Algebra I

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Inleiding

Algebra I is een vak ter waarde van 7 studiepunten, gegeven door professor Veys. De cursus bestaat uit ongeveer 130 bladzijden theorie en een aparte oefeningenbundel van ongeveer 20 bladzijden, beide verkrijgbaar bij Wina.

De leerstof is onder te verdelen in 4 stukken: groepen, ringen, velden en lineaire algebra. Voorkennis van Algebraïsche structuren is erg handig maar niet strikt noodzakelijk.

Het examen bestaat uit 3 theorievragen en 4 oefeningen. De theorie is gesloten boek. De vragen komen letterlijk uit de cursus en twee ervan moeten later mondeling uitgelegd worden. Hij leest wel eerst je antwoorden, dus het is wel degelijk nodig dat je alles nauwkeurig uitschrijft. De derde theorievraag is enkel schriftelijk. ALs je je theorie hebt afgegeven (na 1,5 uur ofzo), mag je je cursus bovenhalen en aan de oefeningen beginnen. Deze zijn puur schriftelijk. Je kan dus voor het mondeling nog eens in je cursus kijken naar de bewijzen.

Als je mondeling gedaan is stelt hij typisch nog wat "snelheidsvraagjes" om je inzicht te testen. Daarna mag je verder doen aan de oefeningen.

Je krijgt alles bij elkaar 5 uur tijd.

Eerste zit 21/01/09, Wiskunde

Theorie

• Bewijs de Stelling van Cayley: Elke groep is isomorf met een permutatiegroep
• Zij R een commutatieve ring met eenheidselement en I een ideaal van R. Bewijs: R/I is een veld asa I is maximaal. (Volledig Schriftelijk)
• Gegeven: Een veld K heeft een algebraïsche uitbreiding K1 zodat elke niet constante veelterm in K[X] een wortel heeft in K. Bewijs: Elk veld heeft een algebraïsche sluiting.

Oefeningen

• x en y zijn voortbrengers van de groep G. x^8 = y^2 = yxyx^3 = 1
  • Toon aan dat elk element van G van de vorm x^i y^j is. Toon aan dat elk element maximaal orde 16 heeft.
  • Zij |G|=16. Bepaal de orde van xy. Bepaal het centrum van G. Toon aan dat G oplosbaar is.
  • Toon aan dat elke groep van orde 4 dezelfde vorm als G heeft. Geldt ook voor elke groep van orde 8?
• Waar of vals, geef voldoende uitleg:
  • Zij R = IR^(2x2)(Dus reele matrices). Voor elke f,g uit R[X] geldt deg(f*g) = deg(f) + deg(g)
  • Zij R de directe som van S en T. Als R een eenheidselement heeft, hebben S en T ook een eenheidselement.
• • Hoeveel monische irreducibele veeltermen van graad 3 heeft Z_3[X].
  • Toon aan dat f(X) = X^2 + 2X + 1 irreducibel is. Wat is de orde van F = Z[X]/(f)?
  • Zij O = {ord(g)|g element van F^x}. Geef voor elke n element van O een element g uit F met deze orde.
• • Voor welke n bestaat er een matrix uit C^(n x n) zodat de minimale veelterm (x-1)(x-2)^2(x-3)^3
  • Zij A een nilpotente matrix van C^(6*6). Zij dim(ker(A^2))= 4. Geef alle mogelijke invariante systemen van A.

Eerste zit 28/01/08, Wiskunde

Theorie

• Formuleer en bewijs de tweede isomorfismestelling. (als je wou kon je de formulering van de stelling kopen voor 0,5 punten. Ze later aan andere mensen doorverkopen voor 0.25 punten was dan weer niet toegestaan.) - deze vraag was enkel schriftelijk, werd dus niet mondeling behandeld.
• Bewijs:
  • Het aantal elementen van een eindig veld is van de vorm $p^r$.
  • Er bestaat een veld met $p^r$ elementen, namelijk een ontbindingsveld van ... over ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$.
• Bewijs dat diagonaliseerbaar zijn equivalent is met een minimale veelterm die volledig ontbindbaar is in onderling verschillende lineaire termen.
• Snelheidsvraagje: Waar of niet waar? Bespreek beide pijlen van de equivalentie.

