Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.
=== Euclidische meetkunde ===
# Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van <math>\mathbb{E}^2</math> of <math>\mathbb{E}^3</math> moet classificeren.
# Definieer rotatie in <math>\mathbb{E}^2</math> en <math>\mathbb{E}^3</math>.
# Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
#
#* Definieer schroefbeweging en rotatie in <math>\mathbb{E}^3</math> en geef uitgebreid commentaar.
#* Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van <math>\mathbb{E}^3</math> een translatie of schroefbeweging is.
# Zij <math>F : \mathbb{E}^n \to \mathbb{E}^n</math> een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle <math>p,q \in \mathbb{E}^n</math>.
#: Bovendien is dan ook <math>t_b \circ G =G \circ t_b</math> en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van <math>\ker (F_* - I)</math>.
=== Krommen ===
# Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
# Bewijs dat een reguliere kromme in <math>\mathbb{E}^3</math> een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
#
#* In <math>\mathbb{E}^2</math>. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
#* Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
#
#* Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
#* Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
#
#* Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
#* Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
# Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
# Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.
Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van :
Zij S een niet-lege deelverzameling van . Toon aan: S is een affiene deelruimte van als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
Zij b, c twee vaste punten in en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
analytisch;
synthetisch.
(Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)
