
   1. Toon aan dat Z(R) geen ideaal van R moet zijn.
   2. Het quotiënt R/Z(R) hoeft dus geen ringstructuur te hebben, maar in ieder geval wel een additieve groepsstructuur. Bewijs: als R/Z(R) een additieve cylische groep is, dan is R commutatief.
3. Definieer ${{𝒩}}_r^p$ als het aantal monische irreducibele polynomen van graad r over ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$. Bewijs de volgende recursieformule: ${{𝒩}}_r^p=\frac{1}{r}(p^r-\sum _{d|r,d\ne r}d{{𝒩}}_d^p).$
4. 1. Zij $A:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$ een lineaire afbeelding met karakteristieke veelterm $f_A(X)=X^2+aX+b$, en stel dat $a^2<4b$. Toon aan dat er een basis van ${\mathbb{ℝ}}^2$ bestaat zodat de matrix van A ten opzichte van die basis van de volgende vorm is: $\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 1& -a\end{array}\right)$
   2. Zij B de volgende 4 x 4 - matrix over de complexe getallen: $\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& -1\\ 0& 3& 0& 0\\ -3& 1& 1& -5\\ 1& -1& 0& 4\end{array}\right)$

      Bepaal de Jordanvorm J van B en vind een matrix P zodat $P^{-1}BP=J$.

Eerste zit 2003-2004, Wiskunde

De theorievragen zijn verloren gegaan.

Oefeningen

1. Zij $G$ een groep en zij A een normaaldeler van G. Stel dat A commutatief is.
   1. Toon aan dat $\sigma :\frac{G}{A}\times A\to A:(gA,a)\mapsto ga{g}^{-1}$ een goed gedefinieerde groepsactie is van $\frac{G}{A}$ op $A$.
   2. Bepaal $Or(a)$ en $St(a)$ voor elke $a\in A$.
2. Zij $F$ een veld en beschouw de ring $F[[X]],+,\cdot$ zoals gedefinieerd in de oefeningenbundel. Herinner u dat de eenheden in deze ring de formele machtreeksen zijn waarvan de constante term verschillend is van 0. Beschouw de volgende uitspraken:
   • Het element $X$ is, op een eenheid na, het enige irreducibele element in deze ring.
   • De ring is een UFD.
   • De ring is een HID.

   Welke uitspraken zijn juist, welke zijn fout? Bewijs je antwoorden.

3. Zijn $F,E,K,L$ velden zodat $F\subset K\subset E$ en $F\subset L\subset E$. Noteer met $K\cdot L$ het kleinste deelveld van $E$ dat $K$ en $L$ omvat. Stel dat $[K\cdot L:F]$ eindig is.
   1. Toon aan dat $[K\cdot L:L]\le [K:F]$.
   2. Stel dat $[K:F]=2$ en $K\subseteq ̸L$. Bewijs dat gelijkheid optreedt in a).
   3. Stel dat $[L:F]=2$ en $L\subseteq ̸K$. Bewijs dat gelijkheid optreedt in a).
4. Beschouw de volgende matrix $A$ over $\mathbb{ℂ}$ (met $a\in \mathbb{ℂ}$ een parameter): $A=\left(\begin{array}{cccc}2& a^2-1& 0& -1\\ 0& 2& a^2-3a+2& 0\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& a\end{array}\right)$

   Wat zijn de mogelijke Jordanvormen van $A$ over $\mathbb{ℂ}$?

Tweede zit 2004-2005, Wiskunde

De theorievragen zijn verloren gegaan.

Oefeningen

1. Zij $G$ een groep en zijn $M,N$ normaaldelers van $G$ met $M\subset N$. Stel dat $G/N$ cyclisch is en dat $|N/M|=2$.
   Toon aan dat $G/M$ commutatief is.
2. Beoordeel de volgende redenering: is de redenering juist? Is de redenering fout? Waarom?

   "Zij $R$ een ring met $1_R\ne 0_R$. Omdat $R$ een groep is voor de optelling en $1\in R$, bestaat er een invers element $-1_R$ van $1_R$. Omdat $(-1_R)(-1_R)=1_R$, is $-1_R$ een eenheid. Bijgevolg is $\left|R^{\times }\right|\ge 2$."

