Algebraïsche meetkunde

Examen van 16 januari 2009

Theorie

• Zijn $f,g\in \mathbb{ℝ}(t)$ en $\lambda \in \mathbb{ℝ}\setminus \{0,1\}$ zodat $g^2=f(f-1)(f-\lambda )$. Bewijs dat $f$ en $g$ constant zijn.

• Zijn $V\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^n,W\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^m$ variëteiten over een algebraïsch gesloten veld $k$. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen
  • de veeltermafbeeldingen $f:V\to W$
  • de $k$-algebrahomomorfismes $\phi :k[W]\to k[V]$.

• Formuleer
  • de definitie van de lokalisatie van een ring t.o.v. een multiplicatief gesloten deel van die ring
  • de meetkunde interpretatie van de stelling van Lüroth (de stelling is gegeven)
  • de definitie van de homogene coördinatenring van een projectieve variëteit.

Oefeningen

• (wordt nog aangevuld)
• Zij $k$ een algebraïsch gesloten veld en zij $V=V(XW-YZ)\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^4$.
  • Bewijs dat $V$ een irreducibele affiene variëteit is.
  • Definieer de rationale functie $f=x/y$ op $V$. Bepaal het domein van $f$?
• Zij $V=V(F)\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^2$ een affiene variëteit over een algebraïsch gesloten veld $k$, met $F\in k[X,Y]$ een irreducibele veelterm en $|V(F)|=+\mathrm{\infty }$. Zij $P$ een niet-singulier punt van $V$. Bewijs dat elke rationale afbeelding $f:V-\to {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^2$ regulier is in $P$.
• Gegeven acht verschillende punten $P_1,P_2,\cdots ,P_8$ in het projectieve vlak waarvan er vier collineair zijn, maar geen vijf. Wanneer bepalen deze acht punten onafhankelijke voorwaarden op de coëfficiënten van derdegraadskrommen in het projectieve vlak?