Complexe Analyse

Jan 17 enige jaren terug

(de inhoud van dit vak is ondertussen waarschijnlijk al gewijzigd, maar de vragen lijken toch nog relevant)

Beste,

Ik heb de vragen noch overgepend, noch meegenomen, maar proberen te onthouden. Er kunnen dus onnauwkeurigheden in zitten, maar toch:

1) Zij f een analytische functie op D(0,1), 0 < r < 1. Onderstel dat f injectief is op de annulus $A_r=\{z|r<|z|<1\}$. Bewijs dat f analytisch is op heel de eenheidsschijf D(0,1). [hint: denk aan het argumentprincipe.]

2) Geldt de stelling van Rolle ook in het complexe vlak? Met andere woorden, zij G een gebied, en f een analytische functie op G. Onderstel dat $z_0$ en $z_1$ punten in G zijn, met $[z_0,z_1]\subset G$, en $f(z_0)=f(z_1)$. Dan is er een punt $z\in [z_0,z_1]$ met $f^{\prime }(z)=0$.

3) Zij f een rationale functie op $\mathbb{ℂ}$, dus f = p/q, met p en q complexe veeltermen. Definieer het residu van f in oneindig als volgt: stel dat $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ de laurentreeks voor f die convergeert voor |z| > R, voor zekere R > 0. Dan is $Res(f,\mathrm{\infty })=-a_{-1}$. Bewijs dat de som van de residuen in de polen van f (met oneindig inbegrepen) gelijk is aan 0.

4) Bereken de hoofdwaarde-integraal PV $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{cos(kx)-cos(lx)}{x^2}dx$.