|
|
| Regel 1: |
Regel 1: |
| [[Afbeelding:FrankiDillen.jpg|right|]] | | #REDIRECT [[Meetkunde 1]] |
| | |
| == Examens ==
| |
| | |
| === 18 januari 2008 ===
| |
| | |
| Theorievragen:
| |
| # Definieer rotatie in de Euclidische ruimte <math>\mathbb{E}^2</math> en bespreek uitvoerig. Classificeer in <math>\mathbb{E}^2</math> de orientatiebewarende isometriëen (met bewijs).
| |
| # Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde ruimtekrommen.
| |
| | |
| Oefeningen:
| |
| | |
| # Gegeven twee rechten: <math>l_1</math> voldoet aan <math>x+y-8z+6=0</math> en <math>x+2y-13z+10=0</math> terwijl <math>l_2</math> voldoet aan <math>x-z+2=0</math> en <math>y-6=0</math>.
| |
| #* Bewijs dat deze twee rechten kruisen
| |
| #* Geef de rechte met richting <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> die beide rechten snijdt.
| |
| #* Voor welke richtingen kan je zo een rechte construeren die <math>l_1</math> en <math>l_2</math> snijdt?
| |
| # Zij <math>F: \mathbb{E}^3 \to \mathbb{E}^3 :\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}1-p_3 \\ 1+p_2 \\ 3-p_1\end{pmatrix}</math>.
| |
| #* Welk type isometrie uit de classificatie is F?
| |
| #* Beschrijf deze isometrie volledig.
| |
| # Gegeven is de krommingsfunctie <math>\kappa(s)</math> van een kromme <math>\beta</math> en 4 grafieken, je moet zeggen welke grafiek bij <math>\beta</math> hoort en argumenteren.
| |
| # Zij <math>\beta</math> een booglengtegeparametriseerde kromme op het oppervlak van een sfeer die als middelpunt de oorsprong heeft en waarvoor geldt dat <math>\kappa ' \neq 0</math>. Bewijs dat <math>\beta (s) = \frac{-1}{\kappa(s)}N(s) + \frac{\kappa '(s)}{(\kappa(s))^2 \tau(s)}B(s)</math>
| |
| | |
| === 2007-06-11 ===
| |
| | |
| Theorievragen:
| |
| # Definieer rotatie in de Euclidische ruimte <math>\mathbb{E}^2</math> en bespreek uitvoerig. Classificeer in <math>\mathbb{E}^2</math> de orientatiebewarende isometrieen.
| |
| # Definieer cilinderschroeflijnen en cirkelschroeflijnen in <math>\mathbb{E}^3</math>. Bespreek. Formuleer en bewijs de nodige en voldoende voorwaarde voor cilinderschroeflijnen in verband met de kromming en de torsie
| |
| | |
| | |
| Oefeningen:
| |
| # Zij <math>l_1 </math> , <math>l_2</math> en <math>l_3</math> drie rechten in <math>\mathbb{A}^2</math> concurrent in een punt <math>P</math>. Beschouw twee rechten <math>a</math> en <math>b</math> niet door <math>P</math> en die alle <math>l_i</math> snijden. We noemen <math>A_i = a \cap l_i</math> en <math>B_i = b \cap l_i</math>. Bewijs dat <math>(A_1, A_2, A_3) = (B_1, B_2, B_3)</math> asa <math>a \| b </math>
| |
| # In <math>\mathbb{E}^3</math> de rechte <math>\ell \leftrightarrow x - y + 3z = 8 \mbox{ en } x + y -7z = -10 </math>. Toon aan dat er juist één <math>\mu</math> is zodat <math>\ell</math> loodrecht staat op het vlak <math>2x + \mu y +z = 2</math>. Zoek <math>\mu</math> en zoek de doorsnede van het vlak met <math>\ell</math>
| |
| # Een schets van een kromme, met vier mogelijkheden voor de kromming. Je moest de juiste er uithalen en argumenteren waarom.
| |
| # <math>\beta</math> een cirkelschroeflijn. Zij <math>\alpha = \beta + T_{\beta}</math>. Zoek de kromming en torsie van <math>\alpha</math> en concludeer dat dat ook een cirkelschroeflijn is.
