Algebra II

Eerste zit 2007-2008

Je hebt vier uur tijd voor dit examen, en dat is écht weinig.

Er is ook een practicum in Maple dat voor 2 van de 20 punten telt.

Vraag 1

In de definitie (in de cursustekst) van het radicaal Rad(J) van een ideaal J in een commutatieve ring R wordt beweerd dat Rad(J) ook een ideaal is van R. Geef hiervoor een bewijs.

Vraag 2

Waar of fout? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

• Zij $n\ge 2$ even. Dan bestaat er een veelterm van graad $n$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ met $n$ verschillende wortels, zodat de Galoisgroep van deze veelterm (over $\mathbb{\mathbb{Q}}$) isomorf is met $\mathbb{\mathbb{Z}}/2\mathbb{\mathbb{Z}},+$.
• Zijn $F\subseteq E_1\subseteq E_2$ eindige velduitbreidingen. Indien $\mathrm{\Gamma }(E_1:F)\cong \mathrm{\Gamma }(E_2:F)$, dan is $E_1=E_2$.

Vraag 3

Zij $n\ge 1$ een geheel getal. Zij $\omega$ een primitieve $n$-de eenheidswortel in $\mathbb{ℂ}$. Zij K een deelveld van $\mathbb{ℂ}$ dat $\omega$ bevat. Zij $a\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ en zij $b$ een wortel van $X^n-a$ in $\mathbb{ℂ}$.

• Bewijs dat $\mathrm{\Gamma }(K(b):K)$ isomorf is met $\mathbb{\mathbb{Z}}/d\mathbb{\mathbb{Z}}$, waarbij $d$ een deler is van $n$.
• Bewijs dat $b^d\in K$.
• Stel dat $X^n-a$ irreducibel is over $K$. Bewijs dat $\mathrm{\Gamma }(K(b):K)$ isomorf is met $\mathbb{\mathbb{Z}}/n\mathbb{\mathbb{Z}}$

Vraag 4

Bepaal de Galoisgroep van $X^3-5$ over

• $\mathbb{\mathbb{Q}}$
• $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt[3]{5}\right)$
• $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{3}i\right)$

Vraag 5

• Beschouw $I=⟨xy+y,xy+2y-x⟩\subseteq \mathbb{ℂ}[x,y]$. Bepaal een Gröbnerbasis voor I t.o.v. de grlex-orde. Geef een basis voor $\mathbb{ℂ}[x,y]/I$ als vectorruimte over $\mathbb{ℂ}$.
• Zij $I$ een ideaal in $\mathbb{ℂ}[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$ met Gröbnerbasis $G$. Construeer een basis voor de $\mathbb{ℂ}$-vectorruimte $\mathbb{ℂ}[x_1,x_2,\cdots ,x_n]/I$ en bewijs.

Eerste zit 2006-2007

Waarom zet niemand de vragen online? Bij deze staan ze online... Media:Ex_algebra_3BA_jan07.pdf‎

Eerste zit 1999-2000

Oefening 1

Zij $L=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2},\sqrt{3}i)$.

a) Is $L=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i)$? Bepaal een minimale veelterm van $\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

b) Bepaal $G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})$ en $L_{G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})}$. Met welke groep is $G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})$ isomorf?

Oefening 2

Zij $F\subset K$ velden en $K$ een eindige separabele uitbreiding van $F$. Toon aan:

$K$ is normaal over $F\iff$ voor elke velduitbreiding $L$ van $K$ en elk ringmorfisme $\sigma :K\to L$ met $\sigma {|}_F=I{d}_F$ geldt: $\sigma (K)\subset K$.

Tweede zit 1999-2000

Oefening 1

b) Waar of niet waar? Zij $K\subset L$ velden en $a,b\in L$ met dezelfde minimale veelterm $f(x)$ over $K$. Veronderstel dat $L$ een eindige normale uitbreiding is over $K$. Dan bestaat er een $\sigma \in G(L:K)$ zodat $\sigma (a)=b$.

Oefening 2

Zij $E$ een eindige normale uitbreiding van $\mathbb{\mathbb{Q}}$, met Galoisgroep $G(E:\mathbb{\mathbb{Q}})\cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,+$.

a) Bewijs dat er $a,b\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ bestaan zodat $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{a+\sqrt{b}})$.

b) Geef de stabiele velden t.o.v. $E$ en $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

Oefening 3

Geef een basis van de vectorruimte $\mathbb{\mathbb{Q}}(1+\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{3})$ over het veld $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3})$.

Eerste zit 2001-02

Oefening 1

Zij $K$ een eindige uitbreiding van het veld $\mathbb{\mathbb{Q}}$. zij $g(x_1,\dots ,x_n)$ een niet nul veelterm over $K$. Zij $A$ een deelverzameling van ${\mathbb{\mathbb{Q}}}^n$ en veronderstel dat $g$ nul is op elk element van $A$. Gebruik Galoistheorie om een niet nul veelterm $h(x_1,\dots ,x_n)$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ te construeren die nul is op elk element van $A$.

Eerste zit 2002-03

Oefening 1

Waar is niet waar? (Bewijs of geef een tegenvoorbeeld)

a) Zij $K\subset L$ een velduitbreiding van graad 2. Dan is $L$ normaal over $K$.

b) Zij $L=K(\alpha )$. als de uitbreidingsgraad $[L:K]$ oneven is, dan is $L=K({\alpha }^2)$.

Oefening 2

Zij $p\ne 2$ priem, en zij $\xi$ een complexe primitieve $p$-de eenheidswortel. dan is de Galoisgroep $G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})$ isomorf met de multiplicatieve groep ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$. Zij $\chi$ het unieke niet-triviale groepsmorfisme van ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$ naar {1,-1}, en stel $\alpha =\sum _{s=1}^{p-1}\chi (s){\xi }^s$.

a) toon aan dat er een uniek deelveld $K$ van $\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi )$ bestaat met uitbreidingsgraad 2 over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

b) Fixeer een isomorfisme $\psi :G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})\to {\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$. Bewijs dat, voor elk automorfisme $\sigma \in G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})$, het beeld van $\alpha$ onder $\sigma$ gelijk is aan $(\chi \circ \psi )(\sigma )$ maal $\alpha$.

c) toon aan dat $K=\mathbb{\mathbb{Q}}(\alpha )$.