: verschil tussen versies

Algebraïsche structuren is een vak uit het tweede trimester, het werd vorig en dit jaar(08-09) gegeven door Raf Cluckers. Het vak werd in het academiejaar 2006-2007 voor het eerst gegeven aan 1e Bachelor Wiskunde en 1e Bachelor Fysica (waar het een keuzevak is). Er is geen handboek, enkel een cursus, bestaande uit 7 hoofdstukken. Als leerstof wordt een inleiding gegeven tot groeptheorie (groepen, ringen, velden) en ook duale ruimtes en billineaire vormen komen aan bod. Het vak bouwt gedeeltelijk voor op de leerstof van Lineaire Algebra.

Examens

25 augustus 2010

De eerste drie vragen waren mondeling.

Vraag 1

Zij G,* een Groep en zij G cyclisch bewijs dan voor elke H, dat idnien H een ddelgroep van G is, H cyclisch is.

Vraag 2

• Definieer de Eulerfunctie.
• Leid de formule voor ${\displaystyle \varphi (p^e)}$ met p een priemgetal.

Vraag 3

Als K,+,. een veld is, dan hebben alle element Fout bij het parsen (syntactische fout): {\displaystyle x \in K\{0}} dezelfde additieve orde. Bovendien, als deze orde eindig is, is het een priemgetal. Bij vragen waarom is x.(n.y)= (x.n).y (tip: geen associativiteit), waarom is (u1).(v1) = (uv)1

Vraag 4

• Werk uit: ${\displaystyle 5^{2}011*3^{9}99mod56}$
• Bewijs dat ${\displaystyle 5^{2}011*3^{9}99}$ is congruent met ${\displaystyle x^2+y^{2}mod56}$ niet kan voor elke ${\displaystyle x,y\in \mathbb{\mathbb{Z}}}$ (tip voor alle ${\displaystyle z\in \mathbb{\mathbb{Z}}}$ denk aan welke waarde de vergelijking ${\displaystyle Z^{2}mod8=x}$ kan aan nemen.

Vraag 5

• Zij G,* een groep met orde m en zij ${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_n:G->G:x|->x^n}$. Extra is gegeven dat G een commutatieve groep is en dat ggd(m,n)=1. bewijs dat ${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_n}$ een groepsisomorfisme is.
• Is het noodzakelijk dat G,* commutatief is? Zo ja, waarom? Zo nee, bewijs.
• Is het noodzakelijk dat ggd(m,n)=1? Zo ja, waarom? Zo nee, bewijs.

Vraag 6

Weet ik niet meer.

Examen 20 augustus 2009

Vraag 1

• Zij V de standaard reële vectorruimte ${\displaystyle {\mathbb{ℝ}}^n}$ en veronderstel dat ${\displaystyle a_1,...,a_n\in \mathbb{ℝ}}$ allen verschillend van 0. Beschouw de kwadratische vorm ${\displaystyle Q:V\to \mathbb{ℝ}:(x_1,...,x_n)\to a_n{x}_1^2+...+a_n{x}_n^2}$
  • Zij ${\displaystyle {ℰ}}$ standaardbasis van ${\displaystyle {\mathbb{ℝ}}^n}$. Stel een matrix ${\displaystyle R}$ op, waar ${\displaystyle R}$ de Gramm matrix is ten opzichte van ${\displaystyle {ℰ}}$ van de bilineaire vorm geassocieerd aan ${\displaystyle Q}$.
  • Zij A de matrix van een lineaire afbeelding ${\displaystyle f:V\to V}$ ten opzichte van ${\displaystyle {ℰ}}$, en zij ${\displaystyle R}$ zoals hierboven. Noteer in matrix-vorm (namelijk als product van matrices) ${\displaystyle f(v)}$, ${\displaystyle Q(v)}$ en ${\displaystyle Q(f(v))}$ met ${\displaystyle v=(v_1,...,v_n)}$.
  • Definieer ${\displaystyle O(V,Q):=\{f:V\to V|f\text{ is een lineaire afbeelding en }}$${\displaystyle \mathrm{\forall }v\in V:Q(f(v))=Q(v)\}}$. Defininieer ${\displaystyle det(f)}$ van een lineaire afbeelding ${\displaystyle f:V\to V}$ als de determinant van de matrix die f definieert. Dit is onafhankelijk van de gekozen basis in V, maar dat hoef je niet aan te tonen. Toon aan dat voor elke ${\displaystyle f\in O(V,Q)}$ geldt dat ${\displaystyle det(f)=\pm 1}$.
  • Definieer ${\displaystyle O(V,Q{)}^{+}:=\{f\in O|det(f)=1\}}$ en ${\displaystyle O(V,Q{)}^{-}:=\{f\in O|det(f)=-1\}}$. Zijn ${\displaystyle O(V,Q{)}^{+}}$ en ${\displaystyle O(V,Q{)}^{-}}$ deelgroepen van ${\displaystyle O(V,Q)}$? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. (De bewerking is de samenstelling)
  • Bereken voor alle in de vorige opgave gevonden deelgroepen de index in ${\displaystyle O(V,Q)}$

