Meetkunde II

Professor Franki Dillen

Joeri Van der Veken

Het examen bestaat uit een deel theorie, mondeling te verdedigen, en een deel oefeningen die enkel schriftelijk uit te werken zijn. Het examen is openboek. Dillen is hierbij zeer los: je kan steeds gewoon rechtstaan om naar het toilet te gaan, of om drinken of eten uit een nabije automaat te halen. Je krijgt 5 uur om alle vragen op te lossen. Cursus Meetkunde I, schrijfgerief en rekenmachine zijn toegelaten. In 2007-2008 is een deel gegeven door Joeri Van der Veken. Deze heeft dan ook een deel van het examen afgenomen. In 2009-2010 waren er drie lesgevers: Joeri Van der Veken voor projectieve meetkunde, Hendrik Hubrechts voor de algebraïsche meetkunde en Professor Dillen gaf de differentiaalmeetkunde. De mondelinge vragen waren dan ook verdeeld over de drie.

Examens

2010-06-23

Theorie

1. Als $l_1$ en $l_2$ rechten zijn in ${\mathbb{𝔸}}^2$, met oneigenlijke punten $P_1$ en $P_2$ in de gecomplexifieerde ruimte $(\mathbb{ℝ}{P}^2{)}^{\mathbb{ℂ}}$. Bewijs dan dat de hoek tussen $l_1$ en $l_2$ gelijk is aan $\frac{1}{2}|\log (P_1,P_2,I,J)|$, waarbij log de complexe logaritme is en I en J de isotrope punten (de punten op oneindig van een cirkel, als je de rechte $x_2=0$ als oneigenlijke rechte neemt zijn I en J gelijk aan $[(1,i,0)]$ en $[(1,-i,0)]$).
2. We definiëren de rechten $l_i$ als $x_i=0$ voor i = 0,1,2. We hebben een kromme C in $\mathbb{ℝ}{P}^2$ waartoe $E_0$, $E_1$ en $E_2$ toe behoren en die in $E_0$ de rechten $l_1$ en $l_2$, in $E_1$ de rechten $l_0$ en $l_2$ en in $E_2$ de rechten $l_0$ en $l_1$ als hoofdraaklijnen heeft.
   1. Wat is de laagste graad die C kan hebben en bewijs.
   2. Bewijs met Stelling 13 (pagina 146) dat de graad van een niet-ontaarde kromme C groter of gelijk is aan 5.
   3. Geef een voorbeeld van een kromme C met een zo laag mogelijke graad en bewijs dat de graad niet lager kan.
3. Beschouw een oppervlak $M\subset {\mathbb{𝔼}}^3$ gevormd door $x(u,v)=\alpha (u)+v\beta (u)$, met $\alpha (u)\in {\mathbb{𝔼}}^3$ voor alle u en $\beta (u)\in T{\mathbb{𝔼}}^3$ voor alle u. Ook weten we dat $\beta (u)\cdot \beta (u)=1$ en ${\beta }^{\prime }(u)\cdot {\beta }^{\prime }(u)\ne 0$.
   1. Bewijs dat de kromme $\gamma (t)=\alpha (t)+v(t)\beta (t)$ uniek is als ${\gamma }^{\prime }(t)\cdot {\beta }^{\prime }(t)=0$.
   2. Toon aan dat je x ook kunt schrijven als $x(u,v)=\gamma (u)+v\beta (u)$.
   3. Bewijs dat ${\gamma }^{\prime }\times \beta =p{\beta }^{\prime }$ met $p(u)\in \mathbb{ℝ}$ en leidt daaruit af dat de gausskromming gelijk is aan $K=\frac{-p^2}{(p^2+v^2{)}^2}$.
   4. Bewijs vervolgens dat een plat regeloppervlak gelijk is aan een cilinder, een kegel of een raaklijnenoppervlak.

