Wiskundige logica

Examen juni 2005

1) Bewijs: een sigma-1-zin die waar is in N is bewijsbaar uit PA_0.

2) Vraag komt letterlijk uit cursus (ergens in laatste 11 blz van deel III): "Zij T een berekenbare theorie ... ... ... Bewijs dat de afbeelding N^2 -> N: (m,n) ->F(m,n) berekenbaar is.

Hierbij moet je twee dingen zeggen: - Omdat T berekenbaar is en omdat uit m het bewijs kan afgeleid worden kan men controleren of er effectief zo'n Theta te vinden op algoritmische wijze en dus ook met behulp van een masjien (hypothese van Church) - Vervolgens kun je starten met (omdat wegens de stelling van vraag 1 als theta(n,y) waar is ze bewijsbaar is) theta(n,0) voor bepaalde duur te trachten bewijzen uit PA_0. Stop en start met theta(n,1) voor bep. duur, stop start terug met theta(n,0). Stop en start dan met theta(n,2) etc. Dit allemaal zolang er geen bewijs gevonden wordt. (een dergelijk bewijs zal eens gevonden worden wegens semi-beslisbaarheid).

3) Geef trouwe vertaling in Tarski-predtaal: Minstens 2 driehoeken bevinden zich achter al de vierhoeken die rechts van alle vijfhoeken liggen.

4) Bewijs dmv WinKE bewijs: (3) is een logisch gevolg van (1) en (2).

   *1* (A x) (U(x) => (A y) (W(y) => ~R(x,y)))
   *2* (A x) (U(x) => (A y) (S(y) => R(x,y)))
   *3* (E x) (U(x) /\ W(x)) => (E y) ~S(y)

5) Bereken |{f:R->R| (E C) zodat C deelverz van R is en C eindig is en f constant is op R\C}|

Reservevraag: zeg alles wat je weet over de formule van Goedel

Andere vraag ipv. 5: Bewijs dat de afbeelding die n -> 2^n definieerbaar is. Maakt gebruik van de beta(n,u,v) in het lemma dat gebruikt wordt bij het bewijs van de definieerbaarheid van berekenbare relaties.