Vraag 2

• Met de standaard duale basis van ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{*}}$ bedoelen we de duale basis geassocieerd aan de basis ${\displaystyle \{e_1,e_2,e_3,e_4\}}$ van ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$ met ${\displaystyle e_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),e_3=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),e_4=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$. Beschouw de basis ${\displaystyle B=\{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\}}$ van de ${\displaystyle \mathbb{ℂ}\text{-vectorruimte }{\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$
  • Wat is ${\displaystyle e_3^{*}}$ toegepast op ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$, waar a, b, c, d complexe getallen zijn?
  • Druk ${\displaystyle B^{*}}$ uit in termen van de standaard duale basis van ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{*}}$
• Beschouw de basis ${\displaystyle B=\{\left(\begin{array}{cc}\overline{1}& \overline{1}\\ \overline{1}& \overline{1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\overline{2}& \overline{2}\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\overline{2}& 0\\ \overline{2}& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\overline{4}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\}}$ van de ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/7\mathbb{\mathbb{Z}}\text{-vectorruimte }{(\mathbb{\mathbb{Z}}/7\mathbb{\mathbb{Z}})}^{2\times 2}}$. Druk ${\displaystyle B^{*}}$ uit in termen van de standaard duale basis van ${\displaystyle {(\mathbb{\mathbb{Z}}/7\mathbb{\mathbb{Z}})}^{2\times 2}}$. (Deze standaard duale basis wordt op analoge wijze gedefinieerd als die voor ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{*}}$.)

Vraag 3

Zij ${\displaystyle n>1}$ een natuurlijk getal. Geef en bewijs een criterium wanneer een element ${\displaystyle [x{]}_n}$ een multiplicatief inverse heeft. Schets een algorithme om zo'n invers te berekenen.

Examen 15 juni 2009

Vraag 1

• Beschrijf een werkwijze (een oplossingswijze, een algoritme, maar niet noodzakelijk efficiënt) om voor een gegeven symmetrische bilineaire vorm <.,.> op een eindigdimensionale vectorruimte V over een veld K van karakteristiek verschillend van 2 een orthogonale basis te vinden. Geef ook kort aan waarom je oplossing werkt en wat je gebruikt.
• Alternatieve vraag (voor 2 punten minder): Geef het bewijs voor orthogonaliseerbaarheid van zo'n bilineaire vorm <.,.> op V. Dus bewijs dat er een orthogonale basis bestaat voor deze <.,.> met voorwaarden zoals gegeven hierboven.

Vraag 2

Beschrijf de theorie van Reed-Solomoncodes (Herinnering: dit werkt met polynomen over een eindig veld van beperkte graad)

Vraag 3

Bereken ${\displaystyle a^b}$ mod n en ook ${\displaystyle a^b}$ mod an voor a=1003, b=240 en n=16. Schrijf goed op wat je gebruikt en waarom het mag!

