Vaste-stoffysica

Algemene informatie

Dit vak wordt gedoceerd door professor C. Van Haesendonck aan de derde bach fysica.

Informatie over het examen

In 2010-2011 ging het als volgt:

• Het examen bestaat uit 1 overzichtsvraag, een vraag met 3 meer detailvraagjes en een oefening.
• Het examen is volledig open boek, dit betekent dat je het boek mag gebruiken maar niets extra (geen nota's of zo)
• Je krijgt een schriftelijke voorbereidingstijd waarin je zo volledig mogelijk op het papier de vraag beantwoordt.
• Tijdens de mondelinge bespreking worden vrij veel kleine extra vraagjes i.v.m. het ruimere onderwerp van de drie kleine vragen. Voorbeeld: bij vragen over thermische geleiding door fononen worden vragen gesteld over de elektronische geleiding van elektriciteit en warmte, over het Lorentz-getal... Precieze formules moet je niet kennen, maar evenredigheden en fysische principes wel.

Academiejaar 2012 - 2013

17 juni 2013 (NM)

1. Langere vraag (in detail uit te werken) (schriftelijk) Welke twee experimentele grootheden laten toe om op een directe manier het teken te bepalen van de ladingsdragers in een materiaal? Motiveer uw antwoord! Leg ook uit hoe op een meer indirecte manier de aanwezigheid van positieve ladingsdragers in een materiaal kan afgeleid worden uit de vorm van het Fermi-oppervlak. Hoe kan men deze vorm van het Fermi-oppervlak experimenteel bepalen?

2. Kortere vragen (mondeling)

• Wat verstaat men onder "umklapp" processen? Welke eigenschappen worden door deze "umklapp" processen beïnvloed en beschrijf hoe de temperatuursafhankelijkheid van deze eigenschappen gewijzigd wordt?

• Veralgemeen het resultaat (37) in hoofdstuk 5 voor de toestandsdichtheid van de fononen zodat het ook bruikbaar is voor de toestandsdichtheid van Bloch-elektronen. Toon aan dat dit resultaat voor Bloch-elektronen het resultaat (20) in hoofdstuk 6 levert als we te maken hebben met vrije elektronen.

3. Oefening (schriftelijk) Beschouw een twee-dimensionaal (D = 2) divalent metaal met een eenvoudig vierkant rooster (1 atoom op ieder hoekpunt). Bereken de positie van de Debye-sfeer ten opzichte van de 1ste Brillouin-zone en maak hiervan een tekening. Bereken vervolgens de positie van de Fermi-sfeer (Fermi-cirkel voor D = 2) ten opzichte van de 1ste Brillouin-zone en maak hiervan een tekening. Hoe wordt de vorm van de Fermi-cirkel gewijzigd ten gevolge van de aanwezigheid van de periodische potentiaal van de ionen. Schets tenslotte in het herhaalde zoneschema de verschillende delen in dewelke de Fermi-cirkel uiteenvalt.

Academiejaar 2011 - 2012

25 juni 2012 (VM)

Examen 25 juni 2012 (vm)

15 juni 2012 (NM)

Examen 15 juni 2012 (nm)

Academiejaar 2010 - 2011

30 juni 2011 (VM)

1. Welke experimentele methode laat toe om de vorm van het Fermioppervlak te bepalen? Maak hierbij zeker de link tussen theorie en praktijk. Op welke manier kan men zien of de er elektronen- of gatengeleiding optreedt? Aan welke experimentele condities moet voldaan zijn?

2.

• Beschouw een kristal van een metaal met volume V en N primitieve cellen. Het aantal atomen in de basis is 3 en ieder van deze atomen heeft valentie 1 (levert 1 vrij elektron). Wat is de soortelijke warmte per eenheid van volume van dit metaal bij lage temperaturen? (Bijvragen over wat die N in de formule is, wat er gebeurt bij kamertemperatuur en wat de Fermitemperatuur ongeveer is.)

• Bij figuur 10 van hoofdstuk 6 is de verschuiving van de Fermi-sfeer veel te groot als rekening gehouden wordt met realistische waarden voor de driftsnelheid vd van de elektronen en de Fermi-snelheid vF van de elektronen. Toon aan dat dit inderdaad het geval is door de driftsnelheid af te schatten voor een typisch metaal met resistiviteit van 10microOhmcm dat onderworpen is aan een elektrisch veld van 1V/cm. Waarom impliceert vd<<vF dat de geleidbaarheid van een metaal in de praktijk bepaald wordt door de verstrooiing van de elektronen die zich in de onmiddellijke buurt van het Fermi-niveau bevinden?

