Kansrekenen

Eerste zit 2006-2007

Theorie

We hadden een uur en drie kwartier de tijd voor de theorievragen: doorwerken dus.

Vraag 1

Zijn $X_n,Y_n,X,Y$ stochastische variabelen zodat $X_n\to X,Y_n\to Y$, waarbij we $\to$ noteren voor convergentie in kans.

Bewijs dat $X_n+Y_n\to X+Y$ en $X_n{Y}_n\to XY$.

Vraag 2

Zij $\mathrm{\Omega }$ een verzameling en zij $B$ een sigma-algebra op $\mathrm{\Omega }$. Geef de definitie van een kansmaat op $(\mathrm{\Omega },B)$.

Zij $(\mathrm{\Omega },B,P)$ een kansruimte. Bewijs de volgende uitspraken:

• Als $A_1,A_2,\cdots ,A_N$ paarsgewijs disjuncte elementen van $B$ zijn, dan is $P\left({\cup }_{1\le j\le N}{A}_j\right)=\sum _{1\le j\le N}P\left(A_N\right)$.
• Zij $A\in B$. Bewijs dat $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
• Zij $\left(A_n\right)$ een monotone rij van elementen van $B$. Bewijs dat $\underset{n}{\lim }P\left(A_n\right)=P\left(\underset{n}{\lim }{A}_n\right)$.

Vraag 3

• Zij $X$ een s.v. met uniforme verdeling op $[0,1]$. Wat is de verdeling van $X^2$?
• Stel $X_1,X_2$ zijn onafhankelijke s.v. Hoe zou je te werk gaan om de verdeling van $X_1+X_2$ te vinden?
• Zijn $X_1,X_2,\cdots ,X_m$ onafhankelijke s.v. met een ${\chi }^2$-verdeling met $n$ vrijheidsgraden. Wat is de verdeling van $\sum _{1\le j\le m}{X}_j$?

Vraag 4

Zijn $X_1,X_2,\cdots$ s.v. met dezelfde verdeling als de s.v. $X$. Stel $E(X)=\mu ,\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Var</mrow>}(X)={\sigma }^2<+\mathrm{\infty }$.

Definieer $S_n=\sum _{1\le j\le n}{X}_j$. Bewijs dat $\frac{S_n-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\to Z$ in verdeling, waarbij Z standaard normaal verdeeld is.

Oefeningen

Vraag 1

Zijn $X,Y$ s.v. met gemeenschappelijke dichtheidsfunctie $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-x)$ als $x\ge \frac{1}{2}{y}^2$ en $f_{X,Y}(x,y)=0$ elders.

• Bewijs dat $Y$ standaard normaal verdeeld is. Bepaal de verwachtingswaarde en variantie.
• Bepaal de marginale verdeling van $X$ en ook $E\left(\sqrt{|X|}\right)$.
• Stel $U=X-\frac{1}{2}{Y}^2$. Bewijs dat $U\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Exp</mrow>}(\lambda )$ voor een zekere $\lambda$ en bepaal $\lambda$.
• Druk $X$ uit in functie van $Y$ en $U$ en bepaal zo $EX$.
• Bewijs dat $E(X|Y=y)=1+\frac{1}{2}{y}^2$.
• Bepaal $E(X{Y}^{10}|Y=\sqrt{2})$.

Vraag 2

In je jaszak zitten drie munten. Bij munt 1 heb je 0.1 kans om kop te gooien, bij munt 2 bedraagt die kans 0.5 en bij munt 3 is het 0.9.

Veronderstel dat je een willekeurige munt uit je jaszak haalt en dat je hem twee keer opwerpt. Noteer met $C_i$ de gebeurtenis dat je de $i$-de munt uit je jas haalt ($i\in \{1,2,3\}$) en met $H_j$ de gebeurtenis dat de $j$-de worp kop levert ($j\in \{1,2\}$).

• Bepaal $P(C_i\cap H_1)$ voor elke $i$.
• Bepaal $P\left(H_1\right)$.
• Bepaal $P\left(C_i|H_1\right)$ voor elke $i$.
• Bepaal $P\left(H_2|H_1\right)$.

Vraag 3

Zij $X$ een s.v. met dichtheidsfunctie $f_X(x)=3x^2$ voor $0\le x\le 1$ en $f_X(x)=0$ elders.