Vraag 4

Voor G,* een groep, noteer met G' de kleinste deelgroep van G die ${\displaystyle \{g_1*g_2*g_1^{-1}*g_2^{-1}|g_1,g_2\in G\}}$ omvat. Definieer analoog H' voor een groep H. zij nu ${\displaystyle f:G\to H}$ een groepshomomorfisme

• Zij ${\displaystyle H_1}$ een deelgroep van H. Toon aan dat ${\displaystyle f^{-1}(H_1)}$ een deelgroep is van G.
• Bereken G' in het geval dat G een commutatieve groep is.
• Geef een concreet voorbeeld waarbij f(G') niet gelijk is aan H'.
• Veronderstel dat ${\displaystyle f:G\to H}$ een niet-triviaal groepshomomorfisme is, in de zin dat het beeld uit meer bestaat dan alleen maar het neutraal element van H. Geef dan (in deze algemene set-up) een voorbeeld van een niet-triviale linker-actie van g op H en toon aan dat het inderdaad aan de axioma's van linker-actie voldoet.

Examen 26 juni 2008, voormiddag

(1) Beschouw de lineaire code ${\displaystyle C}$ over ${\displaystyle {\mathbb{𝔽}}_2}$ gegeven door de generatorsmatrix ${\displaystyle G}$ met ${\displaystyle G=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\end{array}\right)}$

• Bereken alle vectoren van ${\displaystyle C}$
• Bereken ${\displaystyle d_{min}(C)}$
• Bij het doorsturen van informatie met deze code ontvang je ${\displaystyle (1011001)}$. Je veronderstelt dat je alle gebeurde fouten kan verbeteren. Wat is dan de doorgestuurde boodschap? Leg je antwoord uit.

(2) Geef en bewijs de stelling Bézout-Bachet en de veralgemeende stelling van Bézout-Bachet.

(3) Wat is een bilineaire vorm op een vectorruimte? Leg uit.

Examen 25 juni 2008, namiddag

(1) Stel dat G een groep is met neutraal element, en dat x² = e voor alle x in G.

• Bewijs dat G commutatief is.
• Is G cyclisch? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

(2) Geef en bewijs de Chinese reststelling.

(3) Leg het radicaal uit van een K-bilineaire symmetrische ruimte V.

(Ik kreeg op de mondelinge verdediging dan nog de volgende bijvraag: Bestaat er een symmetrische bilineaire vorm op ${\displaystyle \mathbb{ℂ}}$ zodat ${\displaystyle ⟨x,x⟩\ne 0}$ voor alle ${\displaystyle x\in \mathbb{ℂ}}$?)

Examen 25 juni 2008, voormiddag

(1) Voor een ${\displaystyle a\in \mathbb{\mathbb{Z}}}$ noteren we met ${\displaystyle a\mathbb{\mathbb{Z}}}$ de verzameling van de ${\displaystyle a}$-vouden. Het is eenvoudig in te zien dat dit een deelgroep is van ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}}$ (dit hoef je niet aan te tonen).

a. Toon aan dat elke deelgroep van ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}}$ geschreven kan worden als ${\displaystyle a\mathbb{\mathbb{Z}}}$ voor zekere ${\displaystyle a\in \mathbb{\mathbb{Z}}}$.

b. Voor ${\displaystyle b,c\in \mathbb{\mathbb{Z}}}$ is

${\displaystyle b\mathbb{\mathbb{Z}}+c\mathbb{\mathbb{Z}}:=\{x+y|x\in b\mathbb{\mathbb{Z}};y\in c\mathbb{\mathbb{Z}}\}}$

ook een deelgroep van${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}}$ (dit is wederom eenvoudig, en moet je niet aantonen). Zoek een ${\displaystyle a\in \mathbb{\mathbb{Z}}}$ zodat ${\displaystyle b\mathbb{\mathbb{Z}}+c\mathbb{\mathbb{Z}}=a\mathbb{\mathbb{Z}}}$.

