Statistische Mechanica

Algemene informatie

Dit vak wordt gedoceerd door professor Enrico Carlon aan 3e bachelor en 1ste master fysica. De professor is op het examen zeer kalm en geeft hints wanneer je vast zit. Tot en met academiejaar 2010-2011 gaf professor D. Bollé dit vak.

Informatie over het examen

• Het examen bestaat uit 2 theorievragen en een oefening.
• Het examen is open boek. dwz: cursus, eigen notities en oefeningen. geen andere boeken ofzo
• Je krijgt een schriftelijke voorbereidingstijd voor de theorie die mondeling afgelegd wordt.
• De oefening is volledig schriftelijk. Indien je (bijvoorbeeld bij een herexamen) met niet veel personen bent, kan hij je ook vragen om ze mondeling uit te gaan leggen.

Professor Bolle is heel rustig op het examen; hij laat je uitspreken en een uiteenzetting van de leerstof houden. Hij stelt wel gedetailleerde bijvragen: je moet echt wel begrijpen waarover het gaat. Zorg dat je alle kenmerken van de figuren in de cursus kan uitleggen; figuren zijn vaak de inspiratiebron voor bijvragen.

Voor de theorie mag je gewoon je cursus meenemen naar de mondelinge verdediging. Gebruik dus best je voorbereidingstijd om nog eens goed na te gaan hoe je je antwoord gaat opbouwen. Indien je nog vraagtekens in je cursus hebt staan, gom je die best even weg ;-).

Examens

Professor Carlon

23 januari 2012

• Bespreek P en N bij bose-einstein condensatie. Verklaar waarom er geen bec is bij dimensie 2.
• leidt w(E) af voor een ideaal gas aan de hand van $V_N(R)=\frac{{\pi }^{N/2}{R}^n}{(n/2)!}$.
• Gegeven een 2deeltjes systeem met $H=\frac{{\overrightarrow{p_1}}^2}{2m_1}+\frac{{\overrightarrow{p_2}}^2}{2m_2}+\frac{K}{2}|\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}{|}^2$. Geef de vrije energie, druk, interne energie + $C_v$ ( vergelijk met het equipartitie theorem) en $<|\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}|>$
• Toon aan dat voor een ideaal kwamtumgas geldt dat $PV=\sigma E$ waarbij $ϵ=\alpha |\overrightarrow{p}{|}^s$ en $g(ϵ)=A{ϵ}^{\frac{d}{s}-1}$. De formules voor de druk en E waren gegeven. Toon aan dat $\sigma$ hetzelfde is voor zowel fermionen als bosonen.

16 januari 2012 (nm)

PDF:PDF.

16 januari 2010 (vm)

1. Beschouw een geïsoleerd systeem met 4 chemische stoffen A, B, C en D die reageren volgens$A+B<=>C+D$. Het systeem heeft een vast volume V en heeft geen energie-uitwisseling met de externe wereld. Noem $N_A,N_B$... het aantal deeltjes van stof A, B... We nemen aan dat de deeltjes voldoen aan de ideale geaswet. Leid voor dit systeem de wet der masswerking af.

2. Bespreek het gedrag van de Fermi distributie bij lage temperaturen en bij T=0. Verklaar de betekenis van Fermi-energie en bereken ze voor een ideaal Fermi-gas. Toon aan dat in een dergelijk systeem de druk eindigt blijft als T->0.

3. We beschouwen een keten die bestaat uit N monomeren op een rechte lijn. Een kracht F wordt uitgeoefend aan de twee zijden van de keten. Elke monomeer bevindt zich ofwel in toestand $\alpha$ ofwel in toestand $\beta$. In $\alpha$is de lente a en de energie ${ϵ}_{\alpha }$. In $\beta$is de lengte van de monomeer b en de energie ${ϵ}_{\beta }$. (een figuur is gegeven op het examen) Het systeem in evenwicht met een warmtebad op temperatuur T . Bereken de gemiddelde lengte van de keten als functie van de kracht uitgeoefend op de eindpunten. Wat is de kans om$N_{\alpha }$ monomeren in de toestand $\alpha$ te vinden?

