Analyse II

Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof hecht hieraan wel wat belang. Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen.

Academiejaar 2008-2009

2009-16-01

Niet-officiële (maar wel juiste) pdf:

Media:ExamenAnalyseII2009.pdf

Academiejaar 2007-2008

2008-09-02

1. Beschouw de Hilbertruimte $L^2(\mathbb{ℝ},\lambda )$ uitgerust met de norm $||.|{|}_2$. Definieer $\omega :L^2(\mathbb{ℝ},)\lambda )\to \mathbb{ℂ}:\omega (f)=\underset{[0,1]}{\int }xf(x)d\lambda (x)$. Toon aan dat $\omega$ een goed gedefinieerde en continue lineaire afbeelding van $L^2(\mathbb{ℝ},\lambda )$ naar $\mathbb{ℂ}$ is. Bereken de norm $||\omega ||$.
2. Zij $f:[0,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$ een positief meetbare functie. Toon heel nauwkeurig aan dat $\underset{{\mathbb{ℝ}}^2}{\int }f(x^2+y^2)d\lambda (x,y)=\pi \underset{[0,+\mathrm{\infty })}{\int }fd\lambda .$
3. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare functie en veronderstel dat f eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat $\frac{1}{2\pi }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}\hat{f}(t)e^{itx}dt=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x+y)D_A(y)dy$ waarbij $D_A(y)=\frac{sin(Ay)}{\pi y}$.
   1. Toon nauwkeurig aan dat $li{m}_{A\to +\mathrm{\infty }}\underset{[-1,1]}{\int }{D}_A(y)dy=1$. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie $x\mapsto \frac{sinx}{x}$ oneigenlijk integreerbaar is op $\mathbb{ℝ}$ met oneigenlijke integraal gelijk aan $\pi$.
   2. Toon aan dat voor alle $x\in \mathbb{ℝ}$, $\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x+y)D_A(y)dy-f(x)\underset{[-1,1]}{\int }{D}_A(y)dy\to 0$ als $A\to +\mathrm{\infty }$. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle $x\in \mathbb{ℝ}$, $li{m}_{A\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}\hat{f}(t)e^{itx}dt=f(x)$.
4. In Definitie 1.11 definieerden we de norm $||A||$ van een n bij n matrix $A\in M_n(\mathbb{ℝ})$. Bewijs dat $||A||=sup\{|(A(x)).y||x,y\in {\mathbb{ℝ}}^n,||x||\le 1,||y||\le 1\}$. Hierbij noteerden we met . het gebruikelijke scalair product op ${\mathbb{ℝ}}^n$.
5. Verifieer de Stelling van Stokes voor het vectorveld $\mathbf{𝐕}(x,y,z)=(y,0,0)$ en het oppervlak O gegeven door $O=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3|x^2+y^2\le 1,z=e^x\}$.

2008-06-23

1. Zij $X$ een Banachruimte met norm $x\mapsto ||x||$. Zij $Y\subset X$ een deelruimte. Toon aan dat $Y$ uitgerust met de norm $y\mapsto ||y||$ een Banachruimte is als en slechts als $Y$ gesloten is in $X$.
2. Zij $f,g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ integreerbaar op $[0,2\pi ]$ en $2\pi$-periodisch. Voor welke $2\pi$-periodische functie $h:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ integreerbaar op $[0,2\pi ]$, geldt dat $\hat{h}(k)=\hat{f}(k)\hat{g}(k)$ voor alle $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$? Bewijs je antwoord.
3. Zij $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$ totaal afleidbaar en definieer $g:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:g(x,y)=||f(x,y)|{|}^2$, $h:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:h(x,y)=||f(x,y)||$. (a) Is $g$ altijd totaal afleidbaar? Zo ja, bewijs en geef een formule voor $(dg)(x,y)$. Zo nee, geef een tegenvoorbeeld. (b) Zelfde vraag voor $h$.
4. Noteer met $g_A:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ de functie gedefinieerd in Voorbeeld 4.29. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare, begrensde, gelijkmatige continue functie. toon de volgende uitspraak aan: als $A\to \mathrm{\infty }$, dan zal $\frac{1}{2\pi }\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(y)g_A(y)e^{ixy}dy\to f(x)$ uniform in $x\in \mathbb{ℝ}$. Hint: Dit is het analogon van de Stelling van Fejér voor Fouriertransformaties.
5. Verifieer de Stelling van Stokes voor het oppervlak ${𝒪}$ gegeven door ${𝒪}=\{(x,y,z)|0\le z\le 1,x^2+4y^2=z^4\}$ en het vectorveld $V(x,y,z)=(0,x,0)$.