(2) Geef en bewijs de structuurstelling (ook genaamd de hoofdstelling) voor symmetrische bilineaire vormen. (Herinnering: dit gaat over diagonaalmatrices).

Examen 24 juni 2008, namiddag

(1) Zij ${\displaystyle G,\times }$ een commutatieve groep, met neutraal element ${\displaystyle e}$. Beschouw twee deelgroepen ${\displaystyle H_1}$ en ${\displaystyle H_2}$. We definiëren dan

${\displaystyle H_1.H_2=\{h_1\times h_2|h_1\in H_1,h_2\in H_2\}}$

a. Bewijs dat ${\displaystyle H_1.H_2}$ een deelgroep is.

b. Als ${\displaystyle H_1}$ en ${\displaystyle H_2}$ beide cyclisch zijn, is ${\displaystyle H_1.H_2}$ dan ook cyclisch? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

c. Veronderstel nu dat ${\displaystyle G}$ een eindige groep is, en dat ${\displaystyle H_1\cap H_2=\{e\}}$. Bewijs dat de orde van een willekeurig element in ${\displaystyle H_1.H_2}$ kleiner dan of gelijk aan ${\displaystyle kgv\{|H_1|,|H_2|\}}$ is.

(2) Geef en bewijs de stelling van Sylvester voor diagonaliseerbaarheid over ${\displaystyle \mathbb{ℂ}}$.

Examen 24 juni 2008, voormiddag

1:Bereken voor een oneven natuurlijk getal n>1 en ${\displaystyle a\in Z}$ met ggd(a,10)=1 het voorlaatste cijfer in de decimale schrijfwijze van${\displaystyle a^{5n^2{(n+1)}^2}}$

2:Beschrijf de theorie van Reed-Solomoncodes.

3:Geef en bewijs de veralgemeende stelling van Bezout-Bachet.

Examen 5 september 2007

1: Zij G,. een groep met neutraal element e. We definiëren Tor(G) als de verzameling van alle x in G met eindige orde in G.

• Veronderstel dat G een eindige groep is, wat is dan Tor(G)?
• Toon aan dat als G een abelse groep is, Tor(G) een deelgroep va G is.
• Stel dat G een abelse groep is. Bereken dan Tor(G/Tor(G)). Geef en bewijs hierbij ook het resultaat uit de cursus dat een quotientgroep van een abelse groep wel degelijk een groepsstructuur heeft.
• Beschouw een ring R,+,. waarvoor geldt Tor(R,+)={0}. Toon aan dat er een voor zo'n ring een ringhomomorfisme bestaat ${\displaystyle \varphi :\mathbb{\mathbb{Z}},+,.\to R,+,.}$

2: Beschouw de standaard 4 dimensionale vectorruimte over ${\displaystyle {\mathbb{𝔽}}_5}$

• zij ${\displaystyle \alpha \in {\mathbb{𝔽}}_5}$ willekeurig. Bewijs dat ${\displaystyle \beta =(\alpha ,0,0,0),(0,2\alpha ,0,0),(0,0,3\alpha ,0),(0,0,0,4\alpha )}$ een basis vormt
• Druk de duale basis ${\displaystyle {\beta }^{*}}$ uit in termen van de standaardbasis
• Geef een definitie van duale ruimte. Met welke gekende vectorruimte is ${\displaystyle V^{*}=(({\mathbb{𝔽}}_5{)}^4{)}^{*}}$ isomorf. Als je hierbij een stelling uit de cursus gebruikt, vermeld deze dan nauwkeurig.