Oefeningen

1. 1. Bewijs dat als een projectieve afbeelding $f\in GL(2,\mathbb{ℝ})$ met $f\circ f=Id\ne f$ het spoor van f gelijk is aan 0.
   2. Stel dat ABC een driehoek is in ${\mathbb{𝔼}}^2$, en P,Q en R drie collineaire punten op de rechte l (die verschillend is van AB, BC en CA). Dan zijn $P^{\prime }=l\cap AB$, $Q^{\prime }=l\cap BC$ en $R^{\prime }=l\cap CA$. Bewijs dan dat de rechten PC, QA en RB concurrent zijn als en slechts als er een projectieve transformatie g bestaat die voldoet aan de voorwaarden uit puntje (1) en die P, Q en R afbeeldt op respectievelijk P', Q' en R'.
   3. We hebben twee rechten $l_1$ en $l_2$ in $\mathbb{(}A{)}^3$ die loodrecht op elkaar staan. Vind een afbeelding die de oneigenlijke punten op de (gecomplexifieerde) ruimte op oneindig van deze twee rechten op elkaar afbeeldt.
   4. Gebruik punje (2) en (3) van deze vraag om aan te tonen dat de hoogtelijnen van een driehoek concurrent zijn.

1. We hebben een rationale kromme C in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ gegeven met $x=\frac{2b{t}^2}{1+t^2}$ en $y=\frac{2b{t}^3}{1+t^2}$.
   1. Bepaal de graad van C zonder t te elimineren.
   2. Bepaal de voorwaarden opdat drie punten van de kromme C met parameters $t_1$, $t_2$ en $t_3$ collineair zijn.
   3. Bepaal de algebraische schrijfwijze van C.

2009-08-28

Ik heb erop gezet wat ik mij nog herinner... (mensen die kunnen aanvullen?) --Pieterrr 28 aug 2009 15:04 (UTC)

Theorie

Deze vraag moest verdedigd bij Joeri

1. 1. Definieer een poolhypervlak van een punt t.o.v. 2 Hypervlakken in $\mathbb{ℂ}{P}^n$ op 2 verschillende manieren.
   2. Bespreek de meetkundige constructie van de poollijn van een punt in $\mathbb{ℂ}{P}^2$.

Deze vragen moesten verdedigd bij professor Dillen

1. Definieer de begrippen enkelvoudig en meervoudig punt voor een willekeurig punt P van een algebraïsche kromme C = V(F) in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ aan de hand van het begrip snijpuntsmultipliciteit. Voer ook het begrip hoofdraaklijn in.
2. Beschouw een $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to M\subseteq \mathbb{𝔼}$ waarvoor $x_u*x_v=0$ en $x_u*x_u=x_v*x_v$, Bewijs dan dat $x_{uu}+x_{vv}=2EH\xi$ (hint: bewijs eerst dat $x_{uu}+x_{vv}$ normaal is)

Oefeningen

1. Bepaal een projectieve $\mathbb{ℂ}{P}^2\to \mathbb{ℂ}{P}^2$ transformatie die de rechten $x_0+x_1=0$, $x_0+x_2=0$, $x_0+x_1+x_2=0$, $x_1+x_2=0$ afbeeldt op $x_0+x_2=0$, $x_0+x_1=0$, $x_1+x_2=0$, $x_0+x_1+x_2=0$, respectievelijk.
2. ?
3. ?

2009-06-24

Media:ExamenMeetkunde2bis.pdf

2009-06-17

Theorie

1. Beschouw ${\mathbb{𝔼}}^3$. Een kromme $\alpha (t)$ op een oppervlak is een hoofdkromme indien de afgeleide ${\alpha }^{\prime }(t)$ steeds langs een hoofdrichting ligt, m.a.w. als $S{\alpha }^{\prime }(t)$ evenredig is met ${\alpha }^{\prime }(t)$ voor alle $t$ (waarbij $S$ de shape-operator voorstelt). Veronderstel nu dat een oppervlak $M$ langs een kromme $\alpha (t)$ raakt aan een sfeer met straal $R$ en middelpunt $m$. Toon aan dat $\alpha (t)$ een hoofdkromme is.
2. Gegeven zijn een punt $P\in \mathbb{ℝ}{P}^n$ en een hyperkwadriek ${\mathscr{H}}=\{[x]\in \mathbb{ℝ}{P}^n|x^{T}Ax=0\}$. Dan definiëren we het poolhypervlak van $P$ ten opzichte van ${\mathscr{H}}$ als ${\pi }_P({\mathscr{H}})=\{[x]\in \mathbb{ℝ}{P}^n|p^{T}Ax=0\}$. Bewijs nu de volgende uitspraken.
   1. Het begrip poolhypervlak is een projectief invariant, m.a.w. $\mathrm{\forall }\varphi \in PL(n,\mathbb{ℝ}):\varphi ({\pi }_P({\mathscr{H}}))={\pi }_{\varphi (P)}(\varphi ({\mathscr{H}}))$.
   2. Als $P$ op het hyperkwadriek ${\mathscr{H}}$ ligt, dan valt het poolhypervlak samen met het raakhypervlak aan ${\mathscr{H}}$ in $P$.
   3. Het poolhypervlak is de meetkundige plaats van alle punten die harmonisch toegevoegd zijn aan $P$ ten opzichte van $l\cap {\mathscr{H}}$, waarbij $l$ een variabele rechte is door $P$.

