Algebra I

Eerste zit 2005-06, Wiskunde

Theorievragen

Theorievraag 1

Zij G een groep en zij N een normaaldeler van G. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen de normaaldelers van G die N omvatten en de normaaldelers van G/N. Je mag hierbij het enkel feit gebruiken dat het beeld en het inverse beeld van een deelgroep onder een groepsmorfisme weer een deelgroep is. Al de rest moet bewezen worden.

Theorievraag 2

Veronderstel dat R een hoofdideaaldomein is, en zij r een irreducibel element in R. Bewijs dat (r) dan een maximaal ideaal van R is. Geef ook een voorbeeld van een ring R, commutatief en met eenheidselement, en een irreducibel element r in R, zodat (r) geen maximaal ideaal van R is.

Theorievraag 3

Bewijs de stelling van Kronecker:

"Zij K een veld en zij $f\in K\left[X\right]$ een niet-constante veelterm, dan heeft f een wortel in een velduitbreiding van K."

Snelheidsvragen

(Dit zijn de verraderlijke vraagjes die Veys op het mondeling examen stelt en die je *niet* mag voorbereiden, je krijgt er ongeveer 1 minuut tijd voor. Vaak zit er een addertje onder het gras. Wees dus niet te "snel".)

• Bestaat er een algebraïsch gesloten veld dat $\mathbb{ℂ}$ strikt omvat?
• Waar of fout? "Een groep is eindig als en slechts als alle elementen eindige orde hebben.