"Zij R een ring met 1:

u en v hebben een inverse a.s.a. uv heeft een inverse"

En wat als de ring commutatief is?

Oefeningen

• Bewijs de stelling van Cauchy m.b.v. volledige inductie. (Zij G een groep met orde n, een veelvoud van een priemgetal p. Dan bestaat er een element in G dat orde p heeft. We bewijzen het met volledige inductie op $\alpha =n/p$
  • Bewijs de basistap, $\alpha =1$
  • Dan plaatste hij de inductiehypothese (geldt voor alle velden met kleinere $\alpha$) En vertelde hij dat we het uit het ongerijmde gingen bewijzen (veronderstel dat G geen element van orde p heeft). Ook plaatste hij hier dat we wisten dat G geen commutatieve groep was (uit de oefenzittingen).
  • Bewijs dat het aantal elementen van een niet triviale conjugatieklasse een veelvoud is van p
  • Bewijs dat het aantal elementen van Z(G) een veelvoud is van p
  • Beëindig je bewijs met een contradictie
• Zij $R=\mathbb{\mathbb{Z}}[X,Y]/(XY-1)$
  • Is $(\overline{1-X})$ een eenheid?
  • Is $(\bar{X})$ een maximale ideaal?
  • Bewijs dat R isomorf is met $\mathbb{\mathbb{Z}}[X,\frac{1}{X}]$. Hint: je mag hierbij veronderstellen dat elke $f\in \mathbb{\mathbb{Z}}[X,Y]$ te schrijven is als $f=\sum _{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}\sum _{\begin{array}{c}(i,j)\in I\\ j=i+n\end{array}}{a}_{ij}{X}^i{Y}^j$ met $I\subset {\mathbb{\mathbb{N}}}^2$ een eindig gebied.
  • Bepaal het breukenveld van R. (indien je c niet gemaakt had mocht je deze natuurlijk wel doen en c hierbij gebruiken)
• Zij $f=x^4+4x^2-2\in \mathbb{\mathbb{Z}}[X]$
  • bewijs dat f irreducibel is over $\mathbb{\mathbb{Q}}$
  • geef een ontbindingsveld $E\subset \mathbb{ℂ}$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$
  • bereken $[E:\mathbb{\mathbb{Q}}]$ (Deze laatste van de drie vraagjes was beduidend belangrijker dan de andere 2, en dit werd er ook bij gezegd)
• Een jordanvorm (6*6) (zonder parameters) Hierbij waren 4 verschillende hogere machten (vb ${(A-3I_6)}^3$ gegeven, waarvan er "minstens 1" nuttig was.

Eerste zit 2007-2008 Fysica, 15/01/2008

Theorie

• Factorisatiestelling (schriftelijk)
• Zij V een complexe vectorruimte en A een lineaire transformatie van V, op deze vectorruimte rust het hermitisch inprduct
  • gegeven: de decompositiestelling en een nuttig resultaat over minimale veeltermen en normale afbeeldingen A
  • Bewijs: A is normaal asa. Er een orthogonale basis van eigenvectoren van A bestaat
• Stelling van Bezout in een HID
• Snelheidsvraagjes: $\mathbb{ℝ}[X,Y]$, geef de grootste gemene deler van X en Y (ben het tweede vraagje vergeten vrees ik)
• Ander snelheidsvraagje: Zij F(q) een eindig veld met q elementen. Bekijk dan de additieve en multiplicatieve groepen F(q),+ en UF(q),. Welke zijn dan cyclisch?