• Hoe kan men experimenteel bepalen dat grafeen een perfect tweedimensionale geleider is. (Bijvragen over het gewone Halleffect en over dHvA.)

3. Oefening 3 van hoofdstuk 6. Er werd ook gevraagd om de toestandsdichtheid (die gegeven is in die oefening) af te leiden. De oplossing van de integraal werd gegeven. (Er stond: de integraal van 1/($e^x$-1) is gelijk aan x-ln(1+$e^x$)+een constante.)

20 juni 2011 (NM)

1. Wat zijn de Fouriercomponenten die in het algemeen kunnen optreden voor een Bloch-functie£? Welke van deze Fourier-componenten zal men in praktijk nodig hebben om een Bloch-functie te beschrijven aan de rand van een Brillouin-zone? Hoe zijn de snelheid en de massa van een Bloch-elektron verbonden met de bandstructuur en wat gebeurt er met deze snelheid en massa aan de rand van een Brillouin-zone?

2.

• Waarom is er een sterke afname van de verstrooiingsintensiteit van fononen en geleidingselektronen bij lagere temperaturen? Voor de temperatuursafhankelijkheid van de thermische geleidbaarheid door de fononen (zie figuur 18 in hoofdstuk 5) treedt er toch nog een daling op van deze thermische geleidbaarheid bij de laagste temperaturen. Hoe komt dit?

• Waarom voldoen de valentie-elektronen van Natrium zo goed aan het vrije-elektronenmodel?

• Leid af dat voor een ééndimensionele stroom waarbij de elektronen niet scatteren de conductantie gelijk is aan $\frac{2e^2}{h}$.

3. Beschouw een 2-dimensionaal divalent metaal met een eevoudig vierkant rooster met zijde a (één atoom op ieder hoekpunt). Bepaal de straal van de Fermi-cirkel in functie van a als er geen interactie is van de valentie-elektronen met de metaalionen. Bepaal tevens de positie van de Fermi-cirkel ten opzichte van de eerste Brillouin-zone en maak hiervan een tekening. Teken dan de verschillende delen van de Fermi-cirkel in het herhaalde zoneschema en identificeer de delen van de Fermi-cirkel die corresponderen met elektronen en met gaten.

Academiejaar 2009 - 2010

24 juni 2010 (VM)

1. (ongeveer) Hoeveel orbitalen zijn er per energieband. Welke gevolgen heeft dit voor alkalimetalen? Welke gevolgen heeft dit voor een divalent atoom met 1 atoom in de basis?

2.

• Wat ligt er aan de oorsprong van het woordgebruik "akoestische" en "optische" fononen? Hoeveel akoestische en optische trillingswijzen zijn er mogelijk in een kristal?
• Welke informatie over het reciproke rooster kunnen we experimenteel te weten komen aan de hand van de voorwaarden van bragg-diffractie?
• Hoe kan je van 5.37 formule 6.20 afleiden voor vrije electronen.

3. Beschouw een 2-dimensionaal divalent metaal met een eevoudig vierkant rooster met zijde a (één atoom op ieder hoekpunt). Bepaal de straal van de Fermi-cirkel in functie van a als er geen interactie is van de valentie-elektronen met de metaalionen. Bepaal tevens de positie van de Fermi-cirkel ten opzichte van de eerste Brillouin-zone en maak hiervan een tekening. Neem vervolgens aan dat er een zwakke interactie is van de valentie-elektronen met de metaalionen (bijna vrije elektronen). Teken dan de verschillende delen van de Fermi-cirkel in het herhaalde zoneschema en identificeer de delen van de Fermi-cirkel die corresponderen met elektronen en met gaten.

14 juni 2010

1. Wat zijn de Fouriercomponenten die in het algemeen kunnen optreden voor een Bloch-functie£? Welke van deze Fourier-componenten zal men in praktijk nodig hebben om een Bloch-functie te beschrijven aan de rand van een Brillouin-zone? Hoe zijn de snelheid en de massa van een Bloch-elektron verbonden met de bandstructuur en wat gebeurt er met deze snelheid en massa aan de rand van een Brillouin-zone?

2.

• Wat ligt er aan de oorsprong van het woordgebruik "akoestische" en "optische" fononen? Hoeveel akoestische en optische trillingswijzen zijn er mogelijk in een kristal?
• Welke sfeer is de grootste voor een metaal: de Fermi-sfeer of de Debye-sfeer? Houd hierbij rekening met het aantal atomen in de basis én met de valentie.
• Leg uit hoe men de aanwezigheid van "zware fermionen" kan begrijpen in het kader van de methode van sterke binding (tight binding). Hoe kan men de aanwezigheid van zware fermionen experimenteel vaststellen?