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| === 2006-09-01 ===
| |
| | |
| Theorievragen:
| |
| # Definieer spiegeling en schuifspiegeling in de Euclidische ruimte <math>\mathbb{E}^n</math>. Toon aan dat elke isometrie in <math>\mathbb{E}^2</math> een translatie, een rotatie of een schuifspiegeling is.
| |
| # Bewijs dat een cirkel in <math>\mathbb{E}^n</math> een constante kromming heeft. Toon dan aan dat een reguliere kromme in <math>\mathbb{E}^2</math> met een constante kromming een deel van een rechte of een deel van een cirkel is.
| |
| | |
| | |
| Oefeningen:
| |
| #
| |
| #* Toon aan dat de vlakken V: <math>x-3y-1 = 0</math> en <math>2y-2+7=0</math> en W: <math>x-2y-1=0</math> en <math>4y-w+2=0</math> in <math>\mathbb{A}^4</math> snijden in één punt.
| |
| #* Bepaal het hypervlak door dit punt dat zwak parallel is met de rechte X: <math>x-3y-5=0</math> en <math>y-z+6=0</math> en <math>4y-w+2=0</math> en het vlak Y: <math>2x+y-z-1=0</math> en <math>w-4=0</math>.
| |
| # Bewijs of geef een tegenvoorbeeld over de volgende uitspraken over isometrieën in <math>\mathbb{E}^3</math>
| |
| #* De samenstelling van 2006 translaties is terug een translatie.
| |
| #* De samenstelling van 2006 schuifspiegelingen (t.o.v. een spiegelvlak) is terug een schuifspiegeling (t.o.v. een spiegelvlak).
| |
| #* De samenstelling van 2006 schroefbewegingen is terug een schroefbeweging.
| |
| # Stel <math>\mathbb{H}^2</math> het hyperbolisch vlak gegeven door <math>{(x,y) \in \mathbb{A}^2 | y>0}</math> waarbij elke rakende ruimte wordt uitgerust met het scalair product <math>v_{(x,y)}\cdot w_{(x,y)} := \frac{1}{y^2}(v_1w_1+v_2w_2)</math>. Voor elke <math>\epsilon \geq 0</math> beschouwen we de kromme <math>\alpha_\epsilon : ]-1,1[ \rightarrow \mathbb{H}^2 : t \rightarrow \alpha_\epsilon (t) = (t,1+\epsilon+t.\epsilon) (t \leq 0) \ \ of \ \ (t,1+\epsilon-t.\epsilon) (t > 0)</math>
| |
| #* Schets de krommen <math>\alpha_0</math>, <math>\alpha_{0,5}</math> en <math>\alpha_1</math>.
| |
| #* Bereken de lengte <math>L_\epsilon</math> van <math>\alpha_\epsilon</math>.
| |
| #* Argumenteer dat <math>L_\epsilon</math> een minimum bereitk tussen <math>\epsilon=0,3</math> en <math>\epsilon=0,5</math>en interpreteer meetkundig.
| |
| # Zij <math>\beta</math> een booglengtegeparametriseerde kromme in <math>\mathbb{E}^3</math> met een constante kromming verschillend van 0 die op een boloppervlak ligt. Tton aan dat <math>\beta</math> (een deel van) een cirkel is.
| |
| | |
| === 2006-06-22 ===
| |
| | |
| Theorievragen:
| |
| #
| |
| #* Definieer rotatie en schroefbeweging in de Euclidische ruimte <math>\mathbb{E}^3</math> en bespreek uitvoerig.
| |
| #* Classificeer alle oriëntatiebewarende isometriën van <math>\mathbb{E}^3</math>.
| |
| #
| |
| #* Geef de definitie van een cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
| |
| #* Geef en bewijs de karakterisatie van cirkelschroeflijnen aan de hand van hun kromming en torsie.
| |
| | |
| Oefeningen:
| |
| # Gegeven: 2 rechten in <math>\mathbb{A}^3</math>. (De vergelijkingen van de rechten weet ik niet meer.) Toon aan dat deze rechten kruisend zijn en geef de recht met richting (1,1,-2) die beide rechten snijdt.
| |
| #
| |
| #* Zij <math>\theta \in \mathbb{R}</math> en <math>p \in \mathbb{E}^2</math>. Definieer in <math>\mathbb{E}^2</math> de rechten <math>l_1 = p + \mbox{vct}\{(1,0)\}</math> en <math>l_2 = p + \mbox{vct}\{(\cos \theta, \sin \theta)\}</math>. Zij <math>S_1</math> de spiegeling rond de rechte <math>l_1</math> en <math>S_2</math> de spiegeling rond de rechte <math>l_2</math>. Bewijs dat <math>S_2 \circ S_1</math> een rotatie is, en geef het centrum en de rotatiehoek.
| |
| #* Bewijs dat elke rotatie in <math>\mathbb{E}^2</math> geschreven kan worden als samenstelling van twee spiegelingen. Is deze ontbinding uniek?