Oefeningen

1. Zij $\varphi :\mathbb{ℝ}{P}^2\to \mathbb{ℝ}{P}^2$ een projectieve afbeelding en $P\in \mathbb{ℝ}{P}^2$.
   1. Toon aan dat volgende twee uitspraken equivalent zijn.
      1. Voor alle $Q\in \mathbb{ℝ}{P}^2$ zijn $P,Q,\varphi (Q)$ colineaire punten.
      2. Voor alle rechten $l$ door $P$ geldt dat $\varphi (l)=l$.
   2. Toon aan dat een punt $P$ dat aan de voorwaarden van het voorgaande voldoet, een vast punt is.
   3. Toon aan dat dit punt uniek is in het geval $\varphi \ne Id$.
2. Beschouw twee viervlakken $ABCD$ en $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ in $\mathbb{ℝ}{P}^2$. Veronderstel dat $P_1=AB\cap A^{\prime }{B}^{\prime }$, $P_2=BC\cap B^{\prime }{C}^{\prime }$, $P_3=AC\cap A^{\prime }{C}^{\prime }$, $P_4=BD\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$ en $P_5=CD\cap C^{\prime }{D}^{\prime }$ alle colineair zijn en dus op een gemeenschappelijke rechte $l$ liggen. Toon aan dat dan ook $P_6=AD\cap A^{\prime }{D}^{\prime }$ op deze rechte ligt.
3. Bepaal de snijpunten en hun multipliciteiten van $C_1=V(x_0^3+x_1^3-2x_0{x}_1{x}_2)$ en $C_2=V(x_0^3+x_1^3-x_2(x_0^2+x_1^2))$.
4. Beschouw een afbeelding $x:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{𝔼}}^3:(u,v)\mapsto x(u,v)=(u,v,f(u,v))$.
   1. Bepaal hiervan de Gausskromming en de gemiddelde kromming.
   2. Veronderstel dat $f(u,v)=f_1(u)+f_2(v)$ en $f_1(0)=f_2(0)=f_1^{\prime }(0)=f_2^{\prime }(0)=0$. Toon aan dat als $x$ een minimaal oppervlak beschrijft, dat dan $f(u,v)=0$ of $f(u,v)=\frac{1}{a}\ln \left(\frac{\cos (au)}{\cos (av)}\right)$ met $a\in {\mathbb{ℝ}}_0$.

DoWh4P <a href="http://uzmmmonxgifr.com/">uzmmmonxgifr</a>, [url=http://imljrvjgqprs.com/]imljrvjgqprs[/url], [link=http://lkpddvyidyue.com/]lkpddvyidyue[/link], http://jcqizzsrdwzn.com/

