Inleiding tot de Hogere Wiskunde

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Eerste zit 2005-06

Vraag 1

1. Geef de definitie van convergentie van een rij van reële getallen.
2. Gebruik deze definitie om aan te tonen dat een reële rij $(a_n)$ convergeert als er geldt dat $a_n\ge 0$ voor alle $n\ge 100$ en $a_n\ge a_{n+1}$ voor alle $n\ge 2006$.

Vraag 2

1. Geef de definitie van differentieerbaarheid (afleidbaarheid) van een functie $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$.
2. Zijn $g:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ en $h:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ afleidbare functies. Beschouw de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ gegeven door de vergelijkingen g(x,y,z) = a en h(x,y,z) = b, waarbij a en b reële constanten zijn. Laat zien dat het vectorproduct $\mathrm{\nabla }g\times \mathrm{\nabla }h$, uitgerekend in een punt op de kromme, een raakvector aan de kromme is.

Vraag 3

1. Bewijs met behulp van volledige inductie dat de identiteit $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})x^k=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$ geldt voor alle natuurlijke getallen n en voor alle reële getallen x in ]-1,1[.
2. Bewijs dat voor een reële veelterm p(x) van graad n geldt dat $\int e^{x}p(x)dx=e^{x}q(x)+C$ waarbij q(x) de veelterm is die gegeven wordt door $q(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{p}^{(k)}(x)=p(x)-p^{\prime }(x)+...$.

Vraag 4

Beschouw de differentiaalvergelijking t²x"(t) + 3tx'(t) + 3x(t) = 0 voor t > 0.

1. Zoek oplossingen voor de differentiaalvergelijking van de vorm $x(t)=t^{\lambda }$ met $\lambda$ een complex getal. Bepaal dan de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. (Hint: gebruik de identiteit $t^{\lambda }=e^{\lambda \ln t}$ die geldt voor alle $\lambda \in \mathbb{ℂ}$ en voor alle t > 0.)
2. Bepaal alle oplossingen waarvoor geldt dat x(1) = 0. Deze oplossingen hebben nog andere nulpunten. Bepaal al deze nulpunten.

Vraag 5

Van de volgende 5 oefeningen moeten er precies 4 worden opgelost.

• Zij $(a_n)$ een reële rij met limiet 3 en zij $(b_n)$ een reële rij zodat $b_0=8$ en $b_{n+1}=b_n/2+a_n$ voor alle n. Bepaal de limiet van $(b_n)$.

• Bepaal alle reële getallen A waarvoor geldt dat $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+Ax}-x)=1.$

• Bereken de limiet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3.$

• Bepaal de Taylorveeltermen van graad 3 in het punt 0 voor $f(x)=\ln (\cos x)$ en $g(x)={\left(\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">bgtan</mrow>}x\right)}^2$. Bereken $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$.

• Bereken de integraal $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt{1-y^2}}{\int }}{x}^2\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$

Vraag 6

Beschouw de volgende functie van drie veranderlijken: $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}:(x,y,z)\mapsto x^2-2x+y^2-4y+z^2-4z.$

1. Bepaal en classificeer alle kritieke punten van f.
2. Bepaal het minimum en maximum van f op het gebied gegeven door $x^2+y^2+z^2\le 36$.

Tweede zit 2004-05

Bron: Toledo

Vraag 1

1. Geef de definitie van convergentie van een rij $(z_n)$ van complexe getallen.
2. Geef de definitie van convergentie en van absolute convergentie van een reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$. Geef een voorbeeld van een convergente reeks die niet absoluut convergent is.
3. Neem aan dat $(z_n)$ en $(w_n)$ twee rijen van complexe getallen zijn waarvoor geldt dat $|z_n|\le 5|w_n|$ als $n\ge 2005$. Neem aan dat de reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|w_n|$ convergent is. Bewijs hieruit dat de reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ dan ook convergent is.
   [N.B. U moet hierbij het bewijs van een analoge stelling uit de cursus aanpassen aan de gegeven situatie. Eigenschappen van convergente rijen mag u gebruiken; evenals de eigenschap dat een absoluut convergente reeks convergent is.]

Vraag 2

1. Leg duidelijk uit hoe de bepaalde integraal $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$ van een begrensde functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ is ingevoerd. Behandel hierbij in ieder geval:
   • Een partitie van [a, b].
   • De bovensom en ondersom behorende bij een partitie.
   • De bovenintegraal en onderintegraal.
2. Formuleer de hoofdstelling van de integraalrekening en leg uit hoe deze gebruikt kan worden om de afgeleide van een functie van de vorm $x\to \underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(t)dt$ te berekenen. Hierin zijn a(x) en b(x) gegeven afleidbare functies van x.