3. Een ring $R$ is Artins als elke dalende keten $I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq \cdots$ van idealen stabiliseert (met andere woorden, als $I_n=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots$ voor een zeker natuurlijk getal $n$).
   1. Toon aan dat $\mathbb{\mathbb{Z}},+,\cdot$ geen Artinse ring is.
   2. Bewijs nu dat de quotiëntring $\mathbb{\mathbb{Q}}[X]/(X^3),+,\cdot$ wel een Artinse ring is.
4. Zij $E$ een veld met $\mathbb{\mathbb{Q}}\subset E\subset \mathbb{ℂ}$ en $[E:\mathbb{\mathbb{Q}}]=2$. Bewijs dat $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{d})$ voor een zekere $d\in \mathbb{\mathbb{Z}}$.
5. Stel dat de matrix van een lineaire afbeelding $f:{\mathbb{ℂ}}^3\to {\mathbb{ℂ}}^3$ ten opzichte van een goede basis $\{e_1,e_2,e_3\}$ de volgende Jordanmatrix is: $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$. We kunnen ${\mathbb{ℂ}}^3$ natuurlijk ook als 6-dimensionale reële vectorruimte bekijken. Welke basis van ${\mathbb{ℂ}}^3$ kan je kiezen zodat $f$ ten opzichte van die basis in zijn Jordanvorm staat, en wat is die Jordanvorm?

Eerste zit 2004-2005, Fysica

(In 2004-2005 moesten de studenten Fysica de leerstof over velden niet kennen.)

Theorie

Vraag 1

Zij $R$ een commutatieve ring met een eenheidselement en zij $I$ een ideaal van $R$. Bewijs dat $R/I$ een veld is als en slechts als $I$ een maximaal ideaal is.

Vraag 2

Zij $V$ een complexe vectorruimte. Bewijs dat een lineaire transformatie ${𝒜}$ van $V$ normaal is als en slechts als $V$ een orthonormale basis van eigenvectoren van ${𝒜}$ heeft. Je mag gebruiken dat de minimale veelterm van een normale transformatie splitst in lineaire factoren.

Vraag 3

Zij $G$ een groep en zij $N$ een normaaldeler. Bewijs dat de afbeelding $*:G/N\to G/N:(x*N)*(y*N)=(x*y)*N$ goed gedefinieerd is.

Oefeningen

Oefening 1

• Bewijs dat er slechts één groepsmorfisme $\varphi :\mathbb{\mathbb{Q}}/\mathbb{\mathbb{Z}},+\to \mathbb{\mathbb{Q}},+$ bestaat.

• Bewijs dat er oneindig veel groepsmorfismen $\varphi :\mathbb{\mathbb{Q}},+\to \mathbb{\mathbb{Q}}/\mathbb{\mathbb{Z}},+$ bestaan.

Oefening 2

Bewijs dat het aantal verschillende complexe $(n\times n)$-Jordanmatrices met slechts één eigenwaarde gelijk is aan het aantal conjugatieklassen van ${{𝒮}}_n$.

Oefening 3

Een Euclidisch domein is een integriteitsdomein $R$, samen met een afbeelding $t:R\to \mathbb{\mathbb{N}}$ die voldoet aan

• voor alle $a,b\in R$ (verschillend van 0) volgt uit $a\mid b$ dat $t(a)\le t(b)$, en
• voor alle $a,b\in R$ (met $b$ verschillend van 0) bestaan er $r,q\in R$ zodat $a=bq+r$, met $r=0$ of $t(r)<t(b)$.

Neem bijvoorbeeld $F[X]$ met $t:f\mapsto \mathrm{deg}f$.

• Zoek een ander voorbeeld van een Euclidisch domein.
• Bewijs dat een Euclidisch domein een hoofdideaaldomein is.
• Bewijs dat $t(u)=t(1)⟺u\in R^{\times }$.

Oefening 4

Zij ${𝒜}:C_6\to C_6$ een nilpotente lineaire afbeelding met $\dim (\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Ker</mrow>}{{𝒜}}^2)=4$. Bepaal de mogelijke waarden voor $\dim (\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Ker</mrow>}{𝒜})$ en illustreer telkens met een voorbeeld.