Oefeningen

1

• Bewijs of geef een tegenvoorbeeld: Er bestaat geen groep van orde 8 met maar één element van orde 4
• Zij G een niet cyclische groep van orde 8 met precies twee elementen van orde 4, toon aan dat G isomorf is met ${\mathfrak{𝔇}}_4$

2

Waar of niet waar?(argumenten)

• $f:\mathbb{\mathbb{Z}}\to {\mathbb{\mathbb{Z}}}_6:x\to \overline{4x}$ is een goed gedefinieerd ringmorfisme
• $\frac{{\mathbb{\mathbb{Z}}}_2[X]}{(x^5+x^4+1)}$ is een veld

3

Bereken $[\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[4]{2008},\sqrt[6]{2008}):\mathbb{\mathbb{Q}}]$

4

Een jordanvorm

Tweede zit 2006-07, 30-08-07

Theorievragen

• Morfismestelling van groepen bewijzen (schriftelijk)
• Stelling van Kronecker
• A** = A
• Snelheidsvraagje: geef alle idealen van $\mathbb{\mathbb{Z}}$. en de priemidealen? en de maximale idealen?

Oefeningen

• een groep G, normaaldeler N en een deelgroep M die N omvat.
  • Bewijs dat: als $M/N\subset Z(G/N)$ dan $grp\{m*g*m^{-1}*g^{-1}\mid \mathrm{\forall }m\in M,\mathrm{\forall }g\in G\}\subset N$
  • als nu $M/N=Z(G/N)$ geldt dan dat $grp\{m*g*m^{-1}*g^{-1}\mid \mathrm{\forall }m\in M,\mathrm{\forall }g\in G\}=N$?? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld
• Een ring $R,+,.$ heeft een priemideaal $P$ en twee idealen $A$ en $B$.

Bewijs dat als $A\cap B=P$ dat dan $A=P$ of $B=P$

• $\omega$ is de derde eenheidswortel en $\xi$ is de wortel van $2+\omega$.
  • a) Wat is de relatie tussen de velden $\mathbb{\mathbb{Q}}(\omega )$ en $\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi )$.
  • b) Bereken $[\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ):\mathbb{\mathbb{Q}}]$
• Ne jordanvorm...

Eerste zit 2006-07, Fysica, 30-01-2007

Theorievragen

1. Zij $G$ een eindige groep en $a\in G$. Definieer $C_G(a)$ en $Cl(a)$. Bewijs dat $|Cl(a)|=\frac{|G|}{|C_G(a)|}$.
   1. Bijvraagje: Is $Cl(a)$ een deelgroep? en $C_G(a)$? Wat als $G$ niet eindig is?
2. Bewijs dat het aantal elementen van een eindig veld steeds ...(aanvullen en bewijzen)
3. Zij $V$ een $\mathbb{ℂ}$-vectorruimte en ${𝒜}$ een lineaire afbeelding.
   • Gegeven: We weten hoe decompositie van $V$ over ${𝒜}$ ineen zit.
   • Bewijs: ${𝒜}$ is diagonaliseerbaar asa de minimale veelterm van ${𝒜}$ ...(vul aan en bewijs)
4. Snelheidsvraagje:
   • Welke inclusies gelden er tussen ${\mathbb{𝔽}}_2$, ${\mathbb{𝔽}}_4$, ${\mathbb{𝔽}}_6$ en ${\mathbb{𝔽}}_8$?
   • Wat is ${\mathbb{𝔽}}_{16}\cap {\mathbb{𝔽}}_{64}=?$

Oefeningen

1. 1. Toon aan dat $G=\{\left(\begin{array}{cc}b& c\\ 0& d\end{array}\right)|b,d\in {\mathbb{\mathbb{Q}}}_0,c\in \mathbb{\mathbb{Q}}\}$ met de gewone matrixvermenigvuldiging een groep is.
   2. Toon aan dat $N=\{\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)|a\in \mathbb{\mathbb{Q}}\}$ een normaaldeler is van $G$
   3. Met welke 'bekende' groep is $G/N$ isomorf?
2. Beschouw de ring $\mathbb{ℝ}[x,y]$.
   1. Geef een ideaal dat geen priemideaal is, en leg uit waarom.
   2. Geef een maximaal ideaal en toon dat aan.
3. 1. Toon aan dat $\sqrt[3]{5}\in ̸\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2})$ door het probleem te herleiden tot de oplosbaarheid van een stelsel in $\mathbb{\mathbb{Q}}$. (Hint: Een stelsel moet niet lineair zijn.)
   2. Wat is $[\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{5}):\mathbb{\mathbb{Q}}]$?
   3. Geef een basis van $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{5})$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$
4. Stel $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 3& 4& 1\\ 3& 2& 3\end{array}\right)$

   Zoek een inverteerbare matrix P en een Jordanmatrix J zodat $P^{-1}AP=J$.

