Versie van 25 jul 2013 18:54

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Prof. Arno Kuijlaars

Bewijzen en Redeneren is een wiskunde vak in het eerste semester van de eerste Bachelor Wiskunde en Fysica. De nadruk ligt vooral op het leren correct opstellen van een bewijs maar ook wordt hier een abstracte manier van denken aangeleerd.

Het eerste deel (basis) van de cursus is gemeenschappelijk voor wiskunde en fysica, het tweede deel (meer analyse) wordt enkel gevolgd door de studenten wiskunde en de studenten fysica met een minor wiskunde.

De evaluatie bestaat uit een LaTeX-opdracht (2/20) en een gesloten-boek-examen (18/20). Wat het examen betreft, lijkt er een vast stramien te zijn. Vraag 1 bestaat vaak uit verschillende onderdelen, die elk moeten testen of je enkele begrippen uit de cursus beheerst (overaftelbaar, equivalentierelatie, machtsverzameling...). Vragen 2 en 3 zijn dan 'situatievragen': er is bijvoorbeeld een relatie gegeven en jij moet dan bepaalde eigenschappen gaan onderzoeken of bewijzen dat de relatie een equivaltierelatie is. Vaak is er ook een vraag over functies bij waarbij het vaak om een variatie gaat van $f (f^{- 1} (B)) \subset B$ . Er zal ook zeker een vraag zijn over rijen en eigenschappen ervan (limiet bewijzen, bewijzen over limpsup...)

LaTeX-project

LateX-opdracht 2009-2010 (eerste zit)

LateX-opdracht 2009-2010 (tweede zit)

LateX-opdracht-deel 1 2010-2011 (eerste zit)

LateX-opdracht-deel 2 2010-2011 (eerste zit)

LateX-opdracht 2010-2011 (tweede zit)

LateX-opdracht-deel 1 2011-2012 (eerste zit)

LateX-opdracht-deel 2 2011-2012 (eerste zit)

LateX-opdracht 2011-2012 (tweede zit)

LateX-opdracht 2012-2013 (eerste zit)

Examens

Academiejaar 2012-2013

Examens

Examen 1 februari 2013 (3 studiepunten) (opgaven)

Examen 1 februari 2013 (6 studiepunten) (opgaven) en Examen 1 februari 2013 (6 studiepunten) (opgaven en oplossingen)

Tussentijdse Toets

Opgaven TTT 7 november 2012

Academiejaar 2011-2012

Examens

Examen 3 februari 2012 (opgaven) en Examen 3 februari 2012 (opgaven en oplossingen)

Examen 20 augustus 2012 (opgaven) en Examen 20 augustus 2012 (opgaven en oplossingen).

Tussentijdse Toets

Opgaven TTT 10 november 2011 en Opgaven + oplossingen TTT 10 november 2011.

Oefenzittingen

Theorie en opgaven oefeningen en oplossingen.

Academiejaar 2010-2011

Examens

Examen 4 februari 2011 (opgaven en oplossingen)

Examen 22 augustus 2011 (opgaven en oplossingen)

TTT 12 november 2010

Opgaven TTT 12 november 2010 en Opgaven en oplossingen TTT 10 november 2011

Academiejaar 2009-2010

Examen 2009-2010

Examen 29 januari 2010

Examen 23 augustus 2010

Vanaf dit academiejaar is "Bewijzen en Redeneren" verzwaard. Het vak telt nu vijf studiepunten in plaats van drie. Examens van vorige jaren dekken dus de volledige leerstof niet meer. Hier vind je een lijst met mogelijke examenvragen.

TTT 6 november 2009

Opgaven TTT 6 november 2009

Opgaven en oplossingen TTT 6 november 2009

Academiejaar 2008-2009

Examens

Examen 30 januari 2009

TTT

Opgaven TTT 21 november 2008

Academiejaar 2007-2008

September 2008

- (a) Geef alle elementen van P(P(X)) als $X = \emptyset$ en als $X = {0}$
- (b) Zijn volgende verzamelingen aftelbaar of overaftelbaar? Licht kort toe (een bewijs is niet gevraagd).
  - $ℚ$
  - $ℝ / ℚ$
  - de verzameling van alle oneindeige rijen met nullen en enen : 001101011101....
- (c) Is de volgende uitspraak waar of niet? Bewijs. $[\exists n_{0} \in ℕ : \exists ε > 0 : \forall n \geq n_{0} : \forall L \in ℝ : | x_{n} - L | < ε] \Rightarrow x_{n}$ convergent.
Zij f:X→Y een functie.
- (a) Bewijs $f (f^{- 1} (B)) \subset B$ voor alle $B \in P (Y)$
- (b) Toon aan dat gelijkheid in (a) niet geldt door middel van een tegenvoorbeeld.
- (c) Bewijs: $f (f^{- 1} (B)) = B$ als en slecht als f surjectief is.
Zij X en Y verzamelingen. Met Fun(X,Y) noteren we de verzameling van alle functies van X naar Y. Zij R de relatie op Fun(X,Y) gedefinieerd door (f,g)∈R als en slechts als er een bijectie σ:X→X bestaat met f∘σ=g
- (a) Bewijs dat R een equivalentierelatie is op Fun(X,Y).
- (b) Hoeveel equivalentieklassen als $| X | = 4$ en $| Y | = 3$ ? Geef een element van elke equivalentieklasse.
Zij $f : ℝ ∖ {- a} \to ℝ$ gegeven door het functievoorschrift $f (x) = \frac{x}{a + x}$ met $a \in ℝ ∖ {0}$ . Bewijs met de $ϵ - δ$ definitie dat f continu is in $x^{*} = 0$ .