3. Beschouw een 2-dimensionaal divalent metaal met een eevoudig vierkant rooster met zijde a (één atoom op ieder hoekpunt). Bepaal de straal van de Fermi-cirkel in functie van a als er geen interactie is van de valentie-elektronen met de metaalionen. Bepaal tevens de positie van de Fermi-cirkel ten opzichte van de eerste Brillouin-zone en maak hiervan een tekening. Neem vervolgens aan dat er een zwakke interactie is van de valentie-elektronen met de metaalionen (bijna vrije elektronen). Teken dan de verschillende delen van de Fermi-cirkel in het herhaalde zoneschema en identificeer de delen van de Fermi-cirkel die corresponderen met elektronen en met gaten.

Vrijdag 11 Juni

1) Geef drie experimentele methodes die toelaten om het teken te bepalen van de ladingsdragers in een materiaal? motiveer uw antwoord! hoe kan men op basis van de sterke verstooiing van elektronengolven die optreedt aan de randen van de brillouin-zones, de aanwezigheid van positieve ladingsdragers begrijpen voor (a) gedopeerde halfgeleiders en (b) metalen?

2) korte vragen (dus mondeling)

• Waarom gebruikt men neutronen voor het experimenteel bepalen van de dispersie relaties?
• Hoe kan je van 5.37 formule 6.20 afleiden voor vrije electronen.
• wat zijn "umklapp" processen. Welke eigenschappen worden hierdoor beïnvloed.

3) oefening: iets over de toestandsdichtheid van een elektronengas.

Augustus 2009

Vrijdag 21 Augustus namiddag

1) Langere vraag (in detail uit te werken): Welke twee experimentele grootheden laten toe om op een directe manier het teken te bepalen van de ladingsdragers in een materiaal? Motiveer uw antwoord! Hoe kan men op basis van de Bragg-verstrooiing die optreedt aan de rand van de Brillouin-zone, het optreden van gatengeleiding (positieve ladingsdragers) verklaren voor metalen?

2) Kortere vragen:

• Veralgemeen het resultaat (37) in hoofdstuk 5 voor de toestandsdichtheid van de fononen zodat het ook bruikbaar is voor de toestandsdichtheid van Bloch-elektronen. Toon aan dat dit resultaat voor Bloch-elektronen het resultaat (20) in hoofdstuk 6 levert als we te maken hebben met vrije elektronen.

• Waarom is er een sterke afname van de verstrooiingsintensiteit van fononen en geleidingselektronen bij lagere temperaturen? Voor de temperatuursafhankelijkheid van de thermische geleidbaarheid door de fononen (zie figuur 18 in hoofdstuk 5) treedt er toch nog een daling op van deze thermische geleidbaarheid bij de laagste temperaturen. Hoe komt dit?

• Hoeveel optische en akoestische trillingswijzen zijn er mogelijk in een kristal?

3) Oefening: Los oefening 4 op aan het einde van hoofdstuk 8. Werk met de versie in SI-eenheden van de bewegingsvergelijking (6) om aan te tonen dat er een harmonische beweging ontstaat met frequentie ${\omega }_c=eB/(m_l\cdot m_t{)}^{\frac{1}{2}}$ voor het opgegeven $ϵ(k)$ verband. (Neem aan dat het magneetveld evenwijdig is aan de y-as!)

Juni 2009

maandag 8 juni voormiddag

1) Langere vraag (in detail uit te werken): Hoe verloopt de warmtecapaciteit van een metaal (i) bij heel lage temperaturen en (ii) bij kamertemperatuur? Hoe kan dit verloop beïnvloed worden door de bandstructuur van de elektronen ("zware fermionen")?

2) Korte vragen:

• Waarom voldoen de valentie-elektronen van alkalimetalen zo goed aan het vrije-elektronenmodel?
• Wat is de meest aangewezen experimentele methode voor het bepalen van de dispersierelaties van de fononen in de ganse Brilouin-zone? Motiveer uw antwoord!
• Wat verstaat men onder "umklapp" processen? Welke eigenschappen worden door deze "umklapp" processen beïnvloed?