2007-06-28

Theorie

1. Definieer het begrip harmonisch puntenviertal. Definieer vervolgens de poollijn van een punt P ten opzichte van twee rechten. Geef een alternatieve definitie voor poollijn. Bespreek vervolgens de meetkundige constructie voor de poollijn van een punt.
2. Beschouw een oppervlak $M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ en een oppervlaksegment $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ van M. Zij $p=x(u_0,v_0)\in M$
   1. Als $\alpha :I\subseteq \mathbb{ℝ}\to M:t\mapsto \alpha (t)$ een kromme is en $p=\alpha (t_0)$, toon dan aan dat er een open deel $\tilde{I}\subseteq I$ met $t_0\in \tilde{I}$ en een kromme $\beta :\tilde{I}\subseteq I\to U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:t\mapsto \beta (t)=(u(t),v(t))$ bestaat zodat $\alpha (t)=x(u(t),v(t))$ voor elke $t\in \tilde{I}$. (Hint: Gebruik dat x op een diffeomorfisme na lokaal van de vorm (u,v,f(u,v)) is.)
   2. Zij $\xi$ het eenheidsnormaal vectorveld. We noteren de beperking $\xi :\tilde{I}\to T{\mathbb{𝔼}}^3:t\mapsto \xi (u(t),v(t))$ ook door $\xi$. Toon aan dat ${\xi }^{\prime }(t_0)=-S({\alpha }^{\prime }(t_0))$.
   3. Beschouw twee oppervlakken $M_1$ en $M_2$ die elkaar snijden in een reguliere kromme. Zij $\alpha :I\to U$ een parametrisatie van deze kromme. We zeggen dat $\alpha$ een hoofdkromme is van een oppervlak als en slechts als ${\alpha }^{\prime }$ een eigenvector is van de Shape-operator S. Veronderstel dat de normalen ${\xi }_1$ en ${\xi }_2$ van de oppervlakken op $\alpha$ een constante hoek $\theta$ maken met $0\le \theta \le \pi$. Als $\theta \in \{0,\pi \}$. Toon aan dat ${\xi }_1{S}_2(\alpha \prime )+{\xi }_2{S}_1(\alpha \prime )=0.$, waarbij $S_i$ de shape-operator van $M_i$ is, en leid daaruit af dat $\alpha$ een hoofdkromme is van $M_1$ als en slechts als $\alpha$ een hoofdkromme is van $M_2$.

Oefeningen

1. Vind alle projectieve transformaties $\varphi :{\mathbb{𝔽}}_2{P}^2\to {\mathbb{𝔽}}_2{P}^2$ zodat $\varphi ([(0,1,1)])=[(0,0,1)]$ en $\varphi ([(1,1,0)])=[(0,1,1)]$ en zodat de rechte met vergelijking $x_0+x_1=0$ wordt afgebeeld op $x_1+x_2=0$.
2. Beschouw de stelling van de volledige vierzijde in het projectieve vlak. Als we één van de vier zijden als de rechte op oneindig nemen, formuleer dan de stelling in het affiene vlak, met enkel affiene begrippen. Maak een tekening.
3. Zij ${𝒞}$ een algebraïsche kromme in $\mathbb{ℂ}{P}^2$, gegeven door ${𝒞}\leftrightarrow f(x_0,x_1,x_2)=0$ waarbij $f$ een veelterm van graad $n$ is. Zij $P=[(p_0,p_1,p_2)]\in \mathbb{ℂ}{P}^2$. Definieer de $k$-de poolkromme ${{𝒞}}_P^{(k)}$ van $P$ ten opzicht van ${𝒞}$ als ${{𝒞}}_P^{(k)}\leftrightarrow {(p_0\frac{\partial }{\partial x_0}+p_1\frac{\partial }{\partial x_1}+p_2\frac{\partial }{\partial x_2})}^{k}f(x_0,x_1,x_2)=0$.
   1. Bewijs dat deze poolkromme een projectieve invariant is (invariant voor projectieve transformaties).
   2. Zij $Q$ een $\ell$-voudig punt van ${𝒞}$ met $l>k$. Bewijs dat $Q\in {{𝒞}}_P^{(k)}$.
   3. Bewijs polaire wederkerigheid: $Q\in {{𝒞}}_P^{(k)}⟺P\in {{𝒞}}_Q^{(n-k)}$.
   4. Wat krijg je voor ${{𝒞}}_P^{(1)}$ als ${𝒞}$ een ontaarde kegelsnede is? Bewijs.
4. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ een functie die minstens twee maal differentieerbaar is. Zij $x$ het omwentelingsoppervlak bepaald door $f$, dus $x(u,v)=(u,f(u)\cos v,f(u)\sin v).$
   1. Bepaal de Gausskromming en de gemiddelde kromming.
   2. Neem nu $f(u)=e^{-u^2}$. Maak een schets van het omwentelingsoppervlak en bespreek de Gauskromming ervan aan de hand daarvan.