| |
| # Gegeven een grafiek van een kromme <math>\beta(t)</math> en gegeven vier mogelijke functies voor <math>\kappa(t)</math>. Welke <math>\kappa(t)</math> hoort bij <math>\beta(t)</math>. Je moest kijken naar het feit dat <math>\kappa(t)</math> van teken moest veranderen en zijn gedrag rond nul.
| |
| # Gegeven: volgende kromme in <math>\mathbb{E}^3</math>: <math>\beta(t) = a\left(1 + \cos(t), \sin(t),2\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>.
| |
| #*Bewijs dat het beeld van deze kromme gelegen is op de de doorsnede van de cilinder met als vergelijking <math> (x-a)^2 + y^2 = a^2</math> en de sfeer met als vergelijking <math>x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2 </math>.
| |
| #* Toon aan dat <math> \beta </math> regulier is.
| |
| #* Toon aan dat de kromming en torsie worden gegeven door <math>\kappa(t) = \frac{\sqrt{13 + 3 \cos t}}{a \cdot (3 + \cos t)^{3/2}}</math> en <math> \tau = \frac{6 \cos \frac{t}{2}}{a \cdot (13 + 3 \cos t)} </math>.
| |
| | |
| | |
| === 2006-06-15 ===
| |
| | |
| Theorievragen:
| |
| #
| |
| #* Definieer rotatie in de Euclidische ruimte <math>\mathbb{E}^3</math> en bespreek uitvoerig.
| |
| #* Classificeer alle oriëntatiebewarende isometriën van <math>\mathbb{E}^3</math>.
| |
| #
| |
| #* Definieer en bespreek het Frenet-apparaat (referentiestelsel, kromming) van vlakke krommen. Geef en bewijs ook de formules van Frenet voor vlakke krommen.
| |
| #* Geef en bewijs de karakterisatie van cirkels aan de hand van hun kromming.
| |
| | |
| Oefeningen:
| |
| # Zij <math>A_1, A_2, A_3</math> drie punten van <math>\mathbb{A}^2</math>.
| |
| #* Bewijs dat er een uniek drietal punten <math>B_1, B_2, B_3</math> bestaat, zodat <math>A_1</math> het midden is van <math>B_1</math> en <math>B_2</math>, <math>A_2</math> het midden is van <math>B_2</math> en <math>B_3</math> en <math>A_3</math> het midden is van <math>B_3</math> en <math>B_1</math>.
| |
| #* Als <math>A_1, A_2</math> en <math>A_3</math> affien onafhankelijk zijn, geef en bewijs dan een methode om <math>B_1, B_2</math> en <math>B_3</math> te construeren.
| |
| #
| |
| #* Zij <math>\theta \in \mathbb{R}</math> en <math>p \in \mathbb{E}^2</math>. Definieer in <math>\mathbb{E}^2</math> de rechten <math>l_1 = (0,0) + \mbox{vct}\{(\cos \theta, \sin \theta)\}</math> en <math>l_2 = p + \mbox{vct}\{(\cos \theta, \sin \theta)\}</math>. Zij <math>S_1</math> de spiegeling rond de rechte <math>l_1</math> en <math>S_2</math> de spiegeling rond de rechte <math>l_2</math>. Bewijs dat <math>S_2 \circ S_1</math> een translatie is, en bepaal ook de vector waarover getransleerd wordt.
| |
| #* Bewijs dat elke translatie in <math>\mathbb{E}^2</math> geschreven kan worden als samenstelling van twee spiegelingen. Is deze ontbinding uniek?
| |
| # Beschouw een booglengtegeparametriseerde kromme <math>\beta : \mathbb{R} \to \mathbb{E}^2</math> met als intrinsieke vergelijking <math>\! \kappa(s) = e^{-s} + \mbox{bgtg } s - 2</math>. Welke van de vier volgende afbeeldingen geeft (een deel van) het beeld van <math>\beta</math> weer? Motiveer je antwoord. ''(Dan zijn vier grafieken gegeven. Het antwoord is te vinden door de grootte van de kromming als <math>s \to \pm \infty</math> te bekijken, samen met de observatie dat de kromming van teken verandert.)''
| |
| # Beschouw de kromme <math>\alpha : \mathbb{R} \to \mathbb{E}^3 : t \to \left(\sin (t^2), \sin (t^2), \cos (t^2)\right)</math>. Bepaal de kromming en de torsie van deze kromme.
| |
| | |
| | |
| === 2005-06-?? ===
| |
| (Wiskunde, reeks 1)
| |
| | |
| Theorievragen:
| |
| # Definieer "schroefbeweging" en "rotatie" in <math>\mathbb{E}^3</math> en geef uitgebreid commentaar.<br />Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van <math>\mathbb{E}^3</math> een translatie of schroefbeweging is.