3) Oefening: Bereken de toestandsdichtheid voor het één-dimensionaal (D=1) elektronengas. Leid hieruit een impliciete vergelijking af die toelaat om de temperatuursafhankelijkheid van de chemische potentiaal te bepalen.

vrijdag 12 juni voormiddag

1) langere vraag (in detail uit te werken): Wat zijn de Fourier-componenten die in het algemeen kunnen optreden voor een Bloch-golffunctie? Welke van deze Fourier-componenten zal men in de praktijk nodig hebben om een Bloch-golffunctie te beschrijven aan de rand van een Brillouin-zone? Hoe zijn de snelheid en de massa van een Bloch-elektron verbonden met de bandstructuur en wat gebeurt er met deze snelheid en massa aan de rand van een Brillouin-zone?

2) kortere vragen: Waarom is er een sterke afname van de verstrooiingsintensiteit van fononen en geleidingselektronen bij lagere temperaturen? Voor de temperatuursafhankelijkheid van de thermische geleidbaarheid door de fononen (zie figuur 18 in hoofsdtuk 5) treedt er toch nog een daling op van deze thermische geleidbaarheid bij de laagste temperaturen. Hoe komt dit?

In de Debye-benadering verloopt de toestandsdichtheid evenredig met het kwadraat van de fononenergie. De toestandsdichtheid van vrije elektronen verloopt daarentegen evenredig met de wortel uit de energie van de elektronen. Vanwaar dit verschil?

Leg kort uit hoe men met behulp van het de Haas - van Alphen effect het Fermi-oppervlak van een metaal kan reconstrueren. Aan welke experimentele condities moet voldaan zijn om het de Haas - van Alphen effect te kunnen opmeten?

3) Oefening: Beschouw een twee-dimensionaal (D=2) divalent metaal met een eenvoudig vierkant rooster (1 atoom op ieder hoekpunt). Bepaal de positie van de Fermi-sfeer ten opzichte van de 1ste Brillouin zone en maak hiervan een tekening. Teken vervolgens de situatie in het herhaald zoneschema en identificeer de delen van de Fermi-cirekl die respectievelijk corresponderen met elektronen en met gaten.

Juni 2008

maandag 16 juni voormiddag

1) Langere vraag (in detail uit te werken): Welke experimentele methodes zijn beschikbaar om de effectieve massa van de ladingsdragers te bepalen in (i) halfgeleiders en (ii) metalen? Motiveer uw antwoord! Wat zijn de experimentele omstandigheden waaraan moet voldaan zijn om deze methodes te kunnen aanwenden?

2 Kortere vragen:

• Beschouw een kristal van een metaal met volume V en N primitieve cellen. Het aantal atomen in de basis is 3 en ieder van deze atomen heeft valentie 1 (levert 1 vrij elektron). Wat is de soortelijke warmte per eenheid van volume van dit metaal bij lage temperaturen?

• Waarom komen optisch geïnduceerde overgangen tussen elektronenbanden in het gereduceerde zoneschema overeen met vertikale overgangen?

• Bij figuur 10 van hoofdstuk 6 is de verschuiving van de Fermi-sfeer veel te groot als rekening gehouden wordt met realistische waarden voor de driftsnelheid vd van de elektronen en de Fermi-snelheid vF van de elektronen. Toon aan dat dit inderdaad het geval is door de driftsnelheid af te schatten voor een typisch metaal met resistiviteit van 10microOhmcm dat onderworpen is aan een elektrisch veld van 1V/cm. Waarom impliceert vd<<vF dat de geleidbaarheid van een metaal in de praktijk bepaald wordt door de verstrooiing van de elektronen die zich in de onmiddellijke buurt van het Fermi-niveau bevinden?

3) Oefening: Oefening 2 van hoofdstuk 9 in het HB

maandag 9 juni namiddag

1) Langere vraag (in detail uit te werken): Hoe verloopt de warmtecapaciteit van een metaal (i) bij heel lage temperaturen en (ii) bij kamertemperatuur? Hoe wordt dit temperatuursverloop beïnvloed door het aantal atomen per primitieve cel?

2 Kortere vragen:

• Leg uit hoe we via interferentie van elektronengolven kunnen begrijpen hoe de dynamica van geleidingselektronen wordt gewijzigd aan de rand van de eerste Brillouin-zone.

• Wat ligt aan de oorsprong van het woordgebruik "akoestische" fononen en "optische" fononen?

• Waarom voldoen de valentie-elektronen van alkalimetalen zo goed aan het vrije-elektronenmodel?

3) Oefening: Bereken de kinetische energie van het twee-dimensionaal elektronengas voor T naar 0.