Vraag 3

1. Bereken de oplossing van de differentiaalvergelijking $x+2x-3x=t+1$ die voldoet aan $x(0)=1$ en $x^{\prime }(0)=0$.
2. Bereken de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor een functie $y=y(t)$
   $y=20y-y^2$
   en schets de grafiek van enkele oplossingen.

Vraag 4

Maak 4 van de onderstaande 5 opgaven naar keuze. Doorstreep duidelijk de opgave die je niet wil laten meetellen. U MOET ÉÉN OPGAVE DOORSTREPEN!

1. Bereken $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ met $(a_n)$ de rij gedefinieerd door $a_n+1=\sqrt{1+2a_n}$ en $a_0=4$.
   [N.B. U hoeft niet aan te tonen dat de rij convergent is.]
2. Bereken $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\sqrt{x-1}}{\text{bgcos }x}$
3. Bereken $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{[\ln (e+\frac{1}{x})]}^x$
4. Bereken $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3$
5. Bereken $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{y}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sin x}{x+y}dxdy$

Vraag 5

Beschouw de volgende machtreeks: $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{1+k^2}(x-1{)}^k$

1. Bepaal de convergentieschijf van deze machtreeks en maak een schets van de convergentieschijf in het complexe vlak.
   [N.B. Convergentie op de rand hoeft u niet te onderzoeken.]
2. Onderzoek of de machtreeks convergeert in de volgende punten:
   • x = 0
   • x = 1 + 2i
   • x = 2

Andere vragen

Vraag 1

1. Geef de definitie van afleidbaarheid van een functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ in een punt $x_0\in \mathbb{ℝ}$.
2. Geef de definitie van afleidbaarheid van een functie van n veranderlijken $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ in een punt $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{ℝ}}^n$.
3. Neem aan dat alle eerste en tweede orde partiële afgeleiden van $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ bestaan en continu zijn. Zij $\overrightarrow{p}$ de gradiënt en H de Hessiaan van f in het punt $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{ℝ}}^n$. Neem aan dat $\overrightarrow{p}\ne \overrightarrow{0}$. Kruis alle juiste uitspraken aan.
   • $\overrightarrow{p}$ staat loodrecht op het niveauoppervlak van f.
   • $\overrightarrow{p}$ staat loodrecht op de grafiek van f.
   • f bereik in $\overrightarrow{x_0}$ geen extremum.
   • Het zou kunnen dat f in $\overrightarrow{x_0}$ een extremum bereikt. Dit hangt af van de eigenwaarden van H.

Vraag 2

1. Geef de definitie van convergentie van een rij $(a_n)$ van reële getallen.
2. Neem aan dat $(a_n)$ een rij positieve getallen is met de eigenschap dat $\mathrm{\forall }n\ge 100:a_n\ge a_{n+1}$. Bewijs met behulp van de definitie dat de rij $(a_n)$ convergent is.

Vraag 3

Beschouw de kromme K die in poolcoördinaten gegeven wordt door $r=1+\sin \theta$, $\theta \in [0,2\pi ]$.

1. Schets de kromme K.
2. Bereken de lengte van K.

Vraag 4

1. Vind alle kritieke punten van de functie $f(x,y)=xy(4-x^2-y^2)$. Geef van elk kritiek punt aan of het een lokaal maximum, lokaal minimum of een zadelpunt betreft.
2. Bereken het maximum en het minimum van f(x,y) op het vierkant $V=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\Vert 0\le x\le 2,0\le y\le 2\}$.

Vraag 5

Beschouw de differentiaalvergelijking
$x^{\prime }=\sqrt{x}-x$ (1)
met beginvoorwaarde x(0) > 0.

1. Neem $y(t)=\sqrt{x(t)}$ en leid een differentiaalvergelijking voor y(t) af.
2. Bepaal de algemene oplossing van (1).
3. Schets de grafiek van de oplossing van (1) die voldoet aan x(0) = 4.

Vraag 6

1. Neem aan dat f continu is in het interval [-3,3] met f(-3) = 2 en f(3) = 1. Bewijs dat er tenminste één $x_0\in [-3,3]$ bestaat met $f(x_0)=1$.
2. Hoeveel stappen van de bisectiemethode zijn nodig om het punt $x_0$ te berekenen met een fout die kleiner is dan $10^{-12}$?