Eerste zit 2006-07, Wiskunde, 15-01-2007

Theorievragen

1. Zij $\sigma \in {𝒮}$. Geef en bewijs de formule voor de orde van $\sigma$ in ${𝒮},\circ$ in termen van de disjuncte cykelschrijfwijze van $\sigma$.
   1. Bijvraagje: wat is de grootst mogelijke orde van een element in ${{𝒮}}_8$?
2. Zij R een HID en $x\in R$ met $x\ne 0$ en x geen eenheid. Bewijs dat x te schrijven is als een product van irreducibele elementen.

   Hints:

   • Een contradictie.
   • Een stijgende keten van idealen kan nuttig zijn.
3. Zij $K\subset E$ een velduitbreiding en $a,b\in E$ algebraïsch over K.
   1. Bewijs dat a+b algebraïsch is over K.
   2. Waar of niet? Zij $c,d\in E$ transcendent over K, dan is c+d transcendent over K.
4. Snelheidsvraagje: geef de maximale idealen in $\mathbb{ℂ}[X]$.

Oefeningen

1. Definitie: Zij G,* een groep en zij H een deelgroep van G. Het aantal linkse nevenklassen van H in G noemen we de index van H in G. De index van H in G is dus een van 0 verschillend natuurlijk getal of oneindig.
   1. Zij G,* een groep. Zij H een deelgroep in G met eindige index in G en zij $g\in G$. Toon aan dat de deelgroep $gH{g}^{-1}$ ook eindige index heeft in G.
   2. Zij G,* een groep en D de doorsnede van alle deelgroepen van G met eindige index in G. Toon aan dat D een normaaldeler is van G. Waarom is dit triviaal als G een eindige groep is?
   3. Geef een voorbeeld van een oneindige groep G,* waarvoor $\{e_G\}$ de doorsnede is van alle deelgroepen van eindige index in G.
2. Zij R,+,. een ring en zij I het ideaal voortgebracht door $\{ab-ba|a,b\in R\}$. Zij J een ideaal van R. Toon aan dat R/J commutatief is als en slechts als $I\subset J$.
3. Zij $\omega$ de primitieve derde eenheidswortel in $\mathbb{ℂ}$.
   1. Bepaal de relaties tussen de velden $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3}\omega )$, $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3}+\omega )$ en $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3},\omega )$.
   2. Bereken de uitbreidingsgraad $[\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3},\omega ):\mathbb{\mathbb{Q}}]$.
   3. Bepaal een minimale veelterm van $\sqrt{3}+\omega$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
4. Stel $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 0\\ -2& 4& 1& 0\\ -2& 1& 4& 0\\ -2& 0& 3& 3\end{array}\right)$

   Zoek een inverteerbare matrix P en een Jordanmatrix J zodat $P^{-1}AP=J$.

Eerste zit 2005-06, Wiskunde

Theorievragen

1. Zij G een groep en zij N een normaaldeler van G. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen de normaaldelers van G die N omvatten en de normaaldelers van G/N. Je mag hierbij het enkel feit gebruiken dat het beeld en het inverse beeld van een deelgroep onder een groepsmorfisme weer een deelgroep is. Al de rest moet bewezen worden.
2. Veronderstel dat R een hoofdideaaldomein is, en zij r een irreducibel element in R. Bewijs dat (r) dan een maximaal ideaal van R is. Geef ook een voorbeeld van een ring R, commutatief en met eenheidselement, en een irreducibel element r in R, zodat (r) geen maximaal ideaal van R is.
3. Bewijs de stelling van Kronecker: "Zij K een veld en zij f een niet-constante veelterm in K[X], dan heeft f een wortel in een velduitbreiding van K."

Snelheidsvragen

(Dit zijn de verraderlijke vraagjes die Veys op het mondeling examen stelt en die je *niet* mag voorbereiden, je krijgt er ongeveer 1 minuut tijd voor. Vaak zit er een addertje onder het gras. Wees dus niet te "snel".)

