Kans en maat

Inleiding

Dit vak wordt gegeven door professor Quaegebeur. Zo goed als alle vragen zijn mondeling te verdedigen. In juni 2008 kregen we 5 a 6 uur tijd om het examen op te lossen.

maandag 16/06/08

1) (ben niet 100% zeker of ik deze vraag volledig correct formuleer) Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ een maatruimte. Zij voor alle n $f_n,f\in {\mathfrak{𝔏}}^1(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ en veronderstel dat $||f_n-f|{|}_1\to 0$ als $n\to \mathrm{\infty }$. Definieer nu $E_n^{\delta }:=\{x\in \mathbb{ℝ}||f_n-f|(x)>\delta \}$. Bewijs dat $E_n^{\delta }$ een meetbare verzameling is en bewijs vervolgens dat $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_n^{\delta })=0$.

2) Beschouw $\mathbb{ℝ}$ met de Borel sigma algebra. We definiëren $S:=\cap \{G\subset \mathbb{ℝ}|G\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">gesloten<mo>,</mo></mrow>}\mu (G^c)=0\}$

• Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat
• Toon aan dat in het algemeen geldt dat $\mu (S^c)=0$. Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: $\mu (E)=\sup \{K\subset \mathbb{ℝ},K\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">compact</mrow>},K\subset E\}$. We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
• Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
• Definieer de stijgende rechtscontinue functie $F$ zodanig dat $\mu ((a,b])=F(b)-F(a)$. Bewijs dat $S=\{x\in \mathbb{ℝ}|\mathrm{\forall }\epsilon >0:F(x-\epsilon )<F(x+\epsilon )\}$

3) Zij $X_1,X_2,X_3$ onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat $X_1+X_2,X_3$ ook onafhankelijk zijn.

4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn

5) een vraag over conditionele verwachting, waarbij een nieuw begrip geïntroduceerd werd: de conditionele variantie.

vrijdag 12/05/2009

1. Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ een maatruimte die $\sigma$-eindig is. Zij $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℂ}$ integreerbaar en veronderstel dat $\mathrm{\forall }E\in \mathfrak{𝔐}$ geldt dat $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f{\chi }_{E}d\mu =0$ als E een eindige maat heeft. Wat kan je besluiten over f? Blijft je conclusie gelden voor een maatruimte die niet $\sigma$-eindig is?
2. Zij U een halfring op een niet-lege verzameling $\mathrm{\Omega }$ en zij ${\mu }_0$ een maat op U. Zij $\mathfrak{𝔐}$ de $\sigma$-algebra voortgebracht door U. Zij $\mu$ de maat op $\mathfrak{𝔐}$ die bekomen wordt door Carathéodory toe te passen op ${\mu }_0$. Veronderstel dat $(U,{\mu }_0)$ $\phi$-invariant is, dit wil zeggen $\mathrm{\forall }E\in U:\phi (E)\in U$ en ${\mu }_0(\phi (E))={\mu }_0(E)$. Is $(\mathfrak{𝔐},\mu )$ dan ook $\phi$-invariant?
3. Zij $F_X:\mathbb{ℝ}\to [0,1]$ de verdelingsfunctie van een reële toevalsvariabele X. Gebruik Fubini (eigenlijk zijn stelling) om aan te tonen dat $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }(F_X(x+a)-F_X(x))dx=a.$
4. Toon 4.3.3.7 aan voor X en Y kwadratisch integreerbaar. Je mag daarvoor wel al 4.3.3.7 gebruiken voor X begrensd en Y integreerbaar.
5. Zij $\mathrm{\Omega }=[0,2]$ met de Borel-$\sigma$-algebra en zij P de genormaliseerde Lebesguemaat op [0,2]. Zij $Y:[0,2]\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto Y(x)=\min \{1,x\}$ en zij X een integreerbare reële toevalsvariabele op [0,2]. Bereken $E(X|Y)$.