4. Beschouw een systeem van toestanden $\mu$ met energie$E_{\mu }$ waarbij een Markovketen door overganswaarschijnlijksheden $P(\mu ->\nu )$ gedefinieerd wordt. Welke van de volgende keuzes voor P voldoet aan detailed balance. a)$P(\mu ->\nu )=e^{\beta /2(E_{\mu }-E_{\nu })}$ b)$P(\mu ->\nu )=\frac{1}{1+e^{-\beta (e_{\mu }-E_{\nu }}}$

Professor Bollé (oudere examens)

6 september 2011 (vm)

PDF: Media: Examen_SM_augustus2011.pdf‎

24 januari 2011 (voormiddag)

1. Beschouw het 2-niveau systeem. Bereken in een ensemble naar keuze de energie en soortelijke warmte. Bespreek. Kan men dit model gebruiken voor een studie van het Ising-model?

2. Wat is de correlatielengte en wat kan men ermee berekenen. Pas dit toe op het 1 dimensionaal Ising model met een exacte berekening.

3. Een metaalrooster met N absorbtiepunten, staat in contact met een ideaal gas. Als een molecule wordt geabsorbeerd heeft een energie van $(-\alpha )$ minder dan anders. Geef de partitiefunctie, bereken de verhouding van het aantal deeltjes dat op dit rooster zit enzo...

21 januari 2011 (voormiddag)

1. Op welke fysische principes is het metropolis algoritme gebaseerd? Toegepast op het twee dimensionaal Ising model zonder uitwendig magnetisch veld vinden we de resultaten van de figuren (11.2) en (11.3). Bespreek deze figuren.

2. Bepaal met de techniek van decimatie, tot op tweede orde in $K=\beta J$, een benaderde waarde voor de kritische exponent $\nu$ voor het naaste nabuur Ising model zonder uitwendig magnetisch veld in twee dimensies op een vierkant rooster. Bespreek het bewegingspatroon van de interactiepartners.

3. Gegeven twee onderscheidbare deeltjes 1 en 2 en twee dozen A en B. Een deeltje in doos A heeft energie $-\alpha$, een deeltje in doos B heeft energie $\alpha$. Als beide deeltjes in dezelfde doos zitten, wordt de energie verder verlaagd met $\kappa$. $\alpha$ en $\kappa$ zijn groter dan nul.

• Bepaal de partitiefunctie
• Bepaal de gemiddelde energie
• Stel dat een deeltje is doos A een coördinaat 0 heeft en een deeltje in doos B coördinaat 1. Bepaal de gemiddelde positie $<r_1>$ van deeltje 1.
• De correlatiefunctie $G(1,2)=<r_1{r}_2>-<r_1><r_2>$. Bepaal G. Wat kun je in het algemeen afleiden uit de correlatiefunctie?
• Op de figuur is de correlatiefunctie getekend voor twee verschillende waarden van $\kappa$ in functie van kT. Bespreek deze figuur.

24 augustus 2010

1. Wat is universitaliteit? Hoe kan men dit verklaren met behulp van de renormalisatiegroep?

2. Het klassieke Heisenberg-model (zie cursus). Bepaal voor welke temperatuur er spontane magnetisatie zal optreden.

3. Model van DNA-molecules. Een streng bestaat uit N moleculen, die elk ofwel gepaard (met een complementair basenpaar) ofwel ongepaard kunnen zijn. Een gepaarde molecule heeft E = 0, terwijl een ongepaarde molecule E > 0 heeft. Een molecule op de i-de plaats kan enkel een paar vormen met een complementaire molecule wanneer alle moleculen links ervan (1 tot i-1) ook gepaard zijn. Stel de toestandssom op van dit systeem. Welk ensemble ga je gebruiken? Bepaal de gemiddelde lengte van de streng. Wat gaat dit gemiddelde worden voor lage temperaturen?

12 januari 2010

1. Van der Waals-gas. Wat zegt de regel van Maxwell en wat heeft dit te maken met universaliteit. (Zeker een bijvraag: is er behalve mechanisch evenwicht een ander evenwicht van doen bij de maxwell regel? Zoja, hoe bewijs je dit? Antwoord: ook chemisch evenwicht, zie eerste opgave hoofdstuk9)

2. Bepaal met de techniek van decimatie, tot op tweede orde in $K=\beta J$, een benaderde waarde voor de kritische exponent $\nu$ voor het naaste nabuur Ising model zonder uitwendig magnetisch veld in twee dimensies op een vierkant rooster. Bespreek het bewegingspatroon van de interactiepartners.

