Wiskundige Natuurkunde

Algemene informatie

Dit vak wordt gedoceerd door professor M. Fannes aan de 1ste licentie natuurkunde en wiskunde. Volgend jaar wordt het vak aan de derde bach fys gegeven.

• Nee nee, volgend jaar wordt er "wiskundige methoden in de natuurkunde" gegeven. Een ANDER VAK.

Informatie over het examen

• Het examen bestaat uit 2 theorievragen en 2 oefeningen.
• Het examen is volledig open boek, je mag wel alleen oefeningen meenemen die aan bod zijn gekomen tijdens de oefeningzittingen.
• De theorievragen zijn mondeling met schriftelijke voorbereiding, de oefeningen zijn schriftelijk.
• Het examen bestaat uit een bundeltje papieren. Dit zijn de opgaven maar het eerste blad is een blad met uitleg. Hier staat o.a. de volgorde van de mondelinge examens op.
• Tijdens de mondelinge bespreking worden kleine extra vraagjes i.v.m. de hoofdvragen gesteld. Deze zijn best moeilijk.

bv.: een bewijs heeft begrensdheid van een verzameling nodig. Dan krijg je de vraag: "waarom moet dat begrensd zijn?" Dit valt nog mee. De volgende vraag is dan: "Mocht het niet meer begrensd zijn, waar loopt het dan mis?, Is het eerder een technisch mislopen of is er dan echt een inconsistentie?" De afsluiter is dan: "Geef eens een voorbeeld dat daar misloopt."

De afgelopen examens

26 juni 2006 namiddag

Uitlegblad

Beste student,

De score op 'Wiskundige Natuurkunde' is samengesteld uit twee delen
10 punten op het mondeling examen
10 punten op de oefeningen.

Het antwoord op de oefeningen lever je gewoon in. Gebruik hiervoor het blad met de opgave, eventueel gevolgd door extra bladen. Het is belangrijk om een goed gestructureerd antwoord te geven. Vergeet ook niet uw naam te vermelden.

De mondelingen examens worden afgelegd na schriftelijke voorbereiding. Breng de voorbereiding mee naar de mondelinge proef om ze daar achter te laten. Hiervoor gebruik je telkens het blad met de vraag, zo heb je voor elke vraag ongeveer anderhalf blad ter beschikking. Gebruik deze beperkte ruimte dan ook om duidelijk leesbaar de essentiële punten van uw antwoord te noteren. Het heeft geen zin om hele stukken uit de nota's over te schrijven.

De mondelinge proef begint om 15u15. Het examen eindig uiterlijk om 18 uur. Als je 1 uur gebruikt voor de voorbereiding van de mondelinge proef dan heb je nog meer dan 2 en 1/2 uur over voor de oefeningen, wat ruim zou moeten volstaan. Veel succes!

Theorievraag 1

Een gesloten begrensde deelruimte $K$ van $H$ maakt volgende unieke ontbinding mogelijk: $\varphi ={\varphi }_1+{\varphi }_2{\varphi }_1\in {𝒦},{\varphi }_2\in {{𝒦}}^{\perp }$
voor alle $\varphi \in {\mathscr{H}}$. Bewijs.

Theorievraag 2

Toon aan dat een Hermitische operator reële eigenwaardes bezit. Toon aan dat 2 eigenvectoren van Hermitische operatoren horende bij verschillende eigenwaardes loodrecht op elkaar staan. Wat blijft er over van deze beweringen als we normale operatoren beschouwen?

Oefening 1

$\{f_0,f_1,...\}$ is een rij vectoren in een Hilbertruimte ${\mathscr{H}}$ die voldoet aan de voorwaarde

$\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert f_j{\Vert }^2<\mathrm{\infty }$

• Toon aan dat de oneindige matrix $F:={[⟨f_i,f_j⟩]}_{i,j\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ een Hilbert-Schmidtoperator op $l^2(\mathbb{\mathbb{N}})$ bepaalt.
• Toon aan dat F positief is.
• Wat is de rang van F, d.w.z. de dimensie van de beeldruimte van van F, indien ${\mathscr{H}}=\mathbb{ℂ}$?

Oefening 2

Een begrensde complex-antilineaire operator van een Hilbertruimte ${\mathscr{H}}$ naar een Hilbertruimte ${𝒦}$ is een afbeelding $A:{\mathscr{H}}\to {𝒦}$ die voldoet aan

$A(\alpha \varphi +\psi )=\overline{\alpha }A(\varphi )+A(\psi ),\alpha \in \mathbb{ℂ},\varphi ,\psi \in {\mathscr{H}}$

en zodanig dat er een constante C bestaat waarvoor

$\Vert A\varphi \Vert \le C\Vert \varphi \Vert ,\varphi \in {\mathscr{H}}$

• Stel dat A een begrensde complex-antilineaire operator van ${\mathscr{H}}$ naar ${𝒦}$ is. Toon aan dat er een unieke begrensde complex-antilineaire operator A* van ${𝒦}$ naar ${\mathscr{H}}$ bestaat zodanig dat

$⟨\varphi ,A^{*}\psi ⟩=⟨\psi ,A\varphi ⟩,\varphi \in {\mathscr{H}},\psi \in {𝒦}$

• Stel dat B: ${\mathscr{H}}\to {𝒦}$ en A${𝒦}\to {\mathscr{H}}$ begrensd complex-antilineair zijn. Toon aan dat AB begrensd lineair is en bereken (AB)* in termen van A* en B*. Een belangrijk voorbeeld van een complex-antilineaire operator is tijdsomkeer in kwantummechanica. In positiepresentatie wordt de toestandsvector van een deeltje in 1D gegeven door een golffunctie $\psi \in {{ℒ}}^2(\mathbb{ℝ},dx).$. Tijdsomkeer is dan

$(T\psi )(x):=\overline{\psi (x)}$
waarbij overlijnen op complex toevoegen duidt.

• Toon aan dat T een complex-antilineaire unitaire operator is (ook wel antiunitair genoemd).
  

De canoniek positie-en impulsoperatoren Q en P worden gegeveven door
$(Q\psi )(x):=x\psi (x)en(P\psi )(x):=-i{\psi }^{\prime }(x)(\overline{h}=1)$
Deze operatoren zijn onbegrensd en moeten dus op een aangepast domein gedefinieerd worden. Maak u hierover geen zorgen en reken ermee alsof ze begrensd zijn.

• Toon aan dat
  

$TQ{T}^{*}=QenTP{T}^{*}=-P$
Stel dat de evolutie van het systeem bepaald wordt door een standaard Schrödingen Hamiltoniaan met een reële potentiaal V
$H=\frac{1}{2}{P}^2+V(Q)$

• Toon aan dat

$T{e}^{-itH}{T}^{*}=e^{itH},t\in \mathbb{ℝ}$
dit is tijdsomkeer.