donderdag 27/08/2009

1. We bekijken de Borel-$\sigma$-algebra $\mathfrak{𝔅}$ en Lebesgue-maat $\lambda$ op $\mathbb{ℝ}$.
   1. Bewijs: $\lambda (E)=\inf \{\lambda (V):E\subseteq V\subseteq \mathbb{ℝ},V\text{ open }\}$ voor elke $E\in \mathfrak{𝔅}$. (Dit is de uitwendige regulariteit van $\lambda$.)
   2. Construeer bij wijze van illustratie voor een gegeven $\epsilon >0$ een open verzameling $V$ met $\mathbb{\mathbb{Q}}\subseteq V\subseteq \mathbb{ℝ}$ en $\lambda (V)<\epsilon$.
   3. Is elke Borelmaat (Lebesgue-Stieltjesmaat) op $\mathbb{ℝ}$ uitwendig regulier?
2. Zij ${\left(X_n\right)}_n$ een rij van reële toevalsvariabelen op eenzelfde kansruimte $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mathbf{𝐏})$. Veronderstel dat er een $p\in [0,1)$ bestaat zodanig dat $\mathbf{𝐄}(|X_n{|}^2)\le n^p$ voor alle $n$. Bereken $\mathbf{𝐏}((X_n\ge n)\text{ oneindig keer})=\mathbf{𝐏}((X_n\ge n)\text{ i.o.})$.
3. Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mathbf{𝐏})$ een kansruimte die een rij $(A_n{)}_n$ van onafhankelijke gebeurtenissen bevat, met $\mathbf{𝐏}(A_i)=1/2$ voor alle $i$. Toon aan dat $\mathrm{\Omega }$ overaftelbaar is. (Hint: toon aan dat $P(\{\omega \})\le 1/2^n$ voor alle $\omega \in \mathrm{\Omega }$ en $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.)
4. 1. Zijn $({\mathrm{\Omega }}_1,{\mathfrak{𝔐}}_1)$ en $({\mathrm{\Omega }}_2,{\mathfrak{𝔐}}_2)$ meetbare ruimten. Zij $E$ een element van de product-$\sigma$-algebra ${\mathfrak{𝔐}}_1\times {\mathfrak{𝔐}}_2$. Zijn $x_1\in {\mathrm{\Omega }}_1$ en $x_2\in {\mathrm{\Omega }}_2$, en definieer de twee secties $E_{x_1}=\{x_2\in {\mathrm{\Omega }}_2:(x_1,x_2)\in E\}$ en $E^{x_2}=\{x_1\in {\mathrm{\Omega }}_1:(x_1,x_2)\in E\}$. Toon aan dat $E_{x_1}\in {\mathfrak{𝔐}}_2$ en $E^{x_2}\in {\mathfrak{𝔐}}_1$.
   2. In de cursus werd aangetoond dat ${\mathfrak{𝔅}}_n\times {\mathfrak{𝔅}}_m={\mathfrak{𝔅}}_{n+m}$ waarbij ${\mathfrak{𝔅}}_k$ (voor $k\ge 1$) de Borel-$\sigma$-algebra van ${\mathbb{ℝ}}^k$ is. Geldt de analoge gelijkheid ${{ℒ}}_n\times {{ℒ}}_m={{ℒ}}_{n+m}$ voor de Lebesgue-$\sigma$-algebra's ${{ℒ}}_k$ op ${\mathbb{ℝ}}^k$?
5. We zeggen dat een rij $({\mu }_n{)}_n$ van kansmaten op $\mathbb{ℝ}$ zwak convergeert naar de kansmaat $\mu$ op $\mathbb{ℝ}$ als voor elk element $f$ van de verzameling $C_b(\mathbb{ℝ})$ van begrensde, continue functies op $\mathbb{ℝ}$ geldt dat $\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }fd{\mu }_n\to \underset{\mathbb{ℝ}}{\int }fd\mu (\star )$. We veronderstellen in deze opgave dat voor de verdelingsfuncties $F_n(x)={\mu }_n((-\mathrm{\infty },x])$ en $F(x)=\mu ((-\mathrm{\infty },x])$ geldt dat $F_n(x)\to F(x)$ voor alle $x\in C(F)$, de verzameling van punten waar $F$ continu is. Werk de volgende stappen in detail uit om te bewijzen dat $({\mu }_n{)}_n$ zwak convergeert naar $\mu$.
   1. Toon aan dat aan $(\star )$ voldaan is als $f$ van de vorm $\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{\chi }_{(a_i,b_i]}(\ast )$ is, met $k\ge 1,{\lambda }_i\in \mathbb{ℝ},a_i,b_i\in C(F)$ voor alle $i$.
   2. Toon aan dat aan $(\star )$ voldaan is voor alle elementen $f$ van $C_c(\mathbb{ℝ})$, de verzameling van continue functies op $\mathbb{ℝ}$ met compacte drager, door de elementen van $C_c(\mathbb{ℝ})$ op een gepaste manier te benaderen door functies van de vorm $(\ast )$. (Opgelet: subtiele technische details!)
   3. Toon tenslotte aan dat aan $(\star )$ voldaan is voor alle elementen $f$ van $C_b(\mathbb{ℝ})$. Doe dit door het te bewijzen te reduceren tot het geval waarbij $\Vert f{\Vert }_{\sup }=1$. Kies dan $\epsilon >0$ willekeurig en toon aan dat er $c,d\in C(F)$ bestaan zodat $\mu ((c,d])>1-\epsilon /3$. Benader $f$ door een functie $f_0\in C_c(\mathbb{ℝ})$ die samenvalt met $f$ op $(c,d]$ en voldoet aan $|f(x)-f_0(x)|\le 1$ voor alle $x$. Toon dan tenslotte aan dat er een $n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ bestaat zodat voor $n\ge n_0$ geldt dat $|\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }fd{\mu }_n-\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }fd\mu |<\epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3$. Leun daarna voldaan achterover.