Professor Nicaise geeft vanaf academiejaar 2009-2010 dit vak. Hij heeft een nieuwe cursus geschreven met veel oefeningen. Op het einde van hoofdstuk 4 staat een uitgebreide oefening die als practicum gebruikt werd. Het examen is gedeeltelijk mondeling: Hij neemt je mee naar een ander lokaal waar je een stuk van het practicum mag uitleggen. Er zijn dan ook nog 5 gewone vragen die schriftelijk te beantwoorden zijn. De eerste drie hiervan kwamen letterlijk uit de cursus, dus het is belangrijk om deze oefeningen voor te bereiden. Oorspronkelijk wou de prof het examen 3 uur laten duren, maar het heeft uiteindelijk 4 uur geduurd.

Examens

Januari 2010

• Practicum:
• Exercises 3.1.18 (1): A minimal prime ideal of a ring is a prime ideal of height zero. Let R be a Noetherian ring. Prove that R has finitely many minimal prime ideals ${\displaystyle {\mathfrak{𝔓}}_1,\dots ,{\mathfrak{𝔓}}_r}$, and that the irreducible components of spec R are the closed subsets ${\displaystyle V({\mathfrak{𝔓}}_1),\dots ,V({\mathfrak{𝔓}}_r)}$
• Excercise 5.6.12: Consider the subvariety ${\displaystyle X={\mathbb{𝔸}}_k^2\setminus \{(0,0)\}}$ of ${\displaystyle {\mathbb{𝔸}}_k^2}$. Prove that the map ${\displaystyle {𝒪}({\mathbb{𝔸}}_k^2)\to {𝒪}(X):f\mapsto f{|}_X}$ is an isomorphism. Conclude that X is not affine.

Oude Examens

Juni 2006

Dit is het examen van 12 juni 2006: Bestand:Algebraische meetkunde 20060612.pdf --Domi 16 jun 2006 15:43 (CEST) Het vak is misschien wel iet of wat in flux, dus het kan zijn dat ie volgend jaar andere dingen ziet en dus ook andere dingen zal vragen...

16 januari 2009

Theorie

• Zij ${\displaystyle f,g\in \mathbb{ℝ}(t)}$ en ${\displaystyle \lambda \in \mathbb{ℝ}\setminus \{0,1\}}$ zodat ${\displaystyle g^2=f(f-1)(f-\lambda )}$. Bewijs dat ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ constant zijn.
• Zij ${\displaystyle V\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^n,W\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^m}$ variëteiten over een algebraïsch gesloten veld ${\displaystyle k}$. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen
  • de veeltermafbeeldingen ${\displaystyle f:V\to W}$
  • de ${\displaystyle k}$-algebrahomomorfismes ${\displaystyle \phi :k[W]\to k[V]}$.
• Formuleer
  • de definitie van de lokalisatie van een ring t.o.v. een multiplicatief gesloten deel van die ring
  • de meetkunde interpretatie van de stelling van Lüroth (de stelling is gegeven)
  • de definitie van de homogene coördinatenring van een projectieve variëteit.

Oefeningen

• • Toon aan dat de Plückercoördinaten van het stelsel gegeven door ${\displaystyle d_{12}{x}_0-d_{02}{x}_1+d_{01}{x}_2=0}$ en ${\displaystyle -d_{31}{x}_0-d_{03}{x}_1+d_{01}{x}_3}$ gelijk zijn aan ${\displaystyle (d_{01}:d_{02}:d_{03}:d_{23}:d_{31}:d_{12})}$.
  • Iets over blowup bij de kromme y^2=x^3. Geef de vergelijking van E en van de strict transform voor V_0 en V_1. Snijden ze elkaar transversaal in de intersectiepunten?
• Zij ${\displaystyle k}$ een algebraïsch gesloten veld en zij ${\displaystyle V=V(XW-YZ)\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^4}$.
  • Bewijs dat ${\displaystyle V}$ een irreducibele affiene variëteit is.
  • Definieer de rationale functie ${\displaystyle f=x/y}$ op ${\displaystyle V}$. Bepaal het domein van ${\displaystyle f}$?
• Zij ${\displaystyle V=V(F)\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^2}$ een affiene variëteit over een algebraïsch gesloten veld ${\displaystyle k}$, met ${\displaystyle F\in k[X,Y]}$ een irreducibele veelterm en ${\displaystyle |V(F)|=+\mathrm{\infty }}$. Zij ${\displaystyle P}$ een niet-singulier punt van ${\displaystyle V}$. Bewijs dat elke rationale afbeelding ${\displaystyle f:V-\to {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^2}$ regulier is in ${\displaystyle P}$.
• Gegeven acht verschillende punten ${\displaystyle P_1,P_2,\cdots ,P_8}$ in het projectieve vlak waarvan er vier collineair zijn, maar geen vijf. Wanneer bepalen deze acht punten onafhankelijke voorwaarden op de coëfficiënten van derdegraadskrommen in het projectieve vlak?