2008-06-09

1. Zij $X=C([0,1],\mathbb{ℂ})$ de vectorruimte van de continue functies van $[0,1]$ naar $\mathbb{ℂ}$. $X$ is een genormeerde ruimte met $||f|{|}_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx$ Toon aan dat $(X,||\cdot |{|}_1)$ geen Banachruimte is.
2. Zij $f,g\in {{ℒ}}^1(\mathbb{ℝ})$. Toon aan dat $\widehat{(f*g)}=\hat{f}\hat{g}$.
3. Zij voor elke $a\in [0,1]:{\varphi }_a:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ een totaal afleidbare funtie. Maak de volgende aanname: Er bestaat een $M>0$ zodat voor alle $a\in [0,1],v\in {\mathbb{ℝ}}^n$ geldt dat $||(d{\varphi }_a)(v)||<M$. Definieer $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}:v\mapsto \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\varphi }_a(v)da$ . Bewijs dat deze functie totaal afleidbaar is en dat $(df)(u)(v)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(d{\varphi }_a)(u)(v)$ (Hint gebruik lemma 1.22 en laat je inspireren door propositie 2.60)
4. Zij $f:[0,1)\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \ln (1-x)x^n$. Bewijs nauwkeurig dat $f$ integreerbaar is. Toon ook aan dat $\underset{[0,1)}{\int }f(x)dx=-\frac{1}{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}$
5. Zij $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3|-\frac{\pi }{2}\le z\le \frac{\pi }{2}\wedge x^2+y^2\le {\cos }^{2}z\}$ en $\text{V}(x,y,z)=(0,y+z,0)$. Verifieer de divergentiestelling.

2008-01-21

De opgave van 21 januari 2008 in Kortrijk:

Analyse II examen 2008-01-21

Academiejaar 2006-2007

2007-08-27

Hier de pdf van professor Vaes:

Analyse II examen 08-27-2007

2007-01-26

1. Herinner de definities van de Beta en Gammafunctie (waren gegeven maar zijn vlug te vinden in de cursus analyse I). Bewijs dat $\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}^{x}B(x,y)=\mathrm{\Gamma }(x)$ (Hint: De substitutie $x\mapsto x/y$ doet wonderen.)
2. Toon aan dat $\sum _{k=-m}^n\hat{f}(k)e^{ikx}=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-y)D_{n,m}(y)dy$ met $D_{n,m}(y)=\frac{e^{i(n+\frac{1}{2})y}-e^{-i(m+\frac{1}{2})y}}{4\pi i\sin \frac{y}{2}}$. Toon aan dat deze reeks convergeert naar $\frac{1}{2}(f(x+)+f(x-))$ indien f linker- en rechterafleidbaar is. Je moet hierbij geen exact bewijs geven, eerder zorgvuldig argumenteren dat het bewijs van de stelling van Dirichlet mits een kleine aanpassing bruikbaar is. Noot van de redactie: tot mijn grote schaamte, moet ik toegeven dat wat je hier moet aantonen, alleen waar is wanneer $f$ continu is in $x$. Het probleem zit in het feit dat de integraal $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{D}_{n,m}(y)dy$ niet gelijk is aan $\frac{1}{2}$. Hopelijk gebeurt dit niet meer in de toekomst. Stefaan Vaes
3. Bekijk de Hilbertruimte $L^2([0,1],\lambda )$, met volgende vectoren e, f en h: $e(t)=1f(t)=th(t)=t^2$. Noteer K = span{e,f}. Bereken $P_K(h)$
4. Wanneer is de functie $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}:f(t)=\frac{1-e^{-t}}{t^{\alpha }}$ integreerbaar?
5. V(x,y,z) = (0,0,1-z) en $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid x^2+\frac{y^2}{4}<(1-z{)}^2,0<z<1\}$. Verifieer de divergentiestelling.