3. Een metaaloppervlak bevat N absorptie punten waarop telkens 1 gasmolecule kan geabsorbeerd worden. Het oppervlak staat in contact met een ideaal gas met een chemische potentiaal $\mu$ (bepaald door de druk$p$ en de temperatuur$T$); Een geabsorbeerde molecule heeft een energie $(-ϵ)$ in vergelijking met een vrije molecule. Bereken de toestandssom van het systeem. Welk ensemble ga je gebruiken en waarom? Berken de bezettingsgraad, i.e., de verhouding van het aantal geabsorbeerde moleculen en absorptie punten op het oppervlak. Schrijf deze als functie van $(p,T,\lambda ,ϵ)$ en met $\lambda$ de thermische golflengte. Bespreek.

11 januari 2010

1. Beschouw het 2-niveau systeem. Bereken in een ensemble naar keuze de energie en soortelijke warmte. Bespreek. Kan men dit model gebruiken voor een studie van het Ising-model? (Hier valt heel wat over te vertellen, ook al is het vrij beknopt in de cursus. Alles wat je niet uit eigen initiatief aanhaalde sleurde hij er zelf wel uit.)

2. Bespreek in het kader van renormalisatie het decimatieproces in 1 dimensie. Hoe kan men dit veralgemenen naar hogere dimensies? (Zelfde opmerking, in principe werd bij het mondeling heel het hoofdstuk van renormalisatie behandeld)

3. Beschouw een systeem van 3 spins met naaste nabuur interacties. Ze hebben een magneetmoment $\overrightarrow{\mu }=2\mu \overrightarrow{S}$. Veronderstel dat men een magneetveld B aanlegt volgens de z-as. De energie van de deeltjes wordt gegeven door de Hamiltoniaan

$H=J{S}_1{S}_2+J{S}_2{S}_3-2\mu B(S_1+S_2+S_3)$

(Let op het teken voor de spin-spin koppeling: het is een antiferromagnetisch systeem.)

• Geef de verschillende mogelijke toestanden en hun energieën, zet deze uit op een diagram van de energie in functie van het aangelegde veld B. Duid hierop ook eventuele ontaardingen aan.
• Vind een gesloten formule voor de partitiefunctie.
• Bereken de magnetisatie van het systeem. Wat krijg je voor hoge temperaturen? Bespreek.
• Schets het gedrag van de soortelijke warmte (bij constant magneetveld) wanneer B=0. Dit kan je doen zonder al te veel berekeningen op basis van zuiver fysische argumenten. Wat gebeurt er bij zeer lage temperaturen? En bij zeer hoge?

26 januari 2009

1. Op welke fysische principes is het metropolis algoritme gebaseerd? Toegepast op het twee dimensionaal Ising model zonder uitwendig magnetisch veld vinden we de resultaten van de figuren (11.2) en (11.3). Bespreek deze figuren.

2. Bepaal met de techniek van decimatie, tot op tweede orde in $K=\beta J$, een benaderde waarde voor de kritische exponent $\mu$ voor het naaste nabuur Ising model zonder uitwendig magnetisch veld in twee dimensies op een vierkant rooster. Bespreek het bewegingspatroon van de interactiepartners.

3. Beschouw een kristal met N atomen met spin 1/2 gericht volgens de z-as ($m_s=\pm 1/2$). het magnetisch moment van het i-de atoom is $\overrightarrow{{\mu }_i}=g{\mu }_B\overrightarrow{s_i}$ met g de Lande-factor en ${\mu }_B=e\hslash /2mc$ het Bohr magneton. Onderstel dat de atomen niet interageren, maar in evenwicht zijn op een temperatuur T. het kristal wordt in een magnetisch veld geplaatst $\overrightarrow{B}=B\overrightarrow{e_z}.$

• Bereken de toestandssom als een functie van $\eta =g{\mu }_{B}B/2kT$
• Bepaal de entropie S van het kristal (enkel de bijdrage van de spintoestanden) en ga na wat ze wordt voor sterke en zwakke magnetische velden. Bespreek.
• Bepaal de magnetisatie M en de susceptibiliteit $\chi$. Evalueer de uitdrukkingen voor zwakke magnetische velden
• Onderstel dat elk atoom interageert met zijn naaste n naburen en aldus een extra veld genereert $g{\mu }_B{B}^{\prime }=2K\sum _{j=1}^N⟨(\overrightarrow{s_j})⟩=2K(n/N)(M/g{\mu }_B)$ met K de interactiesterkte en M het totaal magnetisch moment. Verklaar deze formule. Bereken de susceptibiliteit voor zwakke velden (i.e. hoge temperatuur). Voor welke temperatuur, $T_c$ wordt $\chi$ oneindig?