2006-06-19

Theorie

1. Definieer de begrippen enkelvoudig en meervoudig punt voor een willekeurig punt P van een algebraïsche kromme C = V(F) in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ aan de hand van het begrip snijpuntsmultipliciteit. Voer ook het begrip hoofdraaklijn in. Bespreek het geval dat P een dubbelpunt is grondig.
2. Beschouw een oppervlak $M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ en een oppervlaksegment $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ van M. Zij $p=x(u_0,v_0)\in M$
   1. Als $\alpha :I\subseteq \mathbb{ℝ}\to M:t\mapsto \alpha (t)$ een kromme is en $p=\alpha (t_0)$, toon dan aan dat er een open deel $\tilde{I}\subseteq I$ met $t_0\in \tilde{I}$ en een kromme $\beta :\tilde{I}\subseteq I\to U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:t\mapsto \beta (t)=(u(t),v(t))$ bestaat zodat $\alpha (t)=x(u(t),v(t))$ voor elke $t\in \tilde{I}$.
   2. Zij $\xi$ het eenheidsnormaal vectorveld. We noteren de beperking $\xi :\tilde{I}\to T{\mathbb{𝔼}}^3:t\mapsto \xi (u(t),v(t))$ ook door $\xi$. Toon aan dat ${\xi }^{\prime }(t_0)=-S({\alpha }^{\prime }(t_0))$.
   3. Zij $w\in T_{p}M$ een raakvector met $||w||=1$ en zij H het vlak door p, opgespannen door $\xi (u_0,v_0)$ en w. Dan snijdt H het oppervlak M in de omgeving van p in een kromme. Stel dat $\alpha :I\to M$ een booglengteparametrisatie is van deze kromme, dus $\alpha (I)\subseteq M\cap H$ en stel dat $p=\alpha (t_0)$ en $w={\alpha }^{\prime }(t_0)$. Toon aan dat de normale kromming in de richting van w gegeven is door $k(w)=ϵ\kappa (t_0)$ waarbij $\kappa$ de kromming is van $\alpha$, $ϵ=\pm 1$, in het bijzonder is $ϵ=1$ als $\xi (t_0)=N(t_0)$ en $ϵ=-1$ als $\xi (t_0)=-N(t_0)$, met N het hoofdnormaalveld van α.
   4. Interpreteer dit resultaat. Geef in het bijzonder commentaar over de normale kromming van minimale oppervlakken.

Oefeningen

1. Elke projectieve transformatie $\phi :\mathbb{ℝ}{P}^{2006}\to \mathbb{ℝ}{P}^{2006}$ heeft minstens 1 vast punt. Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
2. Zij $P^n$ een projectieve ruimte. Bewijs de volgende uitspraken (die we in de oefenzittingen gebruikt hebben):
   1. De doorsnede van 2 lineaire systemen in $P^n$ is opnieuw een lineair systeem, met als as de som van de assen van de oorspronkelijke lineare systemen.
   2. De som van 2 lineaire systemen in $P^n$ (gedefinieerd door de som van de overeenkomstige projectieve deelruimten van de duale ruimte te nemen) is opnieuw een lineair systeem, met als as de doorsnede van de assen van de oorspronkelijke lineaire systemen.
3. 1. Zij $m\ne 0$ een natuurlijk getal. Argumenteer dat de verzameling van alle algebraïsche krommen van graad m in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ de structuur heeft van een projectieve ruimte. Schrijf de dimensie van deze ruimte in functie van m.
   2. Noteer met $E_0,E_1,E_2,\bar{E}$ de standaard projectieve ijk in $\mathbb{ℂ}{P}^2$. Toon aan dat de verzameling van de vierdegraadskrommen in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ door $E_0,E_1$ en $E_2$, met keerpunten in $E_0$ en $E_1$ met respectievelijk keerraaklijnen $E_0\bar{E}$ en $E_1\bar{E}$, een projectieve deelruimte vormt van de vierdegraadskrommen in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ en bepaal haar dimensie.
4. In ${\mathbb{𝔼}}^2$ is een niet-ontaarde parabool P gegeven met daarop 3 onderscheiden punten $X_1,X_2,X_3$. Toon aan dat de normalen op P in $X_1,X_2$ en $X_3$ concurrent zijn als en slechts als het zwaartepunt van de driehoek $\mathrm{△}{X}_1{X}_2{X}_3$ op de as van P ligt.
   Hint: kies een geschikte Euclidische ijk en werk met een rationele parametervoorstelling voor P.
5. Zij M het oppervlak in ${\mathbb{𝔼}}^3$ met vergelijking $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$
   1. Bereken de gemiddelde kromming H en de Gausskromming K van M.
   2. Bereken $\underset{p\in M}{\inf }H$ en $\underset{p\in M}{\sup }H$. Worden infimum en supremum bereikt? Zo ja, in welk punt?

