Toepassingen van algebra in de informatica

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Algemene informatie

Academiejaar 2012-2013

Vanaf het academiejaar 2012-2013 verandert het examen: je mag vanaf nu enkel de cursus meenemen (dus geen oplossingen van oefenzittingen of oude examens). Daarenboven mag je in de cursus enkel markeren en kleine foutjes verbeteren of kleine aanduidingen maken (je mag er geen oplossingen in noteren).

Vanaf dit academiejaar worden er ook meer inzichtsvragen gesteld naast oefeningen.

Het examen voor academiejaar 2012-2013

Het examen is een volledig schriftelijk oefeningen-examen. Je mag zo veel meenemen als je wilt: cursus, rekenmachine, opgeloste oefenzittingen, opgeloste voorbeeldexamens, ...

Daar je alles mag meenemen en het examen een vast stramien volgt is het examen niet zo heel moeilijk. Wel is 4 uur heel krap om de 4 vragen volledig op te lossen. Werk dus heel snel en let op voor modulo-rekenfouten!

Structuur van het examen

1. Zoek de inverse van een gegeven veelterm
2. Lineaire blokcodes
3. De grote BCH vraag
4. Convolutionele codes

Academiejaar 2008-2009

Vanaf het academiejaar 2008-2009 wordt dit opleidingsonderdeel gedoceerd door professor Van Barel in plaats van professor Haegemans.

26 Januari 2016 Voormiddag

• Geef antwoord op volgende vragen: (2ptn)
  • Is $<{\mathbb{\mathbb{Z}}}_4^{2\times 2},+>$ een abelse groep?
  • Is $<{\mathbb{\mathbb{Z}}}_4^{2\times 2}\mathrm{\setminus }nulmatrix,\times >$ een abelse groep?
  • Is de vermenigvuldiging distributief t.o.v. de optelling in $<{\mathbb{\mathbb{Z}}}_4^{2\times 2},+,\times >$?

• Zijn $<{\mathbb{\mathbb{Z}}}_9,+,\times >$ en $<{\mathbb{\mathbb{Z}}}_3\oplus {\mathbb{\mathbb{Z}}}_3,+,\times >$ isomorf als ringen? (2ptn)
• Is $a(x)=x^2+x+4$ een primitieve veelterm voor GF(5)? (2ptn)
• Een veelterm splitsen in factoren over een veld (was zeer eenvoudig,het was een 4degraads veelterm met 4 nulpunten) (2ptn)

• H matrix (in de vorm$[-P^T|I]$ is gegeven (2ptn)
  • Bepaal de generator matrix uit H voor een systematische code
  • Codeer een informatiewoord
  • Decodeer een ontvangen woord

• Bepaal de generatorveelterm van een cyclische (NIET BCH) code met lengte 63 en met maximale graad. Twee nulpunten werden gegeven, evenals de primitieve veeltermen van de velden waarover gewerkt werd. (3ptn)

• Vraag over BM algoritme: Gegeven de volgende opeenvolging van waardes van $d$ in het algoritme op pagina 75: 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 7 7 7 (ben niet zeker van de laatste 2 of 3 termen)(3ptn)
  • Bepaal de waardes van $n$ en beargumenteer
  • Bepaal of de matrices $H^{(i)}$ regulier of singulier zijn voor $i=0,\dots ,6$

• Encoder diagram gegeven voor convolutionele code (4ptn)
  • Geef de generator veeltermem (waren $X^2+X$ en $X^2+1$
  • Bepaal $d_{m}in$ en $d_{f}ree$
  • Codeer een informatiewoord
  • Decodeer een ontvangen woord

23 januari 2013 Voormiddag

• Geef antwoord en bewijs de vragen over de volgende structuur: dat ${\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$ Waarbij de optelling en vermenigvuldiging gedefinieerd zijn zoals gewoonlijk
  • is ${\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$ een ring?
  • is ${\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$ een comutatieve ring?
  • heeft ${\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$ een eenheid element voor de vermenigvulding?
  • is ${\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$ een lichaam?
  • is ${\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$ een veld?
  • is ${\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$ een integriteitsdomein?

• Bewijs hetvolgende: Als zij $⟨R,+,.⟩$ een eindige commutatieve ring met multiplicatieve eenheid. Bewijs dat $⟨D,+,.⟩$ een maximaal ideaal is van $R$ als en slechts als $⟨D,+,.⟩$ een priemideaal van $R$ is.

• Ontbind $a(x)=x^4+2x^3+2x^2+2x+1$ in priemfactoren over ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_5$ [Oplossing was $(x+1{)}^2(x+3)(x+2)$ als ik me niet vergis dus dat zou overeen uit moeten komen]
• is x^2 + 1$ een primitieve veelterm van GF(3)?
• Gegeven dat $\mathbb{ℂ}$ een systematische (6,4)-code is over ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_5$. Deze code heeft als pariteitsmatrix H:

       $H=\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 1\end{array}$ [Ben niet helemaal zeker van het eerste stuk v/d matrix maar het leek er toch fel op]

• • Bereken de generatormatrix van deze code
  • codeer i = 1 1 1 1 [ofzo, maakt niet zoveel]
  • decodeer v = 1 2 3 2 1 1 [ongeveer, maakt niet zoveel] en vind het informatie woord.

