Kansrekenen

Eerste zit 2005-2006, KULAK

(aan de KULAK wordt Kansrekenen gegeven door Van Assche, niet door Gijbels)

Vraag 1

Bereken de voorwaardelijke dichtheid van de bivariate normale verdeling.

Vraag 2

Stel $X,Y$ onafhankelijk en identiek met dichtheidsfunctie $\frac{1}{x^2},x\ge 1$. Bepaal de dichtheidsfunctie van $\frac{X}{Y}$.

Vraag 3

1. Zij $X_1,X_2,\dots$ een rij van Bernoulli experimenten met kans $p$ op succes. Wat is de kans om oneindig vaak het patroon $(X_k,X_{k+1},X_{k+2},X_{k+3})=(1,0,0,1)$ tegen te komen.
2. Zij $X_1,X_2,\dots$ een rij van Bernoulli experimenten met kans $p$ op succes. Zij $B_n$ de gebeurtenis die $n$ opeenvolgende keren succes in het $X_{2^n},X_{2^n+1},\dots ,X_{2^{n+1}-1}$ beschrijft. Toon aan dat $P(B_n)$ o.v. gelijk is aan $0$ als $p<\frac{1}{2}$ en $P(B_n)$ o.v. gelijk is aan oneindig als $p\ge \frac{1}{2}$. (Tip: Toon aan: $P(B_n\le 2^n{p}^n$ en $P(B_n\ge 1-(1-p^n{)}^{\frac{2^n}{n}}$)

Vraag 4

Welke verdelingen komen op natuurlijke wijze te voorschijn uit Bernoulli experimenten? Leg ook het verband met Poissonprocessen.

Vraag 5

Waarom zijn karakteristieke functies zo nuttig? Leg uit aan de hand van enkele stellingen.

Vraag 6

Bespreek de Cauchy verdeling.

Waar komt deze te voorschijn, geef belangrijke eigenschappen en karakteristieken, wat is er zo speciaal aan de Cauchy verdeling?