2006-08-21

De vragen zijn niet zo volledig als vorige keer, ik had geen tijd om ze over te schrijven nu. Hopelijk zijn ze iets waard. Excuses voor eventuele fouten.

Theorie

1. Zelfde als in eerste zit.
2. Gegeven een compact oppervlak $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{𝔼}}^3$ en een functie $f:{\mathbb{𝔼}}^3\to \mathbb{ℝ}:w\mapsto f(w)=||w|{|}^2=w\cdot w$. We gaan bewijzen dat er een punt bestaat op het oppervlak zodat de Gausskromming strikt negatief is.
   1. Definieer $F:U\to \mathbb{ℝ}:F(u,v)=f(x(u,v))$. Neem een punt $(u_0,v_0)\in U$ waar $F$ maximaal is, met $p=x(u_0,v_0)$ . Bewijs dat $x\perp T_{p}M$.
   2. Neem $w\in T_{p}M$. Definieer $h:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:t\mapsto h(t)=F(u_0+t{w}_1,v_0+t{w}_2)$. Bewijs dat $l{w}_1+2m{w}_1{w}_2+n{w}_2\le \frac{w_1\cdot w_2}{R}$ met $l=l(x_1,x_2),\dots$ Let wel dat de uitdrukking in het linkerlid misschien niet volledig correct is, maar het was alleszins iets van die strekking.
   3. Concludeer hieruit dat de kromming negatief is in dit punt.

Oefeningen

1. Zij $\phi$ een projectieve transformatie van $\mathbb{ℂ}{P}^1$ zodanig dat $\phi (A_1)=A_2$, $\phi (A_2)=A_3$ en $\phi (A_3)=A_1$.
   1. Bewijs dat $\phi \circ \phi \circ \phi$ de identieke transformatie is.
   2. Zij $X$ een vast punt van $\phi$. Bewijs dat $(A_1,A_2,A_3,X)\in \{e^{i\frac{\pi }{3}},e^{-i\frac{\pi }{3}}\}$.
2. Zij ${\mathrm{\Sigma }}^a$ en ${\mathrm{\Sigma }}^b$ 2 lineare systemen van $P^n$ zodat ze geen hypervlak gemeen hebben. Neem een hypervlak $\alpha$ uit ${\mathrm{\Sigma }}^a+{\mathrm{\Sigma }}^b$. Dan bestaat er een bundel hypervlakken die zowel $\alpha$ als een exemplaar uit ${\mathrm{\Sigma }}^a$ en ${\mathrm{\Sigma }}^b$ bevat. (Klopt deze vraag wel?)
   1. Dualiseer deze stelling naar $(P^n{)}^{*}$.
   2. Dualiseer de stelling naar de assen van de lineaire systemen.
   3. Bewijs 1 van de 3 stellingen (de anderen volgen uit dualiteit).
3. Wat is de meest algemene vergelijking van een kromme $C$ in ${\mathbb{𝔸}}^2$ die graad $n$ heeft, waarbij het punt $(0,0)$ een $(n-2)$-voudig punt is, en waarvoor de $n$ rechten $a_{i}x+b_{i}y=0$ asymptoten zijn?
4. Een tractrice is een functie ${\mathbb{ℝ}}_0^{+}\to {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ met $\underset{u\to 0}{\lim }f(u)=c$ die voor elk punt $u$ voldoet aan de volgende eigenschap: de afstand van $f(u)$ naar de x-as, gemeten volgens de raaklijn, is $c$.
   1. Bewijs dat een tractrice voldoet aan volgende differentiaalvergelijking: $(f^{\prime }{)}^2=\frac{f^2}{c^2-f^2}$.
   2. Als we het omwentelingslichaam, verkregen door een tractrice te wentelen rond de x-as, beschouwen, dan is de Gausskromming van dit lichaam constant en strikt negatief (denk ik). Bewijs dit.