• Bestaat er een algebraïsch gesloten veld dat $\mathbb{ℂ}$ strikt omvat?
• Waar of fout? "Een groep is eindig als en slechts als alle elementen eindige orde hebben."

Oefeningen

1. Zij G een groep met precies twee niet-triviale deelgroepen.
   1. Bewijs dat G cyclisch is.
   2. Bewijs dat de orde van G van de vorm p³ of pq is, voor zekere priemgetallen p en q.
2. Met welke "bekende" ring is $\frac{{\mathbb{\mathbb{Z}}}_5[X,Y]}{(Y-X^2,XY+Y+2)}$ isomorf? Bewijs je antwoord.
3. Zijn $F\subset E$ velden. De Galoisgroep Gal(E, F) van E en F wordt gedefinieerd als de groep van alle veldautomorfismen $\sigma :E\to E$ (met andere woorden, ringautomorfismen van E waarvoor geldt dat $\sigma (1)=1$) die voldoen aan $\sigma (f)=f$, voor alle f in F. (Hierbij is de groepsbewerking samenstelling van afbeeldingen.) Toon aan dat $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Gal</mrow>}(\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{2}),\mathbb{\mathbb{Q}})\cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$.
4. 1. Kies een voorstelling van ${\mathbb{𝔽}}_8$ als ${\mathbb{𝔽}}_2\left[X\right]/(f)$, met $f\in {\mathbb{𝔽}}_2[X]$ een irreducibele veelterm van graad 3. Bepaal een basis van ${\mathbb{𝔽}}_8$ als ${\mathbb{𝔽}}_2$-vectorruimte. Toon aan dat het Frobeniusmorfisme $\phi :{\mathbb{𝔽}}_8\to {\mathbb{𝔽}}_8:x\mapsto x^2$ een lineaire transformatie van ${\mathbb{𝔽}}_8$ is, bepaal de matrix van $\phi$ ten opzichte van de gekozen basis, en bepaal de minimale veelterm van $\phi$.
   2. Zij p een priemgetal, en zij r een natuurlijk getal verschillend van 0. Laat zien dat het Frobenius-morfisme $\phi :{\mathbb{𝔽}}_{p^r}\to {\mathbb{𝔽}}_{p^r}:x\mapsto x^p$ een lineaire transformatie is van ${\mathbb{𝔽}}_{p^r}$ als vectorruimte over ${\mathbb{𝔽}}_p$. Zoek de minimale veelterm van $\phi$ en bewijs je vermoeden.

Eerste zit 2005-06, Fysica

Theorievragen

1. Zij G een groep, zij K een deelgroep van G en zij N een normaaldeler van G. Bewijs: $KN=\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">grp</mrow>}(K\cup N)$.
2. Zij $R,+,\cdot$ een ring. Bewijs dat de bewerking $*$ op R/N, gegeven door $(x+N)*(y+N)=x\cdot y+N$, goed gedefinieerd is als en slechts als N een ideaal is van R.
3. Bewijs dat "algebraïsch zijn van velduitbreidingen" transitief is. Is "transcendent zijn" dat ook?

Snelheidsvraagje

Geef alle 2 x 2 - matrices over $\mathbb{ℂ}$ die hermitisch én unitair zijn.