Zijn $X_1,X_2,\cdots$ onafhankelijke s.v. met de verdeling van $X$.

Noteer voor elke $n$: $X_{1:n}=\min (X_1,\cdots ,X_n)$ en $X_{n:n}=\max (X_1,\cdots ,X_n)$.

• Toon aan dat $X_{n:n}\to 1$, waarbij we convergentie in kans bedoelen.
• Toon aan dat $X_{1:n}\to 0$, waarbij we opnieuw convergentie in kans bedoelen.
• Toon aan dat $X_{n:n}+\cos X_{1:n}\to 2$, waarbij we nog maar eens convergentie in kans bedoelen.
• Bepaal constanten $a_n$ zodat $\frac{a_n{X}_{1:n}}{\cos X_{1:n}}$ in verdeling convergeert naar een s.v. met een niet-ontaarde verdeling.

Tweede zit 2006-2007

Theorie

(Deze vragen zijn normaalgezien correct, al kan de formulering lichtjes verschillen van de exacte formulering).

vraag 1

Bewijs volgende resultaten:

1. Voor $X$ en $Y$ willekeurige s.v.: $P(X\le x-\epsilon )-P(|Y|\ge \epsilon )\le P(X+Y\le x)\le P(X\le x+\epsilon )+P(|Y|\ge \epsilon )$
2. Als $X_n\to X$ (= $X_n$ convergeert in verdeling naar X) en $Y_n\to c$ (= $Y_n$ convergeert in kans naar c met $c\in \mathbb{ℝ}$), dan zal $X_n+Y_n\to X+c$ (= $X_n+Y_n$ convergeert in verdeling naar $X+c$)

vraag 2

1. Zij $(X_n)$ een rij s.v. met $X_{n}N(3;4+\frac{1}{n^2})$. Ga de convergentie in verdeling na.
2. Zij $(Y_n)$ een rij s.v. met $P(Y_n=1)=\frac{1}{n}$ en $P(Y_n=0)=\frac{n-1}{n}$. Ga de convergentie in kans na.
3. Definieer $V_n=X_n+Y_n$. Ga de convergentie in verdeling na en bepaal naar waar de rij $V_n$ convergeert.

vraag 3

1. Zij $X$ een s.v. met strikt stijgende verdelingsfunctie $F_X$. Stel $U=F_X(X)$. Bepaal de verdeling van deze s.v. $U$.
2. Zij $X_1$ en $X_2$ onafhankelijke s.v. met gezamenlijke dichtheidsfunctie $f_{X_1,X_2}$. Beschrijf hoe je $f_{X_1-X_2}$ zou bepalen.

vraag 4

Formuleer en bewijs de ongelijkheid van Chebyshev. Wat is het nut van deze ongelijkheid? Geef minstens één situatie waarin deze ongelijkheid van pas kan komen.

Oefeningen

vraag 1

Zij $X_i$ de koers van een bepaald aandeel aan het begin van dag i. Stel $Y_{i+1}=\log \left(\frac{X_{i+1}}{X_i}\right)$ de log-return. Stel $Y_1,Y_2,\dots$ onafhankelijke s.v. met normale verdeling $N(\mu ;1)$.

1. Zij $\mu =0$. Bepaal de kans dat de waarde van het aandeel op het einde van de dag minstens gehalveerd is.
2. Zij $\mu =\frac{1}{4}$. Bepaal de kans dat de waarde van het aantal op 100 dagen minstens verdubbeld is.
3. Veronderstel voor dit onderdeel dat de s.v. $Y_i$ niet normaal verdeeld zijn. Is het antwoord op de vorige vraag dan nog relevant?
4. Zij $\mu =0$. Toon aan dat $E\left(\frac{X_2}{X_1}\right)=\sqrt{e}$.
5. Bepaal $E\left(\frac{X_2}{X_1}\right)$ voor willekeurige $\mu$.

vraag 2

Katrien heeft een muntstuk dat met kans p_1 kop geeft. Lieven heeft een muntstuk dat met kans p_2 kop geeft. Zeg X het aantal keer dat Katrien het muntstuk moet opgeven om de eerste keer kop te krijgen. Elke keer dat Katrien haar muntstuk opgooit, gooit ook Lieven zijn muntstuk op. Zeg Y het aantal keer dat Lieven kop gooit tot Katrien voor het eerst kop gooit.

