Analytical Mechanics

Algemeen

Dit vak wordt door prof. Maes en prof. Van Proeyen gegeven aan de master fysica en sterrenkunde. Het deel van prof. Maes bestaat vooral uit een herhaling en uitdieping van de resultaten uit klassieke mechanica. Je woordenschat" fysica-Frans" gaat er ook enorm op vooruit gaan: de cursus van het deel van prof. Maes komt uit Louvain la Neuve en is dus in het Frans. Het deel van Van Proeyen behandelt de mechanica op een veel meetkundigere manier.

Ook het examen bestaat uit 2 delen die beide op evenveel punten staan. Het examen is zeker niet ondoenbaar, al moet je in het deel van prof. Van Proeyen wel genoeg tijd stoppen om de theorie degelijk te begrijpen. Prof. Maes geeft gedurende het jaar wel eens een paar mogelijke vragen tijdens zijn les, dit jaar werd er daar een van gevraagd. Deze vragen al eens uitwerken kan dus wel helpen.

Examens

26 januari 2012 namiddag

Maes

We moesten hiervoor gewoon 10 oefeningen maken die hij de laatste les had gegeven. Tijdens het mondeling besprak hij dan een paar van die vragen en stelde hij bijvragen.

Van Proeyen

• Neem als ruimte de sfeer in twee dimensies $S^2$.
  • Wat is hier de rakende ruimte $T_x{S}^2$ van?
  • Definieer de symplectische structuur hier nu op als volgt: zei $\overrightarrow{v}$ en $\overrightarrow{w}$ twee vectoren uit de rakende ruimte, $J(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{v}x\overrightarrow{w}$. Toon aan dat dit een symplectische structuur is( hint: je moet niet rekenen aan dJ).
  • Kies nu een basis en geef $J_{ij}$
  • Wat is de groep van canonische transformaties hierop.
  • Geef zo een één-parameter voorstelling van een canonische transformatie

• Uw collega's deze voormiddag moesten aantonen dat de 5 eigenschappen van een Poisson haakje voldaan waren indien:
  • • $I^{ij}=-I^{ji}$
    • De oplossing van de oefening hieronder (de oplossing was gegeven, maar die ben ik vergeten)
• Toon nu aan dat die eigenschappen voldaan zijn als J een symplectische structuur is.
• We hebben ook de eigenschap $[X_f,X_h]=-X_{[f,h]}$ Toon dit aan door gebruik te maken van de twee bovenstaande eigenschappen (dus niet gebruiken dat J een syplectische structuur is).

Hint: Vernoem de variabelen goed, en gebruik veel symmetrieën.

26 januari 2012 Voormiddag

Maes

Geen examenvragen.

Van Proeyen

• Gegeven is de lagrangiaan $L=\frac{1}{2}{e}^{-at}({\dot{q}}^2-k^2{q}^2)$
  • Stel de bewegingsvergelijkingen op. Herken je deze?
  • Wat is de fysische betekenis van de parameter $a$?
  • Wat is de Hamiltoniaan?
  • Merk op dat we de Hamiltoniaan kunnen vereenvoudigen door een canonische transformatie met $\tilde{q}=e^{-at/2}q$ en $\tilde{p}=???$ (vul de vraagtekens in). Van welke variabelen kan de generenende functie afhangen? Geef zo'n genererende functie. Wat voor type canonische transformatie is dit?
  • Vind de nieuwe Hamiltoniaan. Om zeker te zijn dat dit nog steeds hetzelfde systeem beschrijft, kan je controleren of de bewegingsvergelijkingen voor deze nieuwe Hamiltoniaan hetzelfde zijn als degene die je vond in het eerste puntje van deze vraag.

• In de cursus definieerden we de Poissonhaak via de matrix $I^{ij}$ als inverse van de symplectische matrix $J^{ij}$ op de volgende manier: $[f,g]=???I^{ij}$ (vul in). We zullen de link met $J^{ij}$ nu laten vallen en arbitraire matrices $I^{ij}(x)$ bekijken die mogelijk afhankelijk zijn van het punt $x$ in de faseruimte.
  • Wat zijn de voorwaarden op $I^{ij}(x)$ opdat onderstaande eigenschappen nog zouden gelden? Welke eigenschappen zijn triviaal voldaan? Herinner u dat deze constraints moeten gelden voor alle functies f en g. In uw antwoord mag dus geen verwijzing meer staan naar de functies f,g,h. Schrijf de laatste constraint uit in de vorm $X^{[ijk]}=0$, waarbij de haakjes duiden op antisymmetriseren, ie $X^{[ijk]}=X^{ijk}-X^{ikj}+X^{kij}-X^{kji}+X^{jki}-X^{jik}$. Vind $X^{ijk}$.
    • [f,g] = -[g,f]
    • [f,kg] = k[f,g] (met k een constante)
    • [f,g + h] = [f,g] + [f,h]
    • [f,gh] = g[f,h] + [f,g]h
    • [f,[g,h]] + [h,[f,g]] + [g,[h,f]] = 0

21 januari 2009

Maes

• gegeven is de Hamiltoniaan $H=\frac{p^2}{2m}+A(q)p+B(q)$
  • bereken $\dot{q}$
  • bereken de Lagrangiaan
• De Lagrangiaan wordt in parabolische coördinaten gegeven door $L=\frac{m}{2}({\eta }^2+{\xi }^2)({\dot{\eta }}^2+{\dot{\xi }}^2)+\frac{m}{2}{\eta }^2{\xi }^2{\dot{\phi }}^2$. Zoek en vind de Hamiltoniaan in functie van de geconjugeerde momenta $p_{\eta }$ , $p_{\xi }$ en $p_{\phi }$.
• Beschouw de 1-dimensionale beweging in een potentiaal $V(x)=-\frac{k{x}^2}{2}+\frac{k{x}^4}{4a^2}$ met $a\in \mathbb{ℝ}$.
  • Geef het faseportret
  • Toon aan dat de afgeleide naar de energie van de integraal $\oint pdx$ gelijk is aan aan de periode

Van Proeyen

nog aan te vullen...

Examen januari 2008

Deel prof. Maes

• 2 functies in 3d waren gegeven en je moest onderzoeken of ze afleidbaar waren van een potentiaal
• Noteer met S de oppervlakte gevormd door een gesloten kromme in de faseruimte. Zoek een verband tussen $\frac{dS}{dE}$ en de periode van de beweging. Doe dit eerst voor de harmonische oscillator.
• Is de Lagrangiaan uniek? Bekijk een transformatie L naar L + f(t). Wanneer laat deze de fysica invariant? Wat bedoel je hier juist mee? En tot wat leiden coordinatietransformaties?
• Een punt met massa m2 hangt via een star touw van lengte L vast aan een punt met masse m1. Het punt kan op een horizontale as bewegen en hangt met een veer met veerconstante K vast. Bereken de Lagrangiaan. Welk zijn de behouden grootheden?

Deel prof. Van Proeyen

Time dependent constraints in D'Alembert

• Bekijk een coordinatentransformatie x = x(q,t). Toon aan dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn voor een dergelijke transformatie, vanuit het principe van D'Alembert.
• Bekijk nu constraints f(x(q,t),t) = 0. We kunnen deze implementeren door aan de Lagrangiaan een term toe te voegen: $L^{\prime }(x,\lambda )=L(x)+\lambda f(x,t)$. Toon aan dat de Euler Lagrange vergelijking voor $\lambda$ de constraint impliceert.
• De bewegingsvergelijking voor x gaat wijzigen. Toon aan dat deze verandering niet bijdraagt aan de termen in het bewijs uit puntje 1.

Lagrange brackets

Bekijk een coördinatentransformatie, zodat de coordinaten {x} gegeven zijn in functie van {u}. We definiëren de Lagrange brackets als volgt $\{u_j,u_i\}=-\frac{\partial x^k}{\partial u_i}{J}_{kl}\frac{\partial x^l}{\partial u_j}$.

• Toon aan dat de Lagrange brackets de getransponeerde van de inverse van de Poisson brackets zijn. Doe dit door aan te tonen dat PL = 1 (eenheidsmatrix) met $L^{ij}=\{u_j,u_i\}$ en $P_{ij}=[u_i,u_j]$ (de gebruikelijke Poisson haken dus).
• Bereken de canonische Lagrange gebrackets ($\{q^a,p_a\}$ en dergelijke) en toon aan dat ze gelijk zijn aan de canonische Poisson brackets.
• Bekijk in de faseruimte van minimale dimensie f = 5q+p en g = 2p. Bereken de Lagrange en Poisson brackets van deze twee grootheden.
• Toon aan dat een inverteerbare transformatie canonisch is als en slechts als ze de canonische Lagrange brackets behoudt.