Oefeningen

1. 1. Zij H een deelgroep van ${{𝒮}}_n$. Toon aan dat H een normaaldeler is als en slechts als voor elke $\sigma$ in H geldt dat alle elementen van ${{𝒮}}_n$ met dezelfde disjuncte cykel-schrijfwijze ook tot H behoren.
   2. Bewijs nu dat ${{𝒮}}_4$ een unieke deelgroep van orde 12 heeft.
2. Zij $R,+,\cdot$ een ring en definieer het centrum van R als $Z(R)=\{x\in R|\mathrm{\forall }a\in R:ax=xa\}$. We hebben in de oefenzittingen gezien dat Z(R) een deelring is van R.
   1. Toon aan dat Z(R) geen ideaal van R moet zijn.
   2. Het quotiënt R/Z(R) hoeft dus geen ringstructuur te hebben, maar in ieder geval wel een additieve groepsstructuur. Bewijs: als R/Z(R) een additieve cylische groep is, dan is R commutatief.
3. Definieer ${{𝒩}}_r^p$ als het aantal monische irreducibele polynomen van graad r over ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$. Bewijs de volgende recursieformule: ${{𝒩}}_r^p=\frac{1}{r}(p^r-\sum _{d|r,d\ne r}d{{𝒩}}_d^p).$
4. 1. Zij $A:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$ een lineaire afbeelding met karakteristieke veelterm $f_A(X)=X^2+aX+b$, en stel dat $a^2<4b$. Toon aan dat er een basis van ${\mathbb{ℝ}}^2$ bestaat zodat de matrix van A ten opzichte van die basis van de volgende vorm is: $\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 1& -a\end{array}\right)$
   2. Zij B de volgende 4 x 4 - matrix over de complexe getallen: $\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& -1\\ 0& 3& 0& 0\\ -3& 1& 1& -5\\ 1& -1& 0& 4\end{array}\right)$

      Bepaal de Jordanvorm J van B en vind een matrix P zodat $P^{-1}BP=J$.

Eerste zit 2003-2004, Wiskunde

De theorievragen zijn verloren gegaan.

Oefeningen

1. Zij $G$ een groep en zij A een normaaldeler van G. Stel dat A commutatief is.
   1. Toon aan dat $\sigma :\frac{G}{A}\times A\to A:(gA,a)\mapsto ga{g}^{-1}$ een goed gedefinieerde groepsactie is van $\frac{G}{A}$ op $A$.
   2. Bepaal $Or(a)$ en $St(a)$ voor elke $a\in A$.
2. Zij $F$ een veld en beschouw de ring $F[[X]],+,\cdot$ zoals gedefinieerd in de oefeningenbundel. Herinner u dat de eenheden in deze ring de formele machtreeksen zijn waarvan de constante term verschillend is van 0. Beschouw de volgende uitspraken:
   • Het element $X$ is, op een eenheid na, het enige irreducibele element in deze ring.
   • De ring is een UFD.
   • De ring is een HID.

   Welke uitspraken zijn juist, welke zijn fout? Bewijs je antwoorden.

3. Zijn $F,E,K,L$ velden zodat $F\subset K\subset E$ en $F\subset L\subset E$. Noteer met $K\cdot L$ het kleinste deelveld van $E$ dat $K$ en $L$ omvat. Stel dat $[K\cdot L:F]$ eindig is.
   1. Toon aan dat $[K\cdot L:L]\le [K:F]$.
   2. Stel dat $[K:F]=2$ en $K\subseteq ̸L$. Bewijs dat gelijkheid optreedt in a).
   3. Stel dat $[L:F]=2$ en $L\subseteq ̸K$. Bewijs dat gelijkheid optreedt in a).
4. Beschouw de volgende matrix $A$ over $\mathbb{ℂ}$ (met $a\in \mathbb{ℂ}$ een parameter): $A=\left(\begin{array}{cccc}2& a^2-1& 0& -1\\ 0& 2& a^2-3a+2& 0\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& a\end{array}\right)$

   Wat zijn de mogelijke Jordanvormen van $A$ over $\mathbb{ℂ}$?

Tweede zit 2004-2005, Wiskunde

De theorievragen zijn verloren gegaan.

Oefeningen

1. Zij $G$ een groep en zijn $M,N$ normaaldelers van $G$ met $M\subset N$. Stel dat $G/N$ cyclisch is en dat $|N/M|=2$.
   Toon aan dat $G/M$ commutatief is.
2. Beoordeel de volgende redenering: is de redenering juist? Is de redenering fout? Waarom?

   "Zij $R$ een ring met $1_R\ne 0_R$. Omdat $R$ een groep is voor de optelling en $1\in R$, bestaat er een invers element $-1_R$ van $1_R$. Omdat $(-1_R)(-1_R)=1_R$, is $-1_R$ een eenheid. Bijgevolg is $\left|R^{\times }\right|\ge 2$."