23 januari 2009

1. Wat is Universitaliteit? en hoe wordt dit verklaart met behulp van de renormalisatie groep?

2. Bespreek de correlatiefunctie algemeen, en specifiek het kritisch gedrag voor het Ising model. Bereken en leg uit wat er precies gebeurt in het 1-dim model. (Dit laatste moest blijkbaar met behulp van transfermatrices exact worden opgelost)

3. Een systeem van N vaste deeltjes met spin 1/2. En een uniform constant magneetveld. De spins interageren enkel met het extern veld, niet met elkaar. Schrijf de energie op. Bepaal voor dit systeem in evenwicht op temperatuur T de toestandssom, de totale magnetisatie, de energie, de warmtecapaciteit en de entropie.

24 januari 2008

1. Op welke fysische principes is het Metropolis algoritme gebaseerd? Toegepast op het twee dimensionaal Ising model zonder uitwendig magnetisch veld vinden we e resultaten van de figuren (11.2) en (11.3). Bespreek deze figuren.

2. De Hamiltoniaan van het eendimensionaal Ising model met naaste nabuur interacties is gegeven door ${\mathscr{H}}=-J\sum _{ij}^N{S}_i{S}_j-h\sum _{i=1}^N{S}_i$ Onderstel periodische rvw. Bereken de toestandssom, de magnetisatie en de spontane magnetisatie door gebruik te maken van de methode van de transfermatrices. Is er een faseovergang? Vergelijk met de resultaten van de gemiddelde-veld benadering.

3. Een metaaloppervlak bevat N absorptie punten waarop telkens 1 gasmolecule kan geabsorbeerd worden. Het oppervlak staat in contact met een ideaal gas met een chemische potentiaal $\mu$ (bepaald door de druk$p$ en de temperatuur$T$); Een geabsorbeerde molecule heeft een energie $(-ϵ)$ in vergelijking met een vrije molecule. Bereken de toestandssom van het systeem. Welk ensemble ga je gebruiken en waarom? Berken de bezettingsgraad, i.e., de verhouding van het aantal geabsorbeerde moleculen en absorptie punten op het oppervlak. Schrijf deze als functie van $(p,T,\lambda ,ϵ)$ en met $\lambda$ de thermische golflengte. Bespreek.

22 januari 2008

1. Bespreek de theorie van Van der Waals voor een reëel gas. Wat zegt precies de Maxwell constructie in verband met evenwicht? Zegt deze theorie ook iets over universaliteit? Leg uit.

2. Bespreek, in het algemeen, de correlatiefunctie voor het Ising model en, specifiek, haar kritisch gedrag. Bereken en leg uit wat er precies gebeurt in 1 dimensie.

3. Beschouw een kristal met N atomen met spin 1/2 gericht volgens de z-as ($m_s=\pm 1/2$). het magnetisch moment van het i-de atoom is $\overrightarrow{{\mu }_i}=g{\mu }_B\overrightarrow{s_i}$ met g de Lande-factor en ${\mu }_B=e\hslash /2mc$ het Bohr magneton. Onderstel dat de atomen niet interageren, maar in evenwicht zijn op een temperatuur T. het kristal wordt in een magnetisch veld geplaatst $\overrightarrow{B}=B\overrightarrow{e_z}.$

• Bereken de toestandssom als een functie van $\eta =g{\mu }_{B}B/2kT$
• Bepaal de entropie S van het kristal (enkel de bijdrage van de spintoestanden) en ga na wat ze wordt voor sterke en zwakke magnetische velden. Bespreek.
• Bepaal de magnetisatie M en de susceptibiliteit $\chi$. Evalueer de uitdrukkingen voor zwakke magnetische velden
• Onderstel dat elk atoom interageert met zijn naaste n naburen en aldus een extra veld genereert $g{\mu }_B{B}^{\prime }=2K\sum _{j=1}^N⟨(\overrightarrow{s_j})⟩=2K(n/N)(M/g{\mu }_B)$ met K de interactiesterkte en M het totaal magnetisch moment. Verklaar deze formule. Bereken de susceptibiliteit voor zwakke velden (i.e. hoge temperatuur). Voor welke temperatuur, $T_c$ wordt $\chi$ oneindig?

januari 2007 (reeks 3)

1. Bespreek de correlatiefunctie voor het Ising model en, specifiek, haar kritisch gedrag. Leert Kadanoff schaling ons iets extra over dit kritisch gedrag? Leg uit.