2007-01-22 (Kortrijk)

1. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to [0,+\mathrm{\infty }]$ meetbaar en zij $A=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2|0<y<f(x)\}$.
   Bewijs dat A een Borelverzameling is en dat $\lambda (A)=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x)dx$.
2. Definieer de functie $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}:y\mapsto \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y\arctan x\exp (-xy)dx$.
   Bewijs dat deze functie continu is in y, als y verschillend is van 0. Bewijs ook dat de functie discontinu is in 0.
   (Hint: het geval waarbij y = 0 is een beetje moeilijker: je kan in dat geval de substitutie $x\mapsto x/y$ gebruiken.)
3. Geef de beste benadering in ${\mathbf{𝐋}}^2([0,2\pi ],\lambda )$ voor $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto x$ als lineaire combinatie van de twee functies $e:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \sin x$ en $h:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \cos 3x$.
4. Bepaal alle waarden van $\alpha \in \mathbb{ℝ}$ en $\beta \in \mathbb{ℝ}$ zodanig dat de functie $f:]0,1]\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \frac{\alpha -\cos x}{x^{\beta }}$ integreerbaar is.
5. Verifieer de stelling van Stokes voor het vectorveld $\mathbf{𝐕}(x,y,z)=(0,x,0)$ en het oppervlak $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid x^2+y^2+z=1,z\ge 0\}$.

2007-01-19

1. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een begrensde, Borel-meetbare functie en zij $g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare functie. Bewijs dat de convolutie $f*g$ continu is. Je mag hierbij gebruik maken van de variant van Lemma 4.35 waarbij $g\in {{ℒ}}^1(\mathbb{ℝ})$.
   1. Bijvraagje: kan je de uitspraak veralgemenen naar de Banachruimten ${{ℒ}}^p(\mathbb{ℝ})$ en ${{ℒ}}^q(\mathbb{ℝ})$, voor sommige waarden van p en q?
2. Definieer de functie $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}:y\mapsto \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y\sin x\exp (-xy)dx$. Bewijs dat deze functie continu is.
   (Hint: behandel eerst het geval waarbij y verschillend is van 0. Het geval waarbij y = 0 is een beetje moeilijker: je kan in dat geval de substitutie $x\mapsto x/y$ gebruiken.)
3. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ de $2\pi$-periodische functie die voldoet aan $f(x)=\frac{1}{\pi }(x^2-x)$ voor $0\le x<2\pi$. Zij ${\left(s_n\right)}_n$ de rij van partieelsommen, zoals gedefinieerd in Lemma 4.3. Convergeert de rij ${(s_n(0))}_n$? Zo ja, bepaal de limiet. Bewijs je antwoord.
4. Bepaal alle waarden van $\alpha >0$ en $\beta \in \mathbb{ℝ}$ zodanig dat de functie $f:]0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \frac{\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Bgtan</mrow>}\left(x^{\alpha }\right)}{x^{\beta }}$ integreerbaar is.
5. Verifieer de stelling van Stokes voor het vectorveld $\mathbf{𝐕}(x,y,z)=(0,x,0)$ en het oppervlak $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid x^2+y^2+z^2=4,z\le 1\}$.

Ouder

2006-09-05

1. Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
   1. Bewijs het lemma op p 17: $||AB|{|}_{som}\le ||A|{|}_{som}||B|{|}_{som}$
   2. Onderaan p 18 concluderen we dat ${\varphi }_y$ een contractie is. Voor welke metriek is dit?
   3. Brengen volgende verzamelingen de Borel-$\sigma$-algebra op ${\mathbb{ℝ}}^2$ voort? Bewijs.
      1. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}$
      2. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}\cup \{\mathbb{ℝ}\times [c,d]|c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
      3. $\{[a,-a]\times [c,d]|a,c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
   4. Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
2. Neem $D_{\alpha }=\{0<y,0<x<y^{\alpha }<1\}\subset {\mathbb{ℝ}}^2$. Neem $f=\frac{1}{(x+y{)}^2}$. Voor welke $\alpha$ is $\underset{D_{\alpha }}{\int }fd\lambda <\mathrm{\infty }$?
3. Een stuk theorie, analoog aan de stelling van Dirichlet (maar met $C^1$ functies) afleiden in enkele stapjes. De exacte vraag weet ik niet meer.
4. Stel $V=(3x,2z,1)$, $K=\{(x,y,z)\in \mathbb{ℝ}:x^2+y^2\le z^2/4\}$
   1. Bewijs dat $\underset{\delta K}{\int }\mathbf{𝐕}\cdot \mathbf{𝐧}=3$.
   2. Verifieer de divergentiestelling voor $\mathbf{𝐕}$ en $K$.

Oudere examens

oudere examens