Complexe Analyse

23 juni 2007

En ook deze vragen zijn slechts een weerspiegeling van mijn herinneringen. Elke vraag telt alleszins voor 4 punten; het mondelinge gedeelte ook.

• Vraag 1 Geldt de middelwaardestelling ook in het complexe vlak? Dus zij $f$ een analytische functie en zij $a\ne b$. Bestaat er dan een $c\in [a,b]$ zodat $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

• Vraag 2 Beschouw de integraal

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^a}{1+x^3}dx$

(a) Voor welke waarden van $a$ bestaat deze integraal?

(b) Bereken de integraal voor de waarden van $a$ die je in (a) gevonden hebt.

• Vraag 3 Zij $f$ analytisch op ${\mathbb{ℂ}}^{+}$ en continu op ${\mathbb{ℂ}}^{+}\cup ]-1,1[$.

(a) Welke van de volgende functies op ${\mathbb{ℂ}}^{-}$ zijn analytisch? Verklaar je antwoord.

$g_1(z)=f(\bar{z})g_2(z)=\overline{f(\stackrel{‾}{z})}{g}_3=\overline{f(z)}$

(b) Neem aan dat $f$ reële waarden aanneemt op ]-1,1[. Toon aan dat $f$ een analytische voortzetting heeft tot $\mathbb{ℂ}\setminus (]-\mathrm{\infty },1]\cup [1,+\mathrm{\infty }[)$.

(c) Bonusvraag: Neem aan dat $f$ reële waarden aanneemt op ]-1,1[. Neem verder aan dat $\mathrm{I}\mathrm{m}(f(z))>0$ voor $z\in {\mathbb{ℂ}}^{+}$. Toon aan dat $f$ beperkt tot ]-1,1[ stikt stijgend is.

• Vraag 4

(a) Toon aan dat de afbeelding $z\mapsto z+\frac{1}{z}$ injectief is op $\mathrm{\Omega }=\{z\in \mathbb{ℂ}:|z|<0,\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Im</mrow>}(z)>0\}$ en geeft het beeldgebied.

(b) Vind een Möbiustransformatie van $D(0,1)\setminus [\frac{1}{2},1[$ naar $D(0,1)\setminus [0,1[.$

(c) Vind een conforme afbeelding van $D(0,1)\setminus [\frac{1}{2},1$[ naar $D(0,1)$.

18 juni 2007

Ook deze vragen komen enkel uit mijn herinnering. Excuseer mij als er fouten of onnauwkeurigheden in staan. Media:ComlexeAnalyse18062007.pdf

Jan 17 enige jaren terug

(de inhoud van dit vak is ondertussen waarschijnlijk al gewijzigd, maar de vragen lijken toch nog relevant)

Beste,

Ik heb de vragen noch overgepend, noch meegenomen, maar proberen te onthouden. Er kunnen dus onnauwkeurigheden in zitten, maar toch:

1) Zij f een analytische functie op D(0,1), 0 < r < 1. Onderstel dat f injectief is op de annulus $A_r=\{z|r<|z|<1\}$. Bewijs dat f analytisch is op heel de eenheidsschijf D(0,1). [hint: denk aan het argumentprincipe.]

2) Geldt de stelling van Rolle ook in het complexe vlak? Met andere woorden, zij G een gebied, en f een analytische functie op G. Onderstel dat $z_0$ en $z_1$ punten in G zijn, met $[z_0,z_1]\subset G$, en $f(z_0)=f(z_1)$. Dan is er een punt $z\in [z_0,z_1]$ met $f^{\prime }(z)=0$.

3) Zij f een rationale functie op $\mathbb{ℂ}$, dus f = p/q, met p en q complexe veeltermen. Definieer het residu van f in oneindig als volgt: stel dat $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ de laurentreeks voor f die convergeert voor |z| > R, voor zekere R > 0. Dan is $Res(f,\mathrm{\infty })=-a_{-1}$. Bewijs dat de som van de residuen in de polen van f (met oneindig inbegrepen) gelijk is aan 0.

4) Bereken de hoofdwaarde-integraal PV $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{cos(kx)-cos(lx)}{x^2}dx$.