• Bepaal de generator veelterm van een cyclische code met lengte 80 over $GF(9)$, waarbij ${\alpha }^{27}$ en ${\alpha }^{71}$ nulpunten zijn van de generatormatrix, zodat de dimensie maximaal is. $\alpha$ is een primitief element van $x^2+2x+\gamma$ (ofzo) en $\gamma$ een primitief element van $x^2+x+2$. Wat is de dimensie van de code?
• Vraag over BM algoritme: Gegeven de volgende opeenvolging van waardes van $d$ in het algoritme op pagina 75: 0 0 2 2 2 3 3 3 3 6 6 6 6
  • Bepaal de waardes van $n$ en beargumenteer
  • Bepaal of de matrices $H^{(i)}$ regulier of singulier zijn voor $i=0,\dots ,6$

• Vraag over convolutionele codes. Gegeven het onderstaande een encoder diagram.

Bestand:TAI2013encoder.jpg‎

• • Bepaal de generator veeltermen $g^{(i)}$ voor $i = 1,2$ [er waren twee outputs]
  • Teken het toestands diagram.
  • Bepaal $d_{min}$ en $d_{free}$
  • Codeer 10111011 [ongeveer, maakt niet zoveel]
  • Decodeer 10 11 10 11 via het viterbi algoritme [ongeveer, maakt niet zoveel]

Examen juni 2012

Exact dezelfde soort vragen als de voorbije 3 jaar:

Vraag 1

Een inverse zoeken in $Z_9[x]$

Vraag 2

H is gegeven

• Bepaal G
• codeer een gegeven i
• decodeer een gegeven v en wat is de bijhorende i

Vraag 3

Een BCH code gegeven

• Wat is de dimensie? Wat is de dimensie bij l=8? Zou een keuze l=1 goed zijn?
• Vul de tabel met de machten van $\alpha$ verder aan.
• Vul de minimaalveeltermen voor gegeven nevenklassen aan + bepaal de generatorveelterm
• Vul de syndromen aan.
• Vul de tabel voor het BM-algoritme aan
• Voor d=0,1,2: wat is ${\varphi }^{(d)}$ en ${\mu }_d$
• Bepaal de plaats en de waarde van fouten

Vraag 4

Een blokdiagram van convolutionele codes gegeven (1 invoerbit, 2 registers, 3 uitvoerbits)

• Bereken de generatorveeltermen
• Geef het toestandsdiagramma
• Bereken $d_{min}$ en $d_{free}$
• Decodeer een gegeven woord.

Examen juni 2011

Vraag 1

bewijs dat $1+4x+4x^2$ inverteerbaar is in $Z_{1}6[x]$

Vraag 2

(8,6) Hamming code GF(7)

H= [10123456 , 01111111] (dus een matrix met 2 rijen en 8 kolommen)

• G?
• codeer i=400306
• decodeer v=60342545 wat is i?

Vraag 3

BCH n=13 GF(3) t=3 l=1

• wat is de dimensie van de code? en de dimensie bij l=2,l=8? is l=1 goed gekozen?
• Vul de tabel van alfa aan
• Vul minimaalveeltermen aan
• Vul Si aan
• BM
• phi(d)(x) en mu(d) voor d=0,1,2
• bepaal de plaats en waarde van de fouten

Vraag 4

Je krijgt het blokdiagram van een convolutionele code en je moet daaruit

• de generatorveeltermen berekenen
• een toestandsdiagramma van de code geven
• de afstanden $d_{min}$ en $d_{free}$ berekenen
• een bepaalde ontvangen woord decoderen met het Viterbi-algoritme

Examen 19 juni 2009

Vraag 1

Bewijs dat $1-2x-2x^2$ inverteerbaar is in $Z_4[x]$

Vraag 2

Vraag over lineaire code. Je krijgt de pariteitstestmatrix H en je moet

1. de generatormatrix G geven
2. een gegeven informatiewoord coderen
3. een gegeven ontvangen woord (dus met fout) decoderen

Vraag 3

De grote Berlekamp-Massey-en-Forney-vraag. Deze vraag staat ook op de meeste punten.