Juni 2007

Donderdag 21 juni namiddag

1) warmtecapaciteit bij hoge en lage temperatuur. Hoe wordt temperatuursverloop beinvloedt door meerdere atomen in de primitieve cel? En hoe wordt het beinvloedt door bandenstructuur.

2) korte vragen:

Hoe kan je uit de interferentie van elektronengolven afleiden hoe de dynamica van de elektronen verandert op de rand van de brillouin zone?

Wat is het meest geschikt om de dispersierelatie van fononen in de ganse brillouin zone te meten? Motiveer je antwoord.

Wat verstaat men onder umpklapp processen? En wat beinvloeden die?

3) oefening: toestandsdichteid voor elektronengas in 1 dimensie + chemische potentiaal (we hebben die oefening voor 2 dimensies gemaakt, hoofdstuk 6), de chemische potentiaal mag een impliciete vergelijking blijven.

Vrijdag 22 juni voormiddag

1) Langere vraag (in detail uitwerken): Welke experimentele grootheden laten toe om op een directe manier na te gaan of elektronen of gaten de ladingsdichtheid in de buurt van het Fermi-niveau domineren? Motiveer uw antwoord! Hoe kan men op basis van de Bragg-verstrooiing die optreedt aan de rand van de Brillouinzone, het bestaan van gatengeleiding verklaren voor metalen? Hoe kan men uit de vorm van het Fermi-oppervlak afleiden dat er gatenorbitalen zijn?

2) Kortere vragen:

• Hoe kan men op basis van Bragg-reflectie (relatie (1) in H2) of op basis van de vergelijkingen van von Laue (relatie (25) in H2) experimentele informatie bekomen over het reciproke rooster?

• Een metaal met valentie 2 heeft een kristalstructuur met 4 atomen in de basis. Als de elektronendichtheid n is, wat is dan de soortelijke warmte per eenheid van volume?

• In de Debeye-benadering verloopt de toestandsdichtheid evenredig met het kwadraat van de fononenergie. De toestandsdichtheid van de elektronen verloopt evenredig met de wortel uit de energie van de elektronene. Vanwaar dit verschil?

3) Oefening: Bereken de kinetische energie van het twee-dimensionaal (D=2) elektronengas voor T->0.

De afgelopen examens

Nota: deze examens dienen louter ter illustratie, het examen was toen immer nog gesloten boek en er werd een ander boek gebruikt.

augustus 2005

1. Wat is de kwantummechanische vorm van de excitatie-energie voor (a) vrije elektronen (de Sommerfeld expansie (2.70) mag als gekend verondersteld worden) en (b) een kristalrooster in de harmonische benadering? Leid hieruit uitdrukkingen af voor de bijdragen tot de soortelijke warmte bij heel lage temperaturen. Wat is dan het temperatuursverloop bij heel lage temperaturen van de totale soortelijke warmte van een metaal?

2. Beschrijf de Debeye benadering voor het berekenen van de soortelijke warmte van een harmonisch kristalrooster. Hoe gedraagt deze soortelijke warmte zich bij zeer lage en zeer hoge temperaturen? Hoe kan men de optische fononen in rekening brengen in de Debeye benadering?

16 juni 2006 voormiddag

1. Beschrijf de grondtoestand (T->0) van het vrije-elektronengas en bereken voor deze grondtoestand de gemiddelde energie per elektron en de bulk modulus B. Hoe kan men door invoeren van de toestandsdichtheid g(E) de energiedichtheid bij eindige temperaturen en de temperatuursafhankelijkheid van de chemische potentiaal berekenen? Hierbij mag relatie (2.70) als gekend verondersteld worden.

2. Beschrijf de benaderingen van Debeye en Einstein voor het berekenen van de temperatuursafhankelijkheid van de soortelijke warmte van een harmonisch kristalrooster.

19 juni 2006 voormiddag

1. Beschrijf de grondtoestand (T->0) van het vrije-elektronengas en bereken voor deze grondtoestand de gemiddelde energie per elektron en de bulk modulus B. Hoe kan men door invoeren van de toestandsdichtheid g(E) de energiedichtheid bij eindige temperaturen en de temperatuursafhankelijkheid van de chemische potentiaal berekenen? Hierbij mag relatie (2.70) als gekend verondersteld worden.

2. Geef de 2 formuleringen van het Bloch theorema en toon aan dat ze equivalent zijn. Gebruik het theorema en de Born-Von Karman randvoorwaarden om aan te tonen dat er evenveel toegelaten k vectoren zijn als dat er wigner-seitzcellen zijn in het directe rooster. Los de schrodinger vergelijking op voor een periodieke potentiaal