2. Bepaal met de techniek van decimatie, tot op tweede orde in $K=\beta J$, een benaderde waarde voor de kritische exponent $\mu$ voor het naaste nabuur Ising model zonder uitwendig magnetisch veld in twee dimensies op een vierkant rooster. Bespreek het bewegingspatroon van de interactiepartners. Situeer deze berekening in de algemene structuur van de renormalisatiegroep.

3. Beschouw N niet-interagerende atomen met magnetische moment ${\mu }_0$. Het systeem is in thermisch evenwicht op temperatuur T en wordt in een uniform extern magnetisch veld B geplaatst. Elk magnetisch moment kan enkel parallel of anti-parallel georiënteerd zijn met B. Bereken de partitiefunctie, de specifieke warmte bij constant magnetisch veld, het thermisch gemiddeld magnetisch moment en de susceptibiliteit. Wat worden deze grootheden voor groot en klein veld? Neem vervolgens aan dat een deeltje interageert met n andere deeltjes. Toon aan dat dit een extra veld oplevert $B^{\prime }=2K\frac{M}{N}n$ indien de interactieconstante K is. Bereken de susceptibiliteit bij klein veld en bereken bij welke temperatuur deze divergeert. Noot: er kan ergens in de formule hierboven wel een factor ontbreken.

januari 2007 (reeks 1)

1. Bespreek fysische onderbouw van Monte Carlo simulatie.

2. Vanderwaelsgas: Maxwell, welke evenwichten volgen er? En nog iets extra over afleiden.

3. Oefening

30 januari 2006 voormiddag

1. Bespreek de correlatiefunctie voor het Ising model en, specifiek, haar kritisch gedrag. Leert Kadanoff schaling ons iets extra over dit kritisch gedrag? Leg uit.

2. Bespreek de gemiddelde-veld benadering voor het ééndimensionaal Ising model vertrekkend van de Hamiltoniaan ${\mathscr{H}}\approx {{\mathscr{H}}}^{mv}=-\frac{Jq}{N}\sum _{i<j}{S}_i{S}_j-h\sum _{j=1}^N{S}_j$

met q het coördinatiegetal van het rooster. Hoe komt men aan deze benaderde Hamiltoniaan? Onderstel periodische randvoorwaarden. Bereken de toestandssom, de magnetisatie per spin, de spontane magnetisatie en de kritische temperatuur. Vergelijk met de theorie van Landau.

3. Beschouw N niet-interagerende atomen met magnetische moment ${\mu }_0$. Het systeem is in thermisch evenwicht op temperatuur T en wordt in een uniform extern magnetisch veld B geplaatst. Elk magnetisch moment kan enkel parallel of anti-parallel georiënteerd zijn met B. Bereken de partitiefunctie, de specifieke warmte bij constant magnetisch veld, het thermisch gemiddeld magnetisch moment en de susceptibiliteit. Bespreek het gedrag van deze fysische grootheden als functie van $\beta =>1/(k_{B}T)$. Wat leren we hieruit?

24 augustus 2005

1. Bespreek de essentie van het twee-niveau systeem in één van de mogelijke ensembles. Is er een verband met het Isingmodel?

2. Bepaal met de techniek van decimatie, tot op tweede orde in $K=\beta J$, een benaderde waarde voor de kritische exponent $\mu$ voor het naaste nabuur Ising model zonder uitwendig magnetisch veld in twee dimensies op een vierkant rooster. Bespreek het bewegingspatroon van de interactiepartners. Situeer deze berekening in de algemene structuur van de renormalisatiegroep.

3. Eén streng van een DNA helix bestaat uit N moleculen. Om een volledige DNA helix te bekomen uit 2 strengen moet er molecule per molecule een complementair basepaar gevormd worden. Op de oorspronkelijke DNA streng heeft ieder molecule dus 2 mogelijke toestanden: met of zonder een basepaar. Zonder basepaar heeft een molecule een energie $ϵ>0$, met basepaar een energie $ϵ=0$. We nemen aan dat het vormen van baseparen enkel één per één en in 1 richting gebeurt, namelijk vanuit de linkerkant, en dat molecule $i$ slechts een paar kan vormen als de moleculen links ervan een paar gevormd hebben. Bereken de toestandssom van dit systeem. Welk ensemble ga je hierbij gebruiken? Bereken hoe lang de helix gemiddeld wordt. Wat wordt dit bij lage temperatuur?