3. Een ring $R$ is Artins als elke dalende keten $I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq \cdots$ van idealen stabiliseert (met andere woorden, als $I_n=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots$ voor een zeker natuurlijk getal $n$).
   1. Toon aan dat $\mathbb{\mathbb{Z}},+,\cdot$ geen Artinse ring is.
   2. Bewijs nu dat de quotiëntring $\mathbb{\mathbb{Q}}[X]/(X^3),+,\cdot$ wel een Artinse ring is.
4. Zij $E$ een veld met $\mathbb{\mathbb{Q}}\subset E\subset \mathbb{ℂ}$ en $[E:\mathbb{\mathbb{Q}}]=2$. Bewijs dat $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{d})$ voor een zekere $d\in \mathbb{\mathbb{Z}}$.
5. Stel dat de matrix van een lineaire afbeelding $f:{\mathbb{ℂ}}^3\to {\mathbb{ℂ}}^3$ ten opzichte van een goede basis $\{e_1,e_2,e_3\}$ de volgende Jordanmatrix is: $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$. We kunnen ${\mathbb{ℂ}}^3$ natuurlijk ook als 6-dimensionale reële vectorruimte bekijken. Welke basis van ${\mathbb{ℂ}}^3$ kan je kiezen zodat $f$ ten opzichte van die basis in zijn Jordanvorm staat, en wat is die Jordanvorm?

Eerste zit 2004-2005, Fysica

(In 2004-2005 moesten de studenten Fysica de leerstof over velden niet kennen.)

Theorie

1. Zij $R$ een commutatieve ring met een eenheidselement en zij $I$ een ideaal van $R$. Bewijs dat $R/I$ een veld is als en slechts als $I$ een maximaal ideaal is.
2. Zij $V$ een complexe vectorruimte. Bewijs dat een lineaire transformatie ${𝒜}$ van $V$ normaal is als en slechts als $V$ een orthonormale basis van eigenvectoren van ${𝒜}$ heeft. Je mag gebruiken dat de minimale veelterm van een normale transformatie splitst in lineaire factoren.
3. Zij $G$ een groep en zij $N$ een normaaldeler. Bewijs dat de afbeelding $*:G/N\to G/N:(x*N)*(y*N)=(x*y)*N$ goed gedefinieerd is.

Oefeningen

1. 1. Bewijs dat er slechts één groepsmorfisme $\varphi :\mathbb{\mathbb{Q}}/\mathbb{\mathbb{Z}},+\to \mathbb{\mathbb{Q}},+$ bestaat.
   2. Bewijs dat er oneindig veel groepsmorfismen $\varphi :\mathbb{\mathbb{Q}},+\to \mathbb{\mathbb{Q}}/\mathbb{\mathbb{Z}},+$ bestaan.
2. Bewijs dat het aantal verschillende complexe $(n\times n)$-Jordanmatrices met slechts één eigenwaarde gelijk is aan het aantal conjugatieklassen van ${{𝒮}}_n$.
3. Een Euclidisch domein is een integriteitsdomein $R$, samen met een afbeelding $t:R\to \mathbb{\mathbb{N}}$ die voldoet aan
   • voor alle $a,b\in R$ (verschillend van 0) volgt uit $a\mid b$ dat $t(a)\le t(b)$, en
   • voor alle $a,b\in R$ (met $b$ verschillend van 0) bestaan er $r,q\in R$ zodat $a=bq+r$, met $r=0$ of $t(r)<t(b)$.

   Neem bijvoorbeeld $F[X]$ met $t:f\mapsto \mathrm{deg}f$.

   1. Zoek een ander voorbeeld van een Euclidisch domein.
   2. Bewijs dat een Euclidisch domein een hoofdideaaldomein is.
   3. Bewijs dat $t(u)=t(1)⟺u\in R^{\times }$.
4. Zij ${𝒜}:C_6\to C_6$ een nilpotente lineaire afbeelding met $\dim (\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Ker</mrow>}{{𝒜}}^2)=4$. Bepaal de mogelijke waarden voor $\dim (\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Ker</mrow>}{𝒜})$ en illustreer telkens met een voorbeeld.