1. Wat is de verdeling van X? Bepaal E(X).
2. Welke bekende verdeling heeft Y?
3. Stel X=i en Y=j. Welke koppels (i,j) zijn mogelijk? Bepaal voor elk mogelijk koppel P(X=i, Y=j).
4. Bepaal E(Y|X=i).
5. Bepaal E(Y).
6. Bepaal E(XY).
7. Bepaald Cov(X,Y). Zijn X en Y onafhankelijk?

vraag 3

Zij $Y_i$ s.v. en definieer $T_n=\frac{\sqrt{n}\overline{Y_n}}{S_n}$. Zij $\overline{Y_n}=n^{-1}\sum _{i=1}^n$ en $S_n^2=\sum _{i=1}^n(Y_i-\overline{Y_n}{)}^2$. We willen de convergentie van $T_n$ in verdeling aantonen, en we ondernemen daarvoor verschillende stappen.

1. Toon aan dat $S_n^2$ ook als volgt kan geschreven worden: $S_n^2=\frac{n}{n-1}(n\sum _{i=1}^n{Y}_i^2-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{Y_n}})$.
2. Bepaal de convergentie in verdeling van de uitdrukking in (1).
3. Bepaal de convergentie in kans voor $\sqrt{n}\overline{Y_n}$.
4. Combineer (2) en (3) op gepaste wijze.

Eerste zit 2005-2006, KULAK, NIET RELEVANT

(aan de KULAK werd Kansrekenen in 2005-2006 gegeven door Van Assche, niet door Gijbels, dus geen relevant examen)

Vraag 1

Bereken de voorwaardelijke dichtheid van de bivariate normale verdeling.

Vraag 2

Stel $X,Y$ onafhankelijk en identiek met dichtheidsfunctie $\frac{1}{x^2},x\ge 1$. Bepaal de dichtheidsfunctie van $\frac{X}{Y}$.

Vraag 3

1. Zij $X_1,X_2,\dots$ een rij van Bernoulli experimenten met kans $p$ op succes. Wat is de kans om oneindig vaak het patroon $(X_k,X_{k+1},X_{k+2},X_{k+3})=(1,0,0,1)$ tegen te komen.
2. Zij $X_1,X_2,\dots$ een rij van Bernoulli experimenten met kans $p$ op succes. Zij $B_n$ de gebeurtenis die $n$ opeenvolgende keren succes in het $X_{2^n},X_{2^n+1},\dots ,X_{2^{n+1}-1}$ beschrijft. Toon aan dat $P(B_n)$ o.v. gelijk is aan $0$ als $p<\frac{1}{2}$ en $P(B_n)$ o.v. gelijk is aan 1als $p\ge \frac{1}{2}$. (Tip: Toon aan: $P(B_n)\le 2^n{p}^n$ en $P(B_n)\ge 1-(1-p^n{)}^{\frac{2^n}{n}}$)

Vraag 4

Welke verdelingen komen op natuurlijke wijze te voorschijn uit Bernoulli experimenten? Leg ook het verband met Poissonprocessen.

Vraag 5

Waarom zijn karakteristieke functies zo nuttig? Leg uit aan de hand van enkele stellingen.

Vraag 6

Bespreek de Cauchy verdeling.

Waar komt deze te voorschijn, geef belangrijke eigenschappen en karakteristieken, wat is er zo speciaal aan de Cauchy verdeling?

Numerieke uitkomsten eerste zit 2006-2007

Oefeningen

Vraag 1

• $E(Y)=0$ en $Var(Y)=1$
• $f_X(x)=\frac{2\sqrt{x}\exp (-x)}{\sqrt{\pi }}$, $E\left(\sqrt{|X|}\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}$.
• $\lambda =1$
• $EX=\frac{3}{2}$.
• $E(X{Y}^{10}|Y=\sqrt{2})=64$.

Vraag 2

• 1/30, 1/6, 3/10
• 1/2
• 1/15, 1/3, 3/5
• 107/150

Vraag 3

Neem bijvoorbeeld $a_n=\sqrt[3]{n}$.