Vraag 4

Je krijgt het blokdiagram van een convolutionele code en je moet daaruit

1. de generatorveeltermen berekenen
2. een toestandsdiagramma van de code geven
3. de afstanden $d_{min}$ en $d_{free}$ berekenen
4. een bepaalde ontvangen woord decoderen met het Viterbi-algoritme

Examen 25 augustus 2008

Vraag 1

Gegeven volgende simpele code: Een infowoord van 3 tekens (modulo 3), abc wordt omgezet in een codewoord als volgt: abcde, met abc gelijk aan abc uit het informatiewoord, en de zodat d+a+c=0 en e zodat a+e=0. Wat is de lengte van de code, hoeveel fouten kan ze verbeteren en hoeveel fouten kan ze vinden? Dimensie van de code? Is het een lineaire code? Is het een cyclische code? Stel een generatormatrix op voor deze code.

Vraag 2

BCH code in GF(8) n= 15 en moet 2 fouten kunnen verbeteren (t=2) Bepaal hoeveel verschillende codes je hiervoor kan construeren, en wat is de optimale code, en hoeveel mogelijke optimale codes zijn er?
Tip: je mag l vrij kiezen, varieer deze van 0 tot 14, bepaal de cyclotomische nevenklassen en hun minimaalveeltermen. Je moet werken met een GF(8^5) code over GF(8) (want 8^5(mod 15)=1) Dit wil ook zeggen dat er maximaal 5 elementen in een cyclotomische nevenklasse zitten. Schrijf dan voor elke waarde van l de combinatie van minimaalveeltermen uit die de generatorveelterm g(x) vormen (2t opeenvolgende machten van beta). Schrap dan alle identieke g(x). Wat je overhoudt is het aantal (en welke) mogelijke generatorveeltermen en dus verschillende codes. Voor het bepalen van de efficiëntie van de code, zeg je dat de code een (n,k)-code is, met k=n-(graad(g(x))

Vraag 3

BCH code over GF(19), n=18 (dus je hebt een GF(19) over GF(19) code (k=1)) en t=2 Bepaal g(x), je mag zelf l kiezen. (omdat k=1 heeft elke cyclot. nevenklasse juist 1 element en is de graad van g(x) altijd even groot, ongeacht de keuze van je l) Bepaal de dimensie van de code. Codeer een zelfgekozen infowoord met d>=2 (doe dit ook zo simpel mogelijk, kies dus 2 tekens verschillend van 0, dat spaart veel rekenwerk uit) Zet in het bekomen codewoord 2 zelfgekozen fouten, decodeer dit woord terug met BM en Forney. (Voor het bepalen van de syndromen mag je gebruik maken van het feit dat je de foutlocaties al kent).

Vraag 4

Convolutionele codes. Gegeven een encoder diagramma (met 1 schuifregister, 1 input bit en 2 output bits), bepaal aan de hand daarvan de generatorveeltermen. Teken nu een state diagram van de encoder. Bepaal de min distance en de free distance. Encodeer een gegeven infowoord. Decodeer een zelfgekozen codewoord.

Examen 11 juni 2008

Dit is het examen van 11 juni 08. Ik heb een poging gedaan tot het uitgebreid uitwerken van het examen. Dit kan misschien handig zijn als extra voorbeeld. Ik kan niet garanderen dat alles juist is, maar ik ben er vrij zeker van dat het redelijk juist is. Bekijk ook deze alternatieve oplossing van het examen, mooi uitgewerkt in LaTeX.

Zeker aan te raden om dit examen eens proberen te maken! Als je dit kan, kan je het examen. (het examen ziet er altijd ongeveer hetzelfde uit)

Examen januari 2007

Vraag 1

Je kreeg een lineaire blokcode met enkele deelvragen:

1. is deze lineair?
2. wat is zijn dimensie?
3. bereken de G en H matrix
4. codeer een eigen gekozen informatiewoord
5. bereken cH^T met c het codewoord uit (d)

Vraag 2

Een code verbeteren met behulp van PGZ algoritme en het informatiewoord bepalen.

Vraag 3

Grote oefening op BCH codes.

Examen september 2005

Vraag 1

Een 2-foutenverbeterende BCH-code over GF(7) van lengte 8 en l = 6. Kies een van de volgende primitieve veeltermen x + 2 X² + 3x + 5 X³ + 3x + 2

1. bepaal de generatorveeltermen, zoals je weet zijn dat er 6 (invoer i=1,2, uitvoer j=1,2,3)
2. wat is de dimensie ?
3. decodeer met PGZ : 2 6 4 6 5 1 3 1 als je weet dat S_1 = 0, S_2 = 4 en S_4 = 4

Het zal niet nuttig zijn alle machten van alpha op te schrijven.

Vraag 2

Grote BCH code vraag met deelvraagjes zoals voorbeeld examen, zoals bepaal R, zoek fouten, decodeer, ...

BCH n=13, q=3, t=3, l=7

Vraag 3

opgave

1. bepaal de generatorveeltermen
2. teken het toestandsdiagramma
3. codeer 10 11 01 00 11

Mijn oplossingen

1.b. | dim = 5, (8,3)-code
1.c. | 0 6 4 4 5 1 3 1
2. | /
3.c. | 111 100 010 001 101