Januari 2008

Examen 29 januari 2008

Tussentijdse toets (16 november 2007)

- (a) Zoals bekend is $P (X)$ de machtsverzameling van $X$ . Geef alle elementen van $P (P (X))$ als $X = \emptyset$ en als $X = {0}$ .
- (b) Is de volgende bewering over een willekeurige verzameling $X$ $(X \neq \emptyset) \Leftrightarrow [(\forall x \in X : \forall A \in P (X) : x \in A) \Rightarrow (\exists x \in X : \forall A \in P (X) : x \in A)]$ waar of niet? Geef een bewijs indien ze waar is, en geef een tegenvoorbeeld als ze niet waar is.
- Zij $X$ een verzameling en $A, B \in P (X)$ .
- Bewijs dat $(X \times X) ∖ (A \times B) = ((X ∖ A) \times X) \cup (X \times (X ∖ B))$
- Beschouw de volgende drie relaties op $R$ .
- $R 1 = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x y > 0}$
- $R 2 = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ (x - y) (x + y) = 0}$
- $R 3 = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x \geq y}$
- Welke relaties zijn reflexief, welke symmetrisch, welke transitief? Welke relaties zijn orderelaties, welke equivalentierelaties? Licht uw antwoord toe. Een volledig uitgewerkt bewijs wordt niet gevraagd.

Academiejaar 2006-2007

Augustus 2007

Ook nu elke vraag op 10 punten.

- Gegeven 3 relaties $R : X \to X$ met $X = {1, 2, 3, 4}$ :
- R1 = { (2,2), (3,3), (2,3) , (3,2), (2,4) , (4,3) }
- R2 = {(1,1), (2,2) , (3,3) , (4,4) , (1,2) , (2,1)}
- R3 = {(1,2), (2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)}
- a) Welke zijn reflexief, transitief of symmetrisch?
- b) Hoeveel koppel(s) moet je toevoegen aan R1 om er een equivalentierelatie van te maken?
- c) Is de volgende stelling waar of niet waar? Bewijs $(\forall x \in X : \exists y \in X : (x, y) \in R_{1} \lor (y, x) \in R_{3}) \Leftrightarrow (\exists x \in X : \forall y \in X : (x, y) \in R_{2})$
- Zij X een verzameling en $A, B \in P (X)$ . Bewijs dat $(X \times X) ∖ (A \times B) = ((X ∖ A) \times X) \cup (X \times (X ∖ B))$ .
- Zij $f : X \to X$ een functie. Zij $A$ en $B$ elementen van $P (X)$ .
- a) Bewijs dat $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$
- b) Toon aan met een tegenvoorbeeld dat de gelijkheid niet altijd waar is.
- c) Toon aan dat $\forall A \in P (X) : \forall B \in P (X) : f (A \cap B) = f (A) \cap f (B)$ als en slechts als f een injectieve functie is.
- Toon aan met de epsilon-delta definitie dat de functie $f : ℝ \to ℝ : x \mapsto \frac{1}{x^{2} + a^{2}}$ , met $a \in ℝ_{0}^{+}$ een vast getal, continu is in $x^{*} = 0$ .

Januari 2007

Bij dit examen stond elke vraag op 10 punten.

- Zoals bekend is P(X) de machtsverzameling van X.
- a) Geef alle elementen van P(P(X)) als X={0} en als X= $\emptyset$
- b) Zij X een verzameling met |X|=n. Tel het aantal funties f: X $\to$ P(X) dat voldoet aan $\forall x \in X : x \in f (X)$ en licht uw antwoord toe (N.B. een formeel bewijs wordt niet gevraagd.)
- c) Is de volgende bewering over een willekeurige verzameling X waar of niet? $(\exists x \in X : \forall A \in P (X) : \neg (x \in A)) \Rightarrow (\forall A \in P (X) : \neg (\exists x \in X : x \in A))$ . Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
- Zij X een verzameling. Met Fun(X,X) noteren we de verzameling van alle functies f: X $\to$ X. Zij R de relatie op Fun(X,X) door (f,g) $\in R \Leftrightarrow \exists$ een bijectieve $σ : σ o f = g$
- a) Bewijs dat R een equivalentierelatie op Fun(X,X) is.
- b) Hoeveel equivalentieklassen van R zijn er als |X|=3? Geef van elke equivalentieklasse 1 element.
- Zij f:X $\to$ X een functie
- a) bewijs dat $\forall B \in P (Y) : f (f^{- 1} (B)) \subset B$
- b) De gelijkheid in a) is niet altijd waar, geef hiervoor een tegenvoorbeeld.
- c) Bewijs: $(\forall B \in P (Y) : f (f^{- 1} (B)) = B) \Leftrightarrow$ f is surjectief
- Zij $f : ℝ a \to ℝ$ gegeven door $f (x) = \frac{1}{(x - a)^{2}}$ met a>0 een vast strikt positief reÃƒÂ«el getal. Bewijs met de $ϵ - δ$ definitie dat f continu is in x*=0.