3: In deze opgave bekijken we enkele eigenschappen van ringen

• in ${\displaystyle \mathbb{ℝ},+,.}$geldt dat een veelterm van graad n maximaal wortels heeft. Is dit ook zo voor een ring? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
• Geef alle oplossingen van de vergelijking ${\displaystyle x^{11}=1}$ in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/37\mathbb{\mathbb{Z}}}$
• Neem 3 willekeurige getallen a,b en p met p een priemgetal. Bewijs dan dat ${\displaystyle \overline{a}x=\overline{b}}$ juist een oplossing heeft als en slechts als ${\displaystyle a\in \mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}}}$

Examen 27 juni 2007

1:

• Geef en bewijs de congruentie van Euler en toon aan hoe je hieruit de Kleine Stelling van Fermat kunt halen.
• Is de volgende redenering correct: Neem de vergelijking ${\displaystyle 3^n}$ = 1 mod 17 voor ${\displaystyle n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}$. Omdat ggd(3,17)=1 en ${\displaystyle \varphi (17)=16}$ geldt ${\displaystyle 3^n=3^{nmod16}}$ mod 17. Dus n is een oplossing van de vergelijking als en slechts als n = 0 mod 16 . Indien de redenering niet juist is, geef dan de correcte oplossingsverzameling.

2:

• Zij ${\displaystyle G}$ een groep waarvan alle elementen orde 1 of 2 hebben. Bewijs dat ${\displaystyle G}$ abels is.
• Is ${\displaystyle G}$ isomorf met ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/2\mathbb{\mathbb{Z}}}$ ?

(Ik denk dat hier wat "gegevens" ontbreken, vb G kan ook alleen e bevatten enz, kdenk dat er bij moet staan orde G >=2) 3:

• Zij ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ twee priemgetallen met ${\displaystyle q>p}$, zodanig dat ${\displaystyle \alpha =\sqrt{pq-1}}$ priem is.
• Bewijs dat ${\displaystyle p=2}$
• Bestaat de inverse van ${\displaystyle \overline{q}}$ in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/\alpha \mathbb{\mathbb{Z}}}$ (of: geef de inverse?)
• Bereken ${\displaystyle (\overline{q}{)}^{-pq}}$ in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/\alpha \mathbb{\mathbb{Z}}}$.

4:

• Bereken in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/26\mathbb{\mathbb{Z}}}$: ${\displaystyle \overline{2}(x^{12}+x)=\overline{4}}$

5: Zij ${\displaystyle F}$ een n x n matrix over een eindig veld met karakteristiek ${\displaystyle p}$ met p een priemgetal, bewijs dat ${\displaystyle F{}^{p-1}=I_n}$ als er n verschillende eigenwaarden zijn van ${\displaystyle F}$ die allemaal in ${\displaystyle (Z/pZ{)}^x}$ zitten.

6:

• geef de definitie van een linker groepactie.
• Definieer de afbeeldingen ${\displaystyle id:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}:z\to z}$ en ${\displaystyle \overline{id}:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}:z\to \bar{z}}$. Dan vormt ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }=\{id,\overline{id}\}}$ een groep met als bewerking de samenstelling van functies. Definieer nu de afbeelding ${\displaystyle \oplus :\mathrm{\Gamma }\times {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}\to {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$ door ${\displaystyle id\oplus \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)}$ en ${\displaystyle \overline{id}\oplus \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\overline{d}& -\overline{c}\\ -\overline{b}& \overline{a}\\ \end{array}\right)}$ Dan is ${\displaystyle \oplus }$ een linker groepsactie. Definieer nu ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}=\{A\in {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}|\mathrm{\forall }\gamma \in \mathrm{\Gamma },\gamma \oplus A=A\}}$. Toon aan dat ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}}$ een lineaire deelruimte is van ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2})}$ beschouwd als reele vectorruimte.
• Vul de verzameling ${\displaystyle {ℬ}=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)\}}$ aan tot een verzameling die zowel een basis is van de reele vectorruimte ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}}$ als van de complexe vectorruimte ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$.
• Neem nu ${\displaystyle {ℬ}}$ als basis van ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$. Schrijf de afbeeldingen in ${\displaystyle {{ℬ}}^{*}}$ als lineaire combinaties van de afbeeldingen in de standaard duale basis van ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{*}}$. Dit is de duale basis geassocieerd aan de basis ${\displaystyle \{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)\}}$ van ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$.

Proefexamen 2007

De opgavesen de oplossingen