Vraag 7

1. Geef de definitie van convergentie en absolute convergentie van een reeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$.
2. Wat is de convergentiestraal $R_c$ van een machtreeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$? Geef drie voorbeelden van machtreeksen met respectievelijke convergentiestralen $R_c=0,R_c=2,R_c=+\mathrm{\infty }$.
3. Neem aan dat de reeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ convergent is. Wat kunt u hieruit concluderen omtrent de convergentiestraal van de machtreeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^n$?
   • De convergentiestraal van de machtreeks is $\ge 1$.
   • De convergentiestraal van de machtreeks is $\le 1$.
   • De convergentiestraal van de machtreeks is 1.
   • Je kunt niets zeggen over de convergentiestraal.
4. Neem aan dat de convergentiestraal van $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^n$ gelijk is aan 3. Wat kunt u hieruit concluderen?
   • De convergentiestraal van $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|a_k|x^n$ is ook geijk aan 3.
   • De limiet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}$ bestaat en is gelijk aan 1/3.
   • Als $(b_n)$ een rij is met $b_n=O(a_n)$ als $n\to \mathrm{\infty }$, dan is de convergentiestraal van de machtreeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{x}^n$ ten minste gelijk aan 3.

Vraag 8

Beschouw de integraal $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\left(\underset{x}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\cos y}{x+y}dy\right)dx$.

1. Schets het gebied in ${\mathbb{ℝ}}^2$ waarover geïntegreerd wordt.
2. Bereken de integraal.

Vraag 9

Beschouw $F:{\mathbb{ℝ}}^2:(x,y)\to F(x,y)=(x+y)e^{-xy}$

1. Bereken de gradiënt van F en teken de krommen in het xy-vlak waarvoor

$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=0$ of $\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=0$.

1. Bereken de kritieke punten van F.
2. Bepaal de aard van het kritieke punt dat zich in het eerste kwadrant bevindt. Betreft het een lokaal maximum, lokaal minimum of zadelpunt?

Vraag 10

Neem aan dat de functies x(t) en y(t) voldoen aan de differentiaalvergelijkingen
$x^{\prime }(t)=-x(t)y(t)$, $y^{\prime }(t)=-2x(t)y(t)$. (1)

1. Toon aan dat er een constante $C\in \mathbb{ℝ}$ is met $y(t)=2x(t)+C$.
2. Geef de algemene oplossing van (1). Bepaal zowel x(t) als y(t).
   [N.B. Het antwoord hangt af van de constante C uit (a). Onderscheid de gevallen $C=0$ en $C\ne 0$]

Vraag 11

Zij D het gebied $D=\{(x,y)\in \mathbb{ℝ}\Vert x>0,y>0,x+y<2,x^2+x^2>2\}$.

1. Maak een schets van D.
2. Berekent de integraal $\int \underset{D}{\int }\frac{1}{(x^2+y^2{)}^2}dxdy$.

Vraag 12

Beschouw de differentiaalvergelijking $x^{\prime }(t)+\frac{6}{t}x(t)=t^2$.

1. Bepaal de algemene oplossing.
2. Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking die een extremum bereikt in t=1.

Vraag 13

1. Geef de definitie (rijdefinitie of $\epsilon -\delta$ definitie) van continuïteit van een functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ in een punt $x_0$.
2. neem aan dat f continu is in het interval [1,2]. Bewijs dat er een M>0 is zodanig dat $\mathrm{\forall }x\in [1,2]:f(x)\le M$.

Vraag 14

1. Leg uit hoe de homogene differentiaalvergelijking
   $x^{″}(t)+a{x}^{\prime }(t)+bx(t)=0$ (1)
   met constanten $a,b\in \mathbb{ℝ}$ algemeen opgelost kan worden. Vermeld wat de rol is van de karakteristieke veelterm.
2. Kruis de juiste beweringen aan omtrent de differentiaalvergelijking
   $x^{″}(t)+a{x}^{\prime }(t)+bx(t)=e^t$ (2)
   • De oplossingen van (2) vormen een reële vectorruimte van dimensie 2.
   • De differentiaalvergelijking (2) kan worden opgelost met de methode van scheiding van veranderlijken.
   • Een particuliere oplossing kan gevonden worden door $x(t)=C{e}^t$ te proberen in (2).

Vraag 15

Gegeven $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:(x,y)\to x^2+y^2+4y$.

1. Zoek $\overrightarrow{p}\in {\mathbb{ℝ}}^3$ zodat de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in $\overrightarrow{p}$ gegeven wordt door $-6y+z=-1$.
2. Bepaal de kritieke punten en hun aard van de functie f.