Kans en maat

Inleiding

Dit vak wordt gegeven door professor Quaegebeur. Zo goed als alle vragen zijn mondeling te verdedigen. In juni 2008 kregen we 5 a 6 uur tijd om het examen op te lossen.

maandag 16/06/08

1) (ben niet 100% zeker of ik deze vraag volledig correct formuleer) Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ een maatruimte. Zij voor alle n $f_n,f\in {\mathfrak{𝔏}}^1(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ en veronderstel dat $||f_n-f|{|}_1\to 0$ als $n\to \mathrm{\infty }$. Definieer nu $E_n^{\delta }:=\{x\in \mathbb{ℝ}||f_n-f|(x)>\delta \}$. Bewijs dat $E_n^{\delta }$ een meetbare verzameling is en bewijs vervolgens dat $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_n^{\delta })=0$.

2) Beschouw $\mathbb{ℝ}$ met de Borel sigma algebra. We definiëren $S:=\cap \{G\subset \mathbb{ℝ}|G\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">gesloten<mo>,</mo></mrow>}\mu (G^c)=0\}$

• Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat
• Toon aan dat in het algemeen geldt dat $\mu (S^c)=0$. Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: $\mu (E)=\sup \{K\subset \mathbb{ℝ},K\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">compact</mrow>},K\subset E\}$. We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
• Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
• Definieer de stijgende rechtscontinue functie $F$ zodanig dat $\mu ((a,b])=F(b)-F(a)$. Bewijs dat $S=\{x\in \mathbb{ℝ}|\mathrm{\forall }\epsilon >0:F(x-\epsilon )<F(x+\epsilon )\}$

3) Zij $X_1,X_2,X_3$ onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat $X_1+X_2,X_3$ ook onafhankelijk zijn.

4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn

5) een vraag over conditionele verwachting, waarbij een nieuw begrip geïntroduceerd werd: de conditionele variantie.

vrijdag 12/05/2009

1. Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ een maatruimte die $\sigma$-eindig is. Zij $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℂ}$ integreerbaar en veronderstel dat $\mathrm{\forall }E\in \mathfrak{𝔐}$ geldt dat $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f{\chi }_{E}d\mu =0$ als E een eindige maat heeft. Wat kan je besluiten over f? Blijft je conclusie gelden voor een maatruimte die niet $\sigma$-eindig is?
2. Zij U een halfring op een niet-lege verzameling $\mathrm{\Omega }$ en zij ${\mu }_0$ een maat op U. Zij $\mathfrak{𝔐}$ de $\sigma$-algebra voortgebracht door U. Zij $\mu$ de maat op $\mathfrak{𝔐}$ die bekomen wordt door Carathéodory toe te passen op ${\mu }_0$. Veronderstel dat $(U,{\mu }_0)$ $\phi$-invariant is, dit wil zeggen $\mathrm{\forall }E\in U:\phi (E)\in U$ en ${\mu }_0(\phi (E))={\mu }_0(E)$. Is $(\mathfrak{𝔐},\mu )$ dan ook $\phi$-invariant?
3. Zij $F_X:\mathbb{ℝ}\to [0,1]$ de verdelingsfunctie van een reële toevalsvariabele X. Gebruik Fubini (eigenlijk zijn stelling) om aan te tonen dat $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }(F_X(x+a)-F_X(x))dx=a.$
4. Toon 4.3.3.7 aan voor X en Y kwadratisch integreerbaar. Je mag daarvoor wel al 4.3.3.7 gebruiken voor X begrensd en Y integreerbaar.
5. Zij $\mathrm{\Omega }=[0,2]$ met de Borel-$\sigma$-algebra en zij P de genormaliseerde Lebesguemaat op [0,2]. Zij $Y:[0,2]\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto Y(x)=\min \{1,x\}$ en zij X een integreerbare reële toevalsvariabele op [0,2]. Bereken $E(X|Y)$.