@@ Regel 86: / Regel 86: @@
 #** <math> \mathbb{R}/\mathbb{Q}</math>
 #** de verzameling van alle oneindeige rijen met nullen en enen : 001101011101....
-#*(c) Is de volgende uitspraak waar of niet? Bewijs. <math> [ \exists n_{0} \in \mathbb{N} : \exists \epsilon > 0 : \forall n >= n_{0} : \forall L \in \mathbb{R}  : |x_{n} - L | < \epsilon ] \Rightarrow x_{n}  </math> convergent.
+#*(c) Is de volgende uitspraak waar of niet? Bewijs. <math> [ \exists n_{0} \in \mathbb{N} : \exists \varepsilon > 0 : \forall n \geq n_{0} : \forall L \in \mathbb{R}  : \left|x_{n} - L \right| < \varepsilon ] \Rightarrow x_{n}  </math> convergent.
 # Zij <math> f: X \rightarrow Y </math> een functie.
-#*(a) Bewijs <math> f(f^{-1}(B)) \subset B </math> voor alle <math> B \in P(Y) </math>
+#*(a) Bewijs <math> f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B </math> voor alle <math> B \in P(Y) </math>
 #*(b) Toon aan dat gelijkheid in (a) niet geldt door middel van een tegenvoorbeeld.
-#*(c) Bewijs: <math> f(f^{-1}(B)) = B </math> als en slecht als f surjectief is.
+#*(c) Bewijs: <math> f\left(f^{-1}(B)\right) = B </math> als en slecht als f surjectief is.
-# Zij X en Y verzamelingen. Met Fun(X,Y) noteren we de verzameling van alle functies van X naar Y. Zij R de relatie op Fun(X,Y) gedefinieerd door <math> (f,g) \in R </math> als en slechts als er een bijectie <math> \sigma: X \rightarrow X </math> bestaat met <math> f o \sigma = g </math>
+# Zij X en Y verzamelingen. Met Fun(X,Y) noteren we de verzameling van alle functies van X naar Y. Zij R de relatie op Fun(X,Y) gedefinieerd door <math> (f,g) \in R </math> als en slechts als er een bijectie <math> \sigma: X \rightarrow X </math> bestaat met <math> f \circ \sigma = g </math>
 #*(a) Bewijs dat R een equivalentierelatie is op Fun(X,Y).
-#*(b) Hoeveel equivalentieklassen als |X| = 4 en |Y| = 3? Geef ÃƒÂ©ÃƒÂ©n element van elke equivalentieklasse.
+#*(b) Hoeveel equivalentieklassen als <math>|X| = 4</math> en <math>|Y| = 3</math>? Geef een element van elke equivalentieklasse.
-# Zij <math> f: \mathbb{R} \setminus \{-a\} \rightarrow \mathbb{R} </math> gegeven door het functievoorschrift <math> f(x) = \frac{x}{a+x} </math> met <math> a \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \} </math> . Bewijs met de <math> \epsilon - \delta </math> definitie dat f continu is in x*=0.
+# Zij <math> f: \mathbb{R} \setminus \{-a\} \rightarrow \mathbb{R} </math> gegeven door het functievoorschrift <math> f(x) = \frac{x}{a+x} </math> met <math> a \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \} </math> . Bewijs met de <math> \epsilon - \delta </math> definitie dat f continu is in <math>x^{\ast}=0</math>.
 === Januari 2008 ===

Bewijzen en Redeneren: verschil tussen versies

Versie van 25 jul 2013 18:54

Inhoud

LaTeX-project

Examens

Academiejaar 2012-2013

Academiejaar 2011-2012

Academiejaar 2010-2011

Academiejaar 2009-2010

Academiejaar 2008-2009

Academiejaar 2007-2008

September 2008

Januari 2008

Tussentijdse toets (16 november 2007)

Academiejaar 2006-2007

Augustus 2007

Januari 2007

Navigatiemenu

Bewijzen en Redeneren: verschil tussen versies

Versie van 25 jul 2013 18:54

LaTeX-project

Examens

Academiejaar 2012-2013

Academiejaar 2011-2012

Academiejaar 2010-2011

Academiejaar 2009-2010

Academiejaar 2008-2009

Academiejaar 2007-2008

September 2008

Januari 2008

Tussentijdse toets (16 november 2007)

Academiejaar 2006-2007

Augustus 2007

Januari 2007

Navigatiemenu

Zoeken