| |
| # Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
| |
| | |
| Oefeningen:
| |
| #
| |
| #* Gegeven zijn affiene deelruimten S = p + V en T = q + W van <math>\mathbb{A}^n</math>, met <math>S \cap T = \emptyset</math>. Toon aan dat de dimensie van de kleinste affiene deelruimte van <math>\mathbb{A}^n</math> die S en T omvat gelijk is aan dim(V + W) + 1
| |
| #* Beschouw in <math>\mathbb{A}^5</math> de vlakken gegeven door <math>x_2 = 0,\ x_4 = 0,\ x_5 = 1</math> enerzijds en <math>x_1 = 0,\ x_4 = 1,\ x_5 = 0</math> anderzijds. Bepaal de kleinste affiene deelruimte van <math>\mathbb{A}^5</math> die deze vlakken omvat.
| |
| # Gegeven is de isometrie <math>F: \mathbb{E}^2 \to \mathbb{E}^2: \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}-3/5 & -4/5 \\ -4/5 & 3/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}</math>.
| |
| #* Welk type isometrie uit de classificatie is F?
| |
| #* Beschrijf deze isometrie volledig: geef centrum en hoek voor een rotatie, spiegelas en translatiedeel in de richting van de as voor een schuifspiegeling.
| |
| # Bekijk de booglengtegeparametriseerde vlakke kromme <math>\beta(s) = \left(\int_0^s \cos(\ln t)\,dt,\ \int_0^s \sin(\ln t)\,dt\right).</math><br />Verifieer dat de evoluut van deze kromme eveneens booglengtegeparametriseerd is.
| |
| # Zij <math>\beta: \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{E}^3: s \mapsto \beta(s)</math> een boogelengtegeparametriseerde kromme met <math>\kappa_{\beta} > 0</math> en definieer <math>\alpha(s) = \beta(s) - s \beta'(s)</math>.
| |
| #* Verifieer dat <math>\alpha</math> regulier is, maar niet noodzakelijk booglengtegeparametriseerd.
| |
| #* Stel dat <math>\alpha</math> een vlakke kromme is. Bewijs dat <math>\beta</math> een cilinderschroeflijn is.
| |
| | |
| == Theorievragen ==
| |
| Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.
| |
| | |
| === Euclidische meetkunde ===
| |
| | |
| # Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van <math>\mathbb{E}^2</math> of <math>\mathbb{E}^3</math> moet classificeren.
| |
| # Definieer rotatie in <math>\mathbb{E}^2</math> en <math>\mathbb{E}^3</math>.
| |
| # Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
| |
| #
| |
| #* Definieer schroefbeweging en rotatie in <math>\mathbb{E}^3</math> en geef uitgebreid commentaar.
| |
| #* Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van <math>\mathbb{E}^3</math> een translatie of schroefbeweging is.
| |
| # Zij <math>F : \mathbb{E}^n \to \mathbb{E}^n</math> een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle <math>p,q \in \mathbb{E}^n</math>.
| |
| # Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie <math>t_b</math> zodat
| |
| #* <math>F = t_b \circ G</math>
| |
| #* <math>V(G) \neq \emptyset</math>
| |
| #* <math>G_* b = b</math>
| |
| #: Bovendien is dan ook <math>t_b \circ G =G \circ t_b</math> en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van <math>\ker (F_* - I)</math>.
| |
| | |
| === Krommen ===
| |
| | |
| # Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
| |
| # Bewijs dat een reguliere kromme in <math>\mathbb{E}^3</math> een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
| |
| #
| |
| #* In <math>\mathbb{E}^2</math>. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
| |
| #* Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
| |
| #
| |
| #* Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
| |
| #* Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
| |
| #
| |
| #* Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
| |
| #* Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
| |
| # Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
| |
| # Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.
| |
| | |
| == Tussentijdse toetsen ==
| |
| | |
| === 2006-04-?? ===
| |
| # Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van <math>\mathbb{A}^4</math>:<br /><math>x_1 - x_3 - x_4 = -1</math><br /><math>x_1 + x_2 - 2 x_3 = 1 </math><br /><math> x_2 - x_3 + x_4 = 2 </math><br /><math> x_1 + 3 x_2 - 4 x_3 + 2 x_4 = 5 </math>
| |
| # Zij S een niet-lege deelverzameling van <math>\mathbb{A}^n</math>. Toon aan: S is een affiene deelruimte van <math>\mathbb{A}^n</math> als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
| |
| # Zij b, c twee vaste punten in <math>\mathbb{A}^2</math> en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
| |
| #* analytisch;
| |
| #* synthetisch.
| |
| #:(Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)
| |
| | |
| | |
| [[Categorie:2bw]]
| |
